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1、数列（附高考预测）数列（附高考预测）一、本章知识结构：一、本章知识结构：二、重点知识回顾二、重点知识回顾数列的概念及表示方法数列的概念及表示方法（）定义：（）定义：按照一定顺序排列着的一列数（）表示方法：（）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法） 、图象法（）分类：（）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列（）na与nS的关系：11(1)(2)n nnS naSSn2等差数列和等比数列的比等差数列和等比数列的比较较（）定义：（）定义：从第 2 项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第 2 项起每一项与
2、它前一项的比等于同一常数（不为 0）的数列叫做等比数列（）递推公式：（）递推公式：110nnnnaadaa qqn N，（）通项公式：（）通项公式：1 11(1)n nnaandaa qnN，（）性质（）性质等差数列的主要性等差数列的主要性质质： ：单调性：0d时为递增数列，0d时为递减数列，0d 时为常数列若mnpq，则()mnpqaaaa mnpqN，特别地，当2mnp时，有2mnpaaa() ()nmaanm d mnN，232kkkkkSSSSS，成等差数列等比数列的主要性等比数列的主要性质质： ：单调性：当1001aq ，或101aq 时，为递增数列；当101aq ，或1001aq
3、时，为递减数列；当0q 时，为摆动数列；当1q 时，为常数列若mnpq，则()mnpqaaa a mnpqN，特别地，若2mnp，则2 mnpaaa(0)n mnmaqmnqaN，232kkkkkSSSSS，当1q 时为等比数列；当1q 时，若k为偶数，不是等比数列若k为奇数，是公比为1的等比数列三、考点剖析三、考点剖析考点一：考点一：等差、等比数列的概念与性质等差、等比数列的概念与性质例例 1. （2008 深圳模拟）已知数列.122nnSnann项和的前 （1）求数列na的通项公式； （2）求数列.|nnTna项和的前解：解：（1）当111112,12 11San时；、当.213) 1()
4、 1(12)12(,222 1nnnnnSSannnn时， .213111的形式也符合na.213,naann的通项公式为数列所以、（2）令. 6, 0213*nnnan解得又N 当2 212112|,6nnSaaaaaaTnnnnnLL时；当|,67621nnaaaaaTnLL时naaaaaaLL87621.7212)12()6612(22222 6nnnnSSn综上，. 6,7212, 6,1222nnnnnnTn点评：点评：本题考查了数列的前 n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意 n时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想例、 （2008 广东双合
5、中学）已知等差数列na的前 n 项和为nS，且35a ，15225S. 数列nb是等比数列，3232 5,128baa b b（其中1,2,3,n ）.（I）求数列na和 nb的通项公式；（II）记, nnnnnca bcnT求数列前项和.解解：（I）公差为 d，则 ,22571515, 5211 dada12, 2, 11 nadan故(1,2,3,n ). 设等比数列nb的公比为q， ,128, 82 333qbqbb 则 . 2, 83qb nn nqbb23 3(1,2,3,n ). （II）,2) 12(n nncQ 2323 25 2(21) 2 ,n nTn L .2) 12(2
6、)32(2523221432nn nnnTL 作差：115432) 12(22222nn nnTL31 12 (1 2)2(21) 21 2n nn 31122122 (21)(21) 222822nnnnnnn 162(23)nn 1(23) 26n nTn(1,2,3,n ). 点评点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前 n 项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。考点二：求数列的通项与求和考点二：求数列的通项与求和例例 3.（2008 江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8
7、9 1011 12 13 14 15按照以上排列的规律，第n行（3n）从左向右的第 3 个数为 解解：前 n1 行共有正整数 12（n1）个，即22nn个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第22nn3 个，即为26 2nn点评点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。例例 4.（2008 深圳模拟）深圳模拟）图（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎” ，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含( )f n个“福娃迎迎” ，则(5)f ；(
8、 )(1)f nf n解解：第 1 个图个数：1第 2 个图个数：1+3+1第 3 个图个数：1+3+5+3+1第 4 个图个数：1+3+5+7+5+3+1第 5 个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41，所以，f（）f(2)-f(1)= ，f()-f()=，f()-f()=，f()-f()=( )(1)f nf n 4(1)n点评点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。考点三：数列与不等式的联系考点三：数列与不等式的联系例例 5.（届高三湖南益阳）已知等
9、比数列 na的首项为31 1a，公比q满足10qq且。又已知1a，35a，59a成等差数列。（1）求数列 na的通项 （2）令nanb13log，求证：对于任意nN，都有1 22 311111.12nnbbb bb bp（1）解：3152 59aaa 24 111109a qaa q 4291010qq 10qq且 1 3q 1 13nn naa q （2）证明：133loglog 3nan nbn ， 11111 (1)1nnb bn nnn1 22 31111111111.1122311nnbbb bb bnnn L1 22 311111.12nnbbb bb bp点评点评：把复杂的问题转
10、化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由 n 的范围证出不等式。例、例、(2008 辽宁理辽宁理) 在数列|na，|nb中，a1=2，b1=4，且1nnnaba，成等差数列，11nnnbab，成等比数列（n*N） （）求 a2，a3，a4及 b2，b3，b4，由此猜测|na，|nb的通项公式， 并证明你的结论；（）证明：11221115 12nnababab解：（）由条件得2 1112nnnnnnbaaab b中由此可得2233446912162025ababab中中中中中 猜测2(1)(1)nnan nbn中 用数学归纳法证明： 当 n=1 时，
11、由上可得结论成立 假设当 n=k 时，结论成立，即2(1)(1)kkak kbk中， 那么当 n=k+1 时，2 222 1122(1)(1)(1)(2)(2)k kkkk kaabakk kkkbkb 中所以当 n=k+1 时，结论也成立 由，可知2(1)(1)nnan nb n中对一切正整数都成立（）11115 612abn2 时，由（）知(1)(21)2(1)nnabnnnn故112211111111 62 2 33 4(1)nnabababn n11 111111 62 23341nn11 11115 62 216412n 综上，原不等式成立 点评点评：本小题主要考查等差数列，等比数列
12、，数学归纳法，不 等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、 论证等能力 例例. （2008 安徽理）安徽理）设数列 na满足3* 010,1,nnaacac cNc 中中为实数 （）证明：0,1na 对任意*nN成立的充分必要条件是0,1c；（）设103c，证明：1*1 (3 ),n nacnN ;（）设103c，证明：222* 1221,1 3naaannNc L解解： (1) 必要性必要性 ：120,1aac ，又 20,1,011ac ，即0,1c 充分性充分性 ：设0,1c，对*nN用数学归纳法证明0,1na 当1n 时，100,1a .假设0,1(1)kak则3 1
13、111kkacaccc ，且3 1110kkacacc 10,1ka，由数学归纳法知0,1na 对所有*nN成立(2) 设 103c，当1n 时，10a ，结论成立当2n 时，32 11111,1(1)(1)nnnnnnacacacaaa 103C,由（1）知10,1na，所以 2 1113nnaa 且 110na 113 (1)nnaca211 12113 (1)(3 ) (1)(3 )(1)(3 )nn nnnacacacac L1*1 (3 )()n nacnN (3) 设 103c，当1n 时，2 12021 3ac，结论成立当2n 时，由（2）知11 (3 )0n nac 21 212(1)1(1 (3 )1 2(3 )(3 )1 2(3 )nnnn nacccc 2222221 1221 23(3 )(3 )n nnaaaaanccc LLL 2(1 (3 ) )2111 31 3ncnncc 点评：点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。考点四：数列与函数、概率等的联
