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1、解题方法 7：解答综合题综合题是指在一道题中将代数、几何等内容进行综合考查的题目，这类题目有这样一些特点：1、常常作为中考数学试卷的压轴题，通常在一个大题下，以几个小题的形式出现。2、通常是全卷最难的题目，但每个小题的难度却不相同，往往（1）小题可能比前面的题目要简单很多，而（2）小题、 （3）小题的难度会逐步以较大幅度增加。3、题目的阅读量不一定很大，但计算量却较大，对计算的熟练程度要求较高，稍有不慎可能会做而做错。4、题目放在最后，时间紧张，心理压力大，不容易集中精力，往往不能很好的发挥自己的水平。根据这些题目的特点，提出以下建议：对于中等水平的考生，可以放弃这些题目的解答，将时间用在前
2、110 分的题目上，完成这些题目的解答后将剩余的时间用来检查前面题目的解答是否正确，保证将会做得题目做对，将分拿到手。对于平时程度较好的同学，在保证前面分能够拿到手之后还有时间，不妨完成在最后这道题目的前面的小题，争取做对，多拿一些分。对于数学成绩特别优秀的学生，完成前面的题目用不了很多时间，会留下很多时间，但不应急于解答压轴题，也应该先检查前面解答题目的过程和结果是否正确，确保前面分拿到手，然后集中精力完成最后一题的解答。本文中选择了一些题目和解答供有能力的同学选用。例 1 如图，矩形的长、宽分别为和 1，且，点ABCD3 21OB 71 2435 67 6 5 4 3 2 1E D CBA
3、yxOEDCBA71 2435 67 6 5 4 3 2 1E D CBAyxOE，连接322，AEED，（1）求经过三点的抛物线的表达式；AED，（2）若以原点为位似中心，将五边形放大，使放大后的五边形的AEDCB边长是原五边形对应边长的 3 倍在下图网格中画出放大后的五边形A/E/D/C/B/；（3）经过三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请AED，说明理由解：（1）设经过三点的抛物线为AED，（a0） 2yaxbxc333122222AEDQ， 3 2 93242 3422abcabcabc 解得 2 6 5 2a bc 过三点的抛物线的表达式为AED，25262yxx 确定二次
4、函数的解析式通常使用“待定系数法”，关键是正确列、解多元方程组。（2）（3）不能理由如下：设经过三点的抛物线的表达式为AED，（a/0） 2ya xb xc999366222AEDQ， 9932 819642 93662abcabcabc 解得 2 3a ， 2a 2 3a aa经过三点的抛物线不能由（1）中抛物线平移得到 AED，注意：解题中使用的作为依据来说明“经过三点的抛物线aaAED，不能由（1）中抛物线平移得到” ，表明两条抛物线的开口大小不同，因此，aa两条抛物线的形状不同。本题还可以这样来解：过三点的抛物线的表达式为= -2（x-）2+2AED，25262yxx 23点 E（，2
5、）正好是抛物线的顶点23将 y= -2（x-）2+2 变形为 y-2= -2（x-）223 23令 y-2=y / ，x-= x /23过 A、E、D 三点的抛物线为：y / = -2 x /2假设经过三点的抛物线由（1）中抛物线平移得到，那么点AED，yxBDOCAE /（，6）应该还是抛物线的顶点，将点 E（，2）平移到点 E/（，6） ，29 23 29横坐标向右平移了 3 个单位，纵坐标向上平移了 4 个单位，这时抛物线的方程可以写成：y / -4= -2 （x /-3）2，则经过三点的抛物线应是：AED，y= -2（x-）2+6，这时点 A/（3，）应该在抛物线 y= -2（x-）2
6、+6 上，但将29 29 29其坐标代入等式不成立。故经过三点的抛物线不能由（1）中抛物线AED，平移得到。注意：这里使用了“反证法”，即提出与结论相反的假设，然后进行推理，推出错误，反究错误产生的原因是“假设”错误。因此原结论成立。也就是说，我们从上面的草图中看出“经过三点的抛物线不能由AED，（1）中抛物线平移得到”，这时，为了说明这个结论是正确的，我们提出了与结论相反的“假设”，然后进行推理，最后，点 A/（3，）应该在抛物线29y= -2（x-3）2+8 上，其坐标代入抛物线的解析式后等式应该成立，但实际代入后不成立，说明前面一定出现了错误，但整个推理过程都是正确的，究其错误原因是假设
7、错误，由此可得出结论“经过三点的抛物线不能由（1）中抛AED，物线平移得到。 ”另外，将点 M（x,y）向右平移 2 个单位后，得到点 M/（x-2,y）,再将点 M/向上平移 3 个单位后，得到点 M/（X-2,Y-3）。同理，抛物线 y / = -2 x /2上所有点横坐标向右平移了 3 个单位，纵坐标向上平移了 4 个单位，这时抛物线的方程可以写成：y / -4= -2 （x /-3）2。例 2 如图，抛物线 y x2bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与12y 轴交于 C 点，且 A(1，0)（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）判断的形状，证明你的结论； ABCNMP（
