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1、学业水平训练 1下列说法中不正确的是( ) A数列 a,a,a,是无穷数列 B数列f(n)就是定义在正整数集 N上或它的有限子集1,2,3,n上的函数 值 C数列 0,1,2,3,不一定是递减数列 D已知数列an,则an1an也是一个数列解析:选 B.A,D 显然正确;对于 B,因为数列f(n)是定义在正整数集 N上或它的有限子集1,2,3,n上的函数 anf(n),当自变量从小到大依次取值时,对应的是一列函数值,所以 B 项不正确;对于 C,数列只给出前四项,后面的项不确定,所以不一定是递减数列2数列an的通项公式 ann24n,则数列an各项中最小的项是( ) A第 1 项 B第 2 项
2、C第 3 项 D第 4 项解析:选 B.ann24n(n2)24,画出图像可知,当 n2 时,a2最小值为4,故选 B.3已知数列an的通项公式为 an,则 an与 an1间的大小关系是( )2nn2Aanan1 Banan1 Canan1 D不能确定解析:选 B.an2,2(n2)4n24n2an1an(2)(2)0an1an故选 B.4n34n24n24n34(n3)(n2)4数列an中,an2n229n3,则此数列最大项的值是( )A109 B108 1 8C108 D107解析:选 C.an2n229n32(n2n)32(n)23,当 n7 时,2922942928an最大且等于 10
3、8,故选 C.5已知数列an满足 anan1(n2),则数列an为( )n1nA递增数列 B递减数列 C常数列 D以上都有可能解析:选 D.若 a10,则 anan1(n2),an为递减数列;若 a10,则 an0(nN),an为常数列;若 a10,则 anan1(n2)an为递增数列,故选 D.6在数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55中,x 的值是_解析:可以看出该数列中,从第 3 项起,每一项都等于它的前两项的和,所以x81321.答案:21 7已知数列an的通项公式为 an4n102,那么数列从第_项开始值大于 零解析:令 4n1020,得 n25 ,数列an从第 26 项
4、开始值大于零12答案:268已知数列an为单调递增数列,通项公式为 ann,则 的取值范围是 n_解析:由于数列an为单调递增数列,ann ,所以 an1an(n1)nn1(n )10,即 n(n1)(nN),所以 2.nn(n1)答案:(,2) 9已知:函数 f(x)x,数列an满足 anf(n)(nN),试判断数列an的单x21调性解:an1an(n1)(n)(n1)21n211(n1)21n21110,an1an.数列an是递增数列2n1(n1)21 n212n1(n1)n10已知数列an的前 n 项和 Sn2n22n.数列bn的前 n 项和 Tn2bn. (1)求数列an、bn的通项公
5、式; (2)设 cna bn,证明:当且仅当 n3 时,cn1cn.2n解:(1)a1S14.对于 n2,有 anSnSn12n(n1)2(n1)n4n.综上,an的通项公式 an4n.将 n1 代入 Tn2bn,得 b12b1,故 T1b11.(求 bn方法 1)对于 n2,由 Tn12bn1,Tn2bn得 bnTnTn1(bnbn1),bn bn1,bn21n.12(求 bn方法 2)对于 n2,由 Tn2bn得Tn2(TnTn1),2Tn2Tn1,Tn2 (Tn12),12Tn221n(T12),Tn221n,bnTnTn1(221n)(222n)21n.综上,bn的通项公式 bn21n
6、.(2)证明:法一:由 cna bnn225n,得2 n (1 )1cn121n当且仅当 n3 时,1 ,即 cn1cn.1n432法二:由 cna bnn225n,得2 ncn1cn24n(n1)22n224n(n1)22当且仅当 n3 时,cn1cn0,即 cn1cn.高考水平训练 1已知数列an的通项公式是 ann2kn2,若对于 nN,都有 an1an成立, 则实数 k 的取值范围是( ) A(0,) B(1,) C(2,) D(3,)解析:选 D.由 an1an,即(n1)2k(n1)2n2kn2.则 k(2n1)对于 nN都成立,而(2n1)当 n1 时取到最大值3.所以k3,故选
7、 D.2已知数列an的通项 an,nN,则数列an的最大项为_,最小n 96n 98项为_ 解析:将数列an的通项公式变形为 an1,考察函数 f(x)1,画出98 96n 9898 96x 98图像如图所示,数列an的图像即为曲线上横坐标为正整数的孤立的点,易知 n10 时,an取得最大值,为;n9 时,an取得最小值,为.10 9610 989 969 98所以,数列an中最大项为 a10,最小项为 a9.10 9610 989 969 98答案: 10 9610 989 969 983已知数列an的通项公式 an(nN)问:是否存在正整数 k,使对任意正整n22n数 n 都有 anak成
8、立?说明理由解:数列an为正项数列,所以 (1 )2.an1an(n1)22n12nn2(n1)22n2121n当 n3 时, (1 )21,即 an1an,故当 n3 时an为递减数列121n又a1 ,a21,a3 ,a1a2a3a4a5,即 ana3 .存在正整数129898k3,使 anak成立4已知函数 f(x)2x2x,数列an满足 f(log2an)2n. (1)求数列an的通项公式; (2)证明数列an是递减数列解:(1)f(x)2x2x,f(log2an)2n,2log2an2log2an2n,即 an2n.1an整理得 a 2nan10,解得 ann.2 nn21an0,ann.n21(2)证明:an0,且1,an1an(n1)21(n1)n21nn21n(n1)21(n1)an1an.故数列an是递减数列