高一数学全册教案：三角函数的图象与性质 Word教案

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1、1.31.3 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质1.3.11.3.1 三角函数的周期性三角函数的周期性 教学目标教学目标 一、知识与技能 了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函 数的周期。 二、过程与方法 从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、 概括与抽象、建立周期函数的概念，再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角 函数的性质去解决问题。 三、情感、态度与价值观 培养数学来源与生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的 数学方法。 教学重点教学重点 周期函数的定义和正弦、余弦、

2、正切函数的周期性。 教学难点教学难点 周期函数的概念 设计思路设计思路 创设情境，从自然界中的周期现象出发，通过对 P 点的圆周运动这一模型的分析，引 入周期函数的概念。 在研究 P 点的圆周运动时，给出了 y=f(t)的图象；并在研究了三角函数的周期后，给 出了 y=sinx 的图象，让学生从图象上对函数的周期加深理解，让学生体会数形结合的思想。在讲解例 2 时，充分利用解方程的思想，让学生更易理解。 教学过程教学过程 一、创设情境一、创设情境 每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转， 公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返，这一些都给我们循环、重复的感觉，

3、可以 用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。 二、学生活动二、学生活动（P 点的圆周运动）如图，点 P 自点 A 起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点 P 的运动轨迹是：A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B 显然点 P 的运动是周期运动。设圆的半径为 2，每 4 分钟运动一周。设 P 到 A 的距离为 y，运动时间为 t，则 y 是 t的函数，记为 y=f(t). 则 f(0)=f(4)=f(8)=f(12)= =0， （位置在 A 点）f(2)=f(6)=f(10)=f(14)= =4， （位置在 C 点）一般地，点 P 运行 t 分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达

4、的位置相同，由此能得到这样的数学表达式：f(t+4)=f(t)想一想：f(t+8)、f(t+12)与 f(t)有什么关系？说明它们的实际意义。f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t)，运行时间不等，但最终位置相同可以用描点法画出这个函数的图象（如图）它的特征是：在区间(0,4)(4,8)(8,12) 内重复。我们将上面的函数 y=f(t)称为周期函数。 三、建构数学三、建构数学 一般地，对于函数 f（x），对定义域内的每一个 x 的值，每增加或减少一个不为零的 定值 T，函数值就重复出现，这个函数就叫做周期函数，即 f(x+T)= f(x)。 （一）、周期函数及周期的定义（一）、周期函

5、数及周期的定义 周期函数定义如下：一般地，对于函数 f（x），如果存在一个非零的常数 T，使得定 义域内的每一个 x 值，都满足 f(x+T)=f(x)，那么函数 f（x）就叫做周期函数，非零常 数 T 叫做这个函数的周期。 前面函数 y=f(t)的周期可以认为是 4、8、12、 （二）（二） 、最小正周期的概念、最小正周期的概念.对于一个函数 f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.注意注意今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期. 显然上面的函数 y=f(t)的周期 T=4.( (三三) )、三角函数的周期、三角函数的周期思考：正弦函数 y

6、=sinx 是周期函数吗？即能否找到非零常数 T，使 sin(T+x)= sinx 成立？sin(2+x)=sinx，sin(4+x)=sinx，根据周期函数定义判断它是周期函数，又根据周期的规定，它的周期 T=2（最小正值）用几何画板展示周期函数 y=sinx 的图象，使学生感知其特征。讨论：余弦函数 y=cosx 和正切函数 y=tanx 也是周期函数，并找出它们的周期。 周期分别是 2、四、数学运用四、数学运用 例 1 若钟摆的高度 h（mm）与时间 t(s)之间的函数关系如图所示。（1）求该函数的周期； （2）求 t=10s 时钟摆的高度。分析：周期可由两顶点间距离确定，此函数周期 T

7、=1.5；根据函数的周期性，f(10)=f(101.5)=f(1021.5)= =f(101.5k)(其中 k 为整数)，直到 101.5k=1 或 2.5 为止，即 f(10)=f(1)=20.解：(略)例 2 求函数 f(x)=cos3x 的周期。解：设周期为 T. f(x)=cos3x=cos(3x+2)，f(x+T)=cos3(x+T)由 f(x)= f(x+T)得，3x+2=3(x+T)，解得 T=2/3.函数 f(x)=cos3x 的周期 2/3.注意：运用了换元方法，u=3x；f(u)=cosu 的(最小正)周期是 2；即 cosu=cos(u+2)； 由于 cos(3x+2)

8、=cos3(x+T)对任一 x 的值都成立，所以 3x+2=3(x+T)；f(x)= cos3x 的周期与 f(u)=cosu 的周期是两个不同的概念。 例 3求下列函数的最小正周期 T.（1）xxfsin3)(（2）xxf2sin)(（3）)421sin(2)(xxf解：（1）2)2()2sin(3sin3)(Txfxxxf（2） )()(2sin)22sin(2sin)(xfxxxxf 函数的最小正周期为 .（3）)4(4)4(21sin2)2421sin(2)421sin(2)(xfxxxxf 函数的最小正周期为 4.总结一般规律：的最小正周期是.)cos(),sin(xAyxAy|2

