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1、1.1.11.1.1 正弦定理正弦定理 学案学案【预习达标预习达标】在 ABC 中，角 A、B、C 的对边为 a、b、c，1.在 RtABC 中，C=900, csinA= ,csinB= ，即 sina A= 。2. 在锐角 ABC 中，过 C 做 CDAB 于 D，则|CD|= = ，即 ，同理得 ，故有 sina Asina A。3. 在钝角 ABC 中，B 为钝角，过 C 做 CDAB 交 AB 的延长线 D，则|CD|= = ，即 ，故有 sina Asina A。【典例解析】一 新课导入，推导公式（1）直角三角形中（2）斜三角形中正弦定理是例 1在中，已知，cm，解三角形。ABC0
2、32.0A081.8B42.9a例 2 如图，在 ABC 中，A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点D，求证： BDAB DCAC【达标练习】1. 已知 ABC 已知 A=600，B=300，a=3；求边 b=（） : D 32（2）已知 ABC 已知 A=450，B=750，b=8；求边（）A 8 B 4 C 4-3 D 8-833-（3）正弦定理的内容是（4）已知 a+b=12 B=450 A=600 则则则则 a=-，b=-（5）已知在 ABC 中,三内角的正弦比为 4:5:6，有三角形的周长为 7.5，则其三边长分别为-AB CD（6） 在 ABC 中，利用正弦定理证明 cba CB
3、A sinsinsin参考答案参考答案【预习达标预习达标】1a,b,. 2.bsinA asinB , ,=sinsinbc BCsinb Bsina Asinc Csinb B.sinc C3. .bsinA asinB , =.sinb Bsinb Bsinc C【典例解析典例解析】在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 11-2，在 Rt ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，si naAc，又, Asi nbBcsi n1cCc 则 b si nsi nsi nabccABCc从而在直角三角
4、形 ABC 中， C si nsi nsi nabc ABCa B(图 11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD=,则， si nsi naBbAsi nsi nab ABC同理可得， b si nsi ncb CBa从而 A si nsi nab ABsi nc Cc B(图 11-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点 A 作， jAC
5、u ruu u rC由向量的加法可得 ABACC Buu ruu u ruu r则 A ()jABjACC Bu r uu ru ruu u ruu rB jABjACjC Bu r uu ru r uu u ru r uu r ju r00cos 900cos 90 r uuu rr uu u rj ABAj CBC，即sinsincA aCsinsinac AC同理，过点 C 作，可得 ruuu rjBCsinsinbc BC从而 si nsi nab ABsi nc C类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定
6、理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即si nsi nab ABsi nc C例 1 解：根据三角形内角和定理，0180()CA B000180(32.081.8 )；066.2根据正弦定理，；00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2 证明：如图在 ABD 和 CAD 中，由正弦定理，得，sinsinBDAB 0sinsin(180)sinDCACAC 两式相除得BDAB DCAC【双基达标】1
7、 （1）C（2）D（3）=.（4）36-12sina Asinb Bsinc C612-24（5）2, 2.5, 36，2证明：设，则sinsinsinabckABCsin,sin,sinakA bkB ckCsinsinsinsin sinsinabkAkBAB ckCC学校：临清二中 学科：数学 编写人：刘会志 一审：李其智 二审：马英济1.1.21.1.2 正弦定理正弦定理【三维目标】：一、知识与技能1 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题2 通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力
8、二、过程与方法AB CD 1800让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与 其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归 纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。三、情感、态度与价值观1.培养学生处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：正弦定理的探索及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。【授课类型】：新授课四教学过程一、知识回顾 1 正弦定理的内容是什么？二、例题讲解例例 1 试推导在三角形中试推导在三角形中 =2R 其中 R 是外接Aa sinBb sinCc sin圆半径证明 如图所示， AD 同理， RCDD
9、a Aa2sinsinBb sinR2Cc sinR2=2RAa sinBb sinCc sin例 2 在CAacBbABC, 1,60, 30和求中，：，21360sin1sinsin,sinsin0 bBcCCc Bb为锐角，CBCBcb,60,0Q0090,30BC222cba例 3 CBbaAcABC, 2,45,60和求中，a bcOBCAD解 23 245sin6sinsin,sinsin0 aAcCCc AaQ0012060,sin或CcaAcQ，1360sin75sin6 sinsin,756000 00CBcbBC时，当1360sin15sin6 sinsin,1512000
10、 00CBcbBC时，当或0060,75, 13CBb00120,15, 13CBb五、巩固深化，反馈矫正五、巩固深化，反馈矫正 1 试判断下列三角形解的情况：已知则三角形 ABC 有（）解060,12,11BcbA 一 B 两 C 无解2 已知则三角形 ABC 有（）解0110, 3, 7AbaA 一 B 两 C 无解3.在中，三个内角之比，那么等于_ABC3:2:1:CBAcba:4.在中，, B=135 C=15 a=5 则此三角形的最大边长为ABC00_5 在中，已知，如果利用正弦定理解三角ABC045,2,Bcmbxcma形有两解，则 x 的取值范围是_6.在中，已知，求的度数ABC
11、Bcbsin2C六、小结六、小结（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 使；kCkcBkbAkasin,sin,sin（2）=等价于=，=，=Aa sinBb sinCc sinAa sinBb sinBb sinCc sinAa sin，即可得正弦定理的变形形式：Cc sin1）；2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC2）；sin,sin,sin222abcABCRRR3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： 1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如；BAbasinsin2）两边和其中一边对角，求另一
12、边的对角，进而可求其它的边和角如。BbaAsinsin一般地，已知角 A 边 a 和边 b 解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示） 外接圆法）如图所示， ADa=bsinA 有一解 absinA 有两解 ab 有一解 ab 有一解七板书设计 略1.1.2 正弦定理学案 预习达标1 正弦定理的内容是2 在三角形 ABC 中已知 c=10 A=450 C=300，则边 a=-，边b=-，角 B=-3 在三角形 ABC 中，已知 a=20cm，b=28cm，A=40 ，则角 B=-0-（可借助计算器）二 典例解析例例 1 试推导在三角形中试推导在三角形中 =2R 其中 R 是外接圆Aa sinBb
13、 sinCc sin半径例 2 在CAacBbABC, 1,60, 30和求中，例 3 CBbaAcABC, 2,45,60和求中，三 达标练习1 试判断下列三角形解的情况：已知则三角形 ABC 有（）解060,12,11BcbA 一 B 两 C 无解2 已知则三角形 ABC 有（）解0110, 3, 7AbaA 一 B 两 C 无解3.在中，三个内角之比，那么等于_ABC3:2:1:CBAcba:4.在中， B=135 C=15 a=5 ,则此三角形的最大边长为ABC00_5.在中，已知，如果利用正弦定理解三角ABC045,2,Bcmbxcma形有两解，则 x 的取值范围是_6.在中，已知，求的度数ABCBcbsin2C学案答案一预习达标 1 = 2 10
