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1、竞赛专题讲座竞赛专题讲座 08 几何变换几何变换【竞赛知识点拨竞赛知识点拨】一、一、 平移变换平移变换1 定义 设是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点 X 变到 X，使得=，则 T 叫做沿有向线段的平移变换。记为XX，图形 FF 。2 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变 为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。二、二、 轴对称变换轴对称变换1 定义 设 l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上 任一点 X 变到 X，使得 X 与 X关于直线 l 对称，则 S 叫做以 l 为
2、对称轴的轴对称变换。记为 XX，图形 FF 。2 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或 者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。三、三、 旋转变换旋转变换1 定义 设 是一个定角，O 是一个定点，R 是平面上的一个变换，它把点 O 仍变到 O（不动点），而把平面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得 OX=OX，且XOX=，则 R 叫做绕中心 O，旋转角为 的旋转变换。记为 XX，图形 FF 。其中 0 时，为逆时针方向。2 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。四、四、 位似变换位似变换1 定义 设 O 是一个定点，H 是平面上的
3、一个变换，它把平面图形 F 上任一点X 变到 X，使得 =k，则 H叫做以 O 为位似中心，k 为位似比的位似变换。记为 XX，图形 FF 。其中 k0 时，X在射线 OX 上，此时的位似变换叫做外位似；k2AD。【分析】设 PP，PP。则 RP=RP，PQ=PQ，AP=AP=AP。PQ+QR+RP= PQ+QR+RP。又A90，PAP+PAP=2A180，A 点在线段 PP上或在凸 四边形 PRQP的内部。PQ+QR+RPAP+AP=2AP2AD。PQ+QR+RP2AD。【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形， 可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适
4、当选择对称轴将一些线段的 位置变更，以便于比较它们之间的大小。【例 7】以ABC 的边 AB、AC 为斜边分别向外作等腰直角三角形 APB、AQC，M 是 BC 的中点。求证： MP=MQ，MPMQ。【分析】延长 BP 到 E，使 PE=BP，延长 CQ 到 F， 使 QF=CQ，则BAE、CAF 都是 等腰三角形。显然：EB，CF，EC=BF，ECBF。而 PMEC，MQBF，MP=MQ，MPMQ。【例 8】已知 O 是 ABC 内一点，AOB=BOC=COA=120；P 是ABC 内任一点，求证： PA+PB+PCOA+OB+OC。（O 为费马点）【分析】将 CC，OO， PP，连结 OO
5、、PP。则B OO、B PP都是正三角形。OO=OB，PP =PB。显然BOCBOC，BPCBPC。由于BOC=BOC=120=180-BOO，A、O、O、C四点共线。AP+PP+PCAC=AO+OO+OC，即 PA+PB+PCOA+OB+OC。【例 9】O 与ABC 的三边 BC、CA、AB 分别交于点 A1、A2、B1、B2、C1、C2，过上述六点分别作所在边的垂线 a1、a2、b1、b2、，设 a1、b2、c1三线相交于一点 D。求证：a2、b1、c2三线也相交于一点。【分析】a1、a2关于圆心 O 成中心对称，a1a2。同理，b1b2，c1c2。a1、b2、c1的公共点 D 在变换 R
6、（O，180）下的像 D也是像 a2、b1、c2的公共 点，即 a2、b1、c2三线也相交于一点。【例 10】AD 是ABC 的外接圆 O 的直径，过 D 作O 的切线交 BC 于 P，连结并延 长 PO 分别交 AB、AC 于 M、N。求证：OM=ON。【分析】设 OO，NN，而 MB，M、O、N 三点共线，B、O、N三点共线，且。取 BC 中点 G，连结 OG、OG、DG、DB。OGP=ODP=90，P、D、G、O 四点共圆。ODG=OPG，而由 MNBN有OPG=OBG，ODG=OBG，O、B、D、G 四点共圆。OGB=ODB。而ODB=ACB，OGB=ACB，OGAC，而 G 是 BC 的中点，O是 BN的中点，OB= O N，OM=ON。