9、令 ，由的周期是，zxsin ,yAz zR2则 222zxx因而自变量只要并且至少要增加到，即。x2x 2T 例 4求证：（1）的周期为 ；cos2sin2yxx（2）.2|cos|sin|的周期为xxy证明：（1）)22sin()22cos()(2sin)(2cos)(xxxxxf的周期是xxyxfxx2sin2cos)(2sin2cos（2）)(|cos|sin|sin|cos|)2cos(| )2sin(|)2(xfxxxxxxxf.2|cos|sin|的周期是xxy总结：（1）一般函数周期的定义（2）周期求法)cos(),sin(xAyxAy尝试练习(1)求 g(x)=2sin()的

10、周期。1 26x(2)证明函数（其中为常数，且）的周期( )sin()f xAx,A 0,0A.2T 结论结论:一般的，周期函数 y=Asin(x+ )及 y=Acos(x+ )(其中 A，为常数，且 A0，0)的周期 T= .2学生练习：课本 P27 页 练习 1、2、3、4 五、回顾反思五、回顾反思 通过这节课的学习，你有哪些收获？ 1.周期函数、周期概念。 一般地，对于函数 f（x） ，如果存在一个非零的常数 T，使得定义域内的每一个 x 值， 都满足 f(x+T)=f(x),那么函数 f（x）就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。 2.函数 y=sinx 和函数 y=cos

11、x 是周期函数,且周期均为 2. 3.函数 y=tanx 是周期函数,且周期均为 . 4. 周期函数 y=Asin(x+)和 y=Acos(x+) (其中 A， 为常数，且A0，0)的周期的求法。 六、课外作业六、课外作业：1、举例说明周期现象。. 2.、课本 P45 页 习题 1.3 第 1 题 3、设 m、p、q 为自然数，m 除以 5 所得的商是 p 且余数是 q(q5). 显然 q 是 m 的函 数，记 q=f(m). (1)写出这函数的值域；(2)这函数是周期函数吗？若是，则写出周期；若 不是，则说明理由。七、七、设计设计说明：说明：1、由可感受、能理解的实例出发，感性的认识周期函数

12、的概念。比如创设情境，从自然界中的周期现象出发，建立 P 点的圆周运动这一模型 。本节课的难点在于周期函数概念的理解，因此在讲解概念之前，通过现实情境帮助理解周期运动，在此基础上理解周期函数的概念就不太困难了。2、通过对 P 点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念，体现了数学由具体到抽象、由特殊到一般的过程。3、新课程的一个重要理念就是“用教材教，而不是教教材” 。在处理例 2 的过程中，由于课本的解法学生不太易理解，所以，我利用解方程的思想，根据周期函数的概念列出方程，解出周期 T,从而降低了难度。4、在教学过程中，我设计一些思考与练习，变由老师讲解为学生思考、探究，发展了学生的思维

13、能力。132 三角函数的图象和性质(一)课型:新授课 课时计划:本课题共安排一课时 教学目标教学目标: 1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象2、掌握五点法作正、余弦函数图象的方法，并会用此方法画出上的正弦曲线、余0,2弦曲线 教学重点：教学重点： 正、余弦函数的图象的画法 教学难点：教学难点： 借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象教学过程： 一、 创设情境，引入新课 为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象，那么该怎样作出正、 余弦函数的图象？二、 新课讲解1、正弦函数图象的画法先画正弦函数的图象。由于是以

14、为周期的周期函数，故只要画出在上sinyx20,2的图象，然后有周期性就可以得到整个图象。 （1）几何法：利用单位圆中的正弦线来作出正弦函数图象（注：如何作出函数图象上的一个点，如点？sinyx00,sinxx不妨设，如图所示，在单位圆中设弧的长为，则。所以点00x AP0x0sinMPx是以弧的长为横坐标，正弦线的数量为纵坐标的点。 ）00,sinS xxAPMP作法步骤：将单位圆十二等份，相应地把轴上从 0 到这一段分成 12 等份。把角x2的正弦线向右平移使它的起点与轴上表示的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线xxx的终点连结起来，就得到正弦函数在区间上的图象。sinyx0,2最后只要将函

15、数， 的图象向左、右平移（每次个单位） ，就sinyx0,2x2可以得到正弦函数的图象叫做正弦曲线。（2）五点法：在函数的图象上，有 5 个关键点：sinyx0,2x，注意正弦曲线的走向，将这五点用光滑的曲线30,0 ,1 ,0 , 1 , 2 ,022连接起来，可得函数的简图。2、余弦函数图象的画法、余弦函数图象的画法 （1）几何画法：利用余弦线来作出余弦函数的图象（2）由正弦函数的图象依据诱导公式变换可得到由 可知将的图象向左平移个单位几得到的cossin()2yxxsinyx2cosyx图象。（3）五点法：在函数，的图象上，五个关键点为cosyx0,2x，利用此五点作出的简图。30,1 ,0 , 1 ,0 , 2 ,022cosyx三、例题剖析： 例 1、用五点法画出下列函数的简图：（1）， （2），2cosyxxRsin2yxxR解：（1）先用“五点法”画一个周期的图象，