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1、第十四章 整式的乘法与因式分解 141 整式的乘法 141.1 同底数幂的乘法1理解同底数幂的乘法法则 2运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题重点 正确理解同底数幂的乘法法则 难点 正确理解和应用同底数幂的乘法法则一、提出问题，创设情境复习 an的意义： an表示 n 个 a 相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a 叫做底数，n 是指数 (出示投影片)提出问题： (出示投影片) 问题：一种电子计算机每秒可进行 1 千万亿(1015)次运算，它工作 103秒可进行多少次运算？ 师能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ 生运算次数运算速度工作时间，所以计算机工作 103秒可进行的运算
2、次数为：1015103. 师1015103如何计算呢？ 生根据乘方的意义可知1015103(101010)15 个 10(101010)(101010)18 个 101018. 师很好，通过观察大家可以发现 1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们 把像 1015，103的运算叫做同底数幂的乘法根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算同底数幂的乘法 二、探究新知 1做一做(出示投影片) 计算下列各式：(1)2522； (2)a3a2； (3)5m5n.(m，n 都是正整数) 你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述 师根据乘方的意义，同学们可以独立解
3、决上述问题生(1)2522(22222)(22) 27252. 因为 25表示 5 个 2 相乘，22表示 2 个 2 相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3a2(aaa)(aa)a5a32. 5m5n(555),sdo4(m 个 5)(555),sdo4(n 个 5)5mn. 生我们可以发现下列规律：aman等于什么(m，n 都是正整数)？为什么？(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘； (2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和 2议一议(出示投影片) 师生共析aman表示同底数幂的乘法根据幂的意义可得： aman(aaa)m 个 a(aaa)n 个 aaaa(mn)个
4、aamn 于是有 amanamn(m，n 都是正整数)，用语言来描述此法则即为： “同底数幂相乘，底数不变，指数相加” 师请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则 生am表示 m 个 a 相乘，an表示 n 个 a 相乘，aman表示 m 个 a 相乘再乘以 n 个 a 相 乘，也就是说有(mn)个 a 相乘，根据乘方的意义可得 amanamn. 师也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加 3例题讲解出示投影片 例 1计算：(1)x2x5; (2)aa6； (3)22423; (4)xmx3m1. 例 2计算 amanap
5、后，能找到什么规律？ 师我们先来看例 1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？ 生 1(1)，(2)，(4)可以直接用“ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则 生 2(3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数 幂相乘，再用法则运算就可以了 师同学们分析得很好请自己做一遍每组出一名同学板演，看谁算得又准又快生板演： (1)解：x2x5x25x7； (2)解：aa6a1a6a16a7； (3)解：2242321423252325328； (4)解：xmx3m1xm(3m1)x4m1. 师接下来我们来看例 2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法解法一
6、：amanap(aman)ap amnapamnp； 解法二：amanapam(anap)amanpamnp； 解法三：amanap(aaa)m 个 a(aaa)n 个 a(aaa)p 个 aamnp 归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义三种解法得出了同一结果我们需要这种开拓思维的创新精神 生那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加 师是的，能不能用符号表示出来呢？生am1am2am3amnam1m2m3mn. 师鼓励学生那么例 1 中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了224232143
7、28. 三、随堂练习 1m14可以写成( ) Am7m7 Bm7m7 Cm2m7 Dmm14 2若 xm2，xn5，则 xmn的值为( ) A7 B10 C25 D52 3计算：22(2)2_；(x)(x2)(x3)(x4)_ 4计算：(1)(3)2(3)5；(2)10610510； (3)x2(x)5； (4)(ab)2(ab)6. 四、课堂小结 师这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？ 生在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质 生同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是
8、必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定 是底数不变，指数相加，即 amanamn(m，n 是正整数)五、课后作业 教材第 96 页练习本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指 数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨 同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式” ，训练学生的整体思想141.2 幂的乘方1知道幂的乘方的意义 2会进行幂的乘方计算重点 会进行幂的乘方的运算 难点 幂的乘方法则的总结及运用一、复习引入(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：(2)计算：a2a5an；a
9、4a4a4. 二、自主探究 1思考： 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：(1)(32)33232323( )； (2)(a2)3a2a2a2a( )； (3)(am)3amamama( )(m 是正整数) 2小组讨论 对正整数 n，你认识(am)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？幂的乘方(am)namamamamn 个ammmm,sup6(n 个 m)amn 字母表示：(am)namn(m，n 都是正整数) 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘注意： 幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成 a7，也不能把 a5a2的计算结果写
10、成 a10. 三、巩固练习 1下列各式的计算中，正确的是( ) A(x3)2x5 B(x3)2x6 C(xn1)2x2n1 Dx3x2x6 2计算：(1)(103)5; (2)(a4)4； (3)(am)2; (4)(x4)3. 四、归纳小结 幂的乘方的意义： (am)namn.(m，n 都是正整数)五、布置作业 教材第 97 页练习运用类比方法，得到了幂的乘方法则这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新 知识更容易接受类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意141.3 积的乘方1经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义 2理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题重点 积的乘方运
11、算法则及其应用 难点 幂的运算法则的灵活运用一、问题导入 师 提出的问题：若已知一个正方体的棱长为 1.1103 cm，你能计算出它的体积是多少吗？ 生 它的体积应是 V(1.1103)3 cm3. 师 这个结果是幂的乘方形式吗？ 生 不是，底数是 1.1 与 103的乘积，虽然 103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理 师 积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请 同学们自己探索，发现其中的奥妙二、探索新知 老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳(出示投影片) 1填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2
12、(ab)(ab)(aa)(bb)a( )b( )； (2)(ab)3_a( )b( )； (3)(ab)n_a( )b( )(n 是正整数) 2把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达 3解决前面提到的正方体体积计算问题 4积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法 5完成教材第 97 页例 3.学生探究的经过： 1(1)(ab)2(ab)(ab)(aa)(bb)a2b2，其中第步是用乘方的意义；第步是用乘 法的交换律和结合律；第步是用同底数幂的乘法法则同样的方法可以算出(2)，(3)题；(2)(ab)3(ab)(ab)(ab) (aaa)(bbb)a3b3； (3)(ab)n
13、(ab)(ab)(ab)n 个 ab aaan 个 abbbn 个 banbn. 2积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积 用符号语言叙述便是：(ab)nanbn.(n 是正整数) 3正方体的 V(1.1103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：V(1.1103)31.13(103)31.1310331.131091.331109(cm3) 通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)nanbn.(n 为正整数) 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的
14、规律？3 个以上的因式呢？ 学生讨论后得出结论： 三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)nanbncn.(n 为正整数) 4积的乘方法则可以进行逆运算即 anbn(ab)n.(n 为正整数) 分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边 指数相等，那么可以总结为： 同指数幂相乘，底数相乘，指数不变 看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算对于 anbn(ab)n(n 为正整数)的证明如下：anbn(aaa)n 个 a(bbb)n 个 b幂的意义 (ab)(ab)(ab)(ab)(ab)n 个(ab)乘法交换律、结合律 (ab)n乘方的意义 5例 3(1)(2a)323a38a3； (2)(5b)3(5)3b3125b3； (3)(xy2)2x2(y2)2x2y22x2y4x2y4； (4)(2x3)4(2)4(x3)416x3416x12. (学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获) 师 通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用可以