8、 x（ y（yxO解：（1）点在抛物线上，Q( 10)A ，2122yxbx，21( 1)( 1)202b 3 2b 抛物线的解析式为213222yxx，2 2213113252(34)222228yxxxxx顶点的坐标为D325 28，（2）当时，0x 2y (02)2COC，当时，0y 2132022xx11x 24x (4 0)B，1OA4OB 5AB ，225AB Q2225ACOAOC22220BCOCOB是直角三角形222ACBCABABC注意：1、利用“配方法”求抛物线的顶点坐标是一种常用的方法，尤其是不使用计算器时，不失为一种方便、快捷的方法。由于中考可以使用计算器，我们不经常
9、使用配方法，但上高中以后会经常用到。2、如图，在平面直角坐标系中，点的坐标与线段的程度有关，一般情况下x=PM，y=PN，只有点 P 落在第一象限时才有x=PM， y=PN。因此，在这类题目中使用的点常常在第一象限。题目通过图象上的点的坐标转换为线段的长度，将代数与几何等联系起来。3、在解这类题目时，正确的画出函数图象和从图象（或图形）中获取信息十分重要。在判断ABC 的形状时，我们从图形上可以直观感觉到是直角三角形，EDCBAyxOFEDCBAyxO然后使用勾股定理的逆定理去判断。例 3 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象)0(2acbxaxy的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，
10、与 x 轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，OBOC ，tanACO31（1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）方法一：由已知得：C（0，3） ，A（1，0）A、B、C 三点在抛物线上 解得 30390ccbacba321cba322xxy方法二：点 A（1，0） ， B（3，0）是抛物线与 x 轴的交点设抛物线为：（a0）)3)(1(xxay点 C（0，-3）在抛物线上
11、a（0+1） （0-3）=-3 解得 1a322xxy（2）方法一：存在，如图中 F 点过 C 作 CFAE，CF 与抛物线相交于点 F（x，-3）D 是抛物线的顶点xD=2122 1b a yxF3F2F1OECAyD= 24 134344 1acb a D（1，4）设过 C、D 的直线为：y=kx+b（k0） 解得 34bkb 13kb 3xyE 点的坐标为（3，0） AE=2F（x，-3）在抛物线上322xxyF（2，3） CF=2 CFAE，CF=AE=2以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形存在点 F（2，3） 方法二：同上，可求得 E（3，0）如图，以 A、C、E 为顶点的
12、平行四边形的第四个顶点为F1、F2、F3，显然，只有 F1在抛物线上存在点 F（2，3）注意：解（2）的方法一利用点坐标来证明“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”。这里由于过 C 作 CFAE，这时，点 C 与点 F 的纵坐标相等。 只要求出点 F 的横坐标，就可以算出线段 CF 的长度。解（2）的方法二是一种传统方法，如上图可知，在平面直角坐标系中，如果已知一个平行四边形的三个顶点，那么这个平行四边形的第四个顶点就有三种情况。例 4 如图，在梯形中，ABCDADBC，于点 E，ABDCAD60CAEBDF 是 CD 的中点，DG 是梯形的高ABCD（1）求证:四边形 AEFD 是平行
13、四边形；（2）设，四边形 DEGF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式.AEx（1）证明：梯形 ABCD 为等腰梯形ABDCC=60 120BADADC o在ABD 中，ABAD120BADADC oBDC=9030ABDADB oAEBD90AECoBDC=AED =90 AEDF.在 RtAED 中，ADE =30 AE=AC1 2F 是 CD 的中点 DF=CD=AC=AE1 21 2在四边形 AEFD 中，AEDF AE. =DF四边形 AEFD 是平行四边形.（2）解：在 RtAED 中, .30ADBoAEx2ADx在 RtDGC 中 C=60 sin60= DG=CDs
14、in60=xDG CD3DGBCDGEFS四边形 DEGF=EFDG=x21 23注意：这道题很有意思，在图中ABE、ADE、FED、FEG、CDG 这五个三角形全等。它们都是有一个 60角，有一条长直角边相等的直角三角形。PFEDCBA(P)FEDCBA例 5 如图，四边形 ABCD 中，ADCD，DABACB90，过点 D作 DEAC，垂足为 F，DE 与 AB 相交于点 E已知 AB15 cm，BC9 cm，P 是射线 DE 上的动点设 DPx cm（x0） ，四边形 BCDP 的面积为 y cm2（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（2）当 x 为何值时，PBC 的周长最小，并求出此时 y 的值解：（1）DEAC DFCFCB90BCDF四边形 BCDP 是梯形在 RtABC 中 AC2+BC2=AB2222215912ACABBC在ACD 中，DA=DC DFACCF=AF=6（x0） 1963272yxx（）（2）BC9（定值）要使PBC 的周长最小，只需 PBPC 最小点 P 是线
