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1、第二节第二节 双曲线双曲线一、基本知识概要：一、基本知识概要：1.1.双曲线的定义双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点距离的差的绝对值等于21,FF的点的轨迹，即点集。 （为|)|2(221FFaaaPFPFP2|21212FFa 两射线；2无轨迹。 ）无外面的绝对值则为半条双曲线，左-21FFa 右为右支，上-下为下支等。第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 的距离的比是常l数的动点的轨迹。即点集=，一) 1( e 1|11edPFP 1|22edPFP个比产生整条双曲线。2.2.双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0, 0( 12222 baby ax)0, 0( 12222 b
2、abx ay图形焦点F1（-，F2（)0 , c)0 , cF1（，F2（), 0c),co焦距| F1F2|=2c 一个 Rt222cba范围Ryax ,|Rxay ,|对称性关于 x 轴，y 轴和原点对称顶点（-a，0） 。 （a，0）（0，-a） （0，a）轴实轴长 2a，虚轴长 2b准线 cax2 cay2 0by axxaby0ay bxxbay性质渐近线共渐近线的双曲线系方程共渐近线的双曲线系方程或或kby ax2222)0( 2222 kk bx ayP 在右支上，aexPFraexPFr2211P 在左支上，)()(2211 aexPFraexPFrP 在上支上，aeyPFra
3、eyPFr2211P 在下支上，)()(2211 aeyPFraeyPFr焦半径acPFmin平面几何性质离心率， 大开口大) 1( eacee焦准距准线间距=焦渐距= 。,2cap ,22cab说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。(2)双曲线方程中的与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐pecba,标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件，一个定位条件，焦点坐ba,标或准线，渐近线方程。求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。求双曲线标准方程常用的方法是待
4、定系数法或轨迹方程法。(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。利用共渐近线的双曲线系利用共渐近线的双曲线系或或方程解题，方程解题，kby ax2222 )0( 2222 kk bx ay常使解法简捷常使解法简捷。(4)双曲线的焦半径，当点 P 在右支（或上支）上时，为当点 P 在左支（或下支）上时，为);( ,00aeyaex利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，);(),(00aeyaex3. .重点、难点：重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量
5、，掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。4.4.思维方式：思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。二、例题：二、例题：例 1：根据下列条件，求双曲线方程： (1) 与双曲线有共同渐近线，且过点；116922 yx)32 , 3(2) 与双曲线有公共焦点，且过点。141622 yx)2 ,23(【解】：（1）设所求双曲线方程为，将点)0(16922 yx代入得，)32 , 3(41所以双曲线方程为。41 16922 yx（2）设双曲线方程为，将点代入得，141622 ky kx)2 ,23(4k所以双曲线方程为。181222 yx【思维点拨思维点拨】利用共渐近线的双曲
6、线系方程解题简捷明了。要善于利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。选择恰当的方程模型。例 2：在双曲线上求一点 P，使它到左焦点的距离是它到191622 yx右焦点距离的两倍。【解】：设 P 点的坐标为，分别为双曲线的左，右焦点。),(yx21,FF双曲线的准线方程为。 516x |516|516|21 xPFxPFP 在双曲线的右支上。 |2|21PFPF 516|516|222 xPFxPF。把代入方程得。 所以，P 点的548x548x191622 yx11953y坐标为（，）54811953【思维点拨思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了运用焦半径公式，解题
7、简洁明了. .例例 3 3 （2002 年全国，19）设点 P 到点 M（1，0） ，N（1，0）距离之差为 2m，到 x 轴、y 轴距离之比为 2，求 m 的取值范围。解：解：设点 P 的坐标为（x,y） ，依题意得。 )0(2, 2xxyxy即（1）因此，点 P（x.y）,M(-1,0),N(1,0)三点不共线，得2MNPNPM，10, 02mmPNPMQ因此，点 P 在以 M，N 为焦点，实轴长为 2的双曲线上，故m（2）112222 my mx将（1）代入（2） ，并解得，222 2 51)1 ( mmmx051, 0122mmQ解得 0，即 m 的取值范围为。55m)55, 0()0
8、 ,55(U【思维点拨思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。例例 4 4：已知双曲线的离心率，左，右焦点分别的12222 by ax21e为，左准线为 ，能否在双曲线的左支上找到一点 P，使得21,FF1l是 P 到 的距离 与的等比中项。|1PFld|2PF【解】：设在左半支上存在点 P，使，由双曲线的第dPFPF|22 1二定义知，即 ePFPF dPF|121|12PFePF 再由双曲线的第一定义，得 aPFPF2|12由，解得： 12| ,12|21eaePFeaPF由在 中有 ， 21FP
9、FcPFPF2|12ceae ea212 12利用，从式得 解得ace 0122 ee2121e，与已知矛盾。 符合条件的点 P2111eeQ21e不存在。 【思维点拨思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取值是关键。利用定义及假设求出离心率的取值是关键。例例 5 5如图，在双曲线的上支有三点1131222 xy，它们与点 F（0，5）的距离成等差数列。),(),6 ,(),(33211yxCxByxA（1）求的值31yy （2）证明：线段 AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标解：（1）故 F 双曲线的焦点，设准线为 ，离心率为 ，, 51312cle由题设有 （1）FCFAFB2分别过
10、 A、B、C 作 x 轴的垂线，则由111222CBA,，于交lCCBBAA双曲线的第二定义有，代入（1）式，111,FBCCeFCAAeFABBe得，于是两边均加上准线与 x111111CCAABB2,2即CCeAAeBBe轴距离的 2 倍，有126223131222yyyyCCAABB，此即（2）AC 的中垂线方程为)(26),2(2312 32 1313131313131 yyxxxyyxxyxxxyyxxyyy即（2）由于 A、C 在双曲线上，所以有11312, 113122 32 32 12 1xyxy相减得13121213)(1213,121331 312 32 12 32 12
11、32 1yyyyxxyyxx于是有故（2）式化为，易知此直线过定点。2253131xyyxxy)225, 0(D【思维点拨思维点拨】利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦 AC 的中点，中点问题往往把 A、C 的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。例例 6 6：（备用） 已知双曲线的焦点在 轴上，且过点和，x)0 , 1 (A)0 , 1(BP 是双曲线上异于 A、B 的任一点，如果 APB 的垂心 H 总在此双曲线上，求双曲线的标准方程。【解】：设双曲线方程为为双曲线上任一点，),(, 10022 2yxPbyxBN，PM 是 APB 的两条高，则 BN 方程为 ) 1(
12、100xyxyPM 方程为 0xx 又 得，又 H 在双曲线上，, 122 02 0byx),(20 0byxH142 02 0byx，所以双曲线方程为12b122 yx【思维点拨思维点拨】设方程，消参数。设方程，消参数。例例 7 7：（备用）双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为，它的两个3焦点分别为 F1，F2，直线 过 F2且与直线 F1F2的夹角为，且l， 与线段 F1F2的垂直平分线的交点为 P，线段 P F2与双221tanl曲线的交点为 Q，且:= : ，建立适当的坐标系，求双曲| PQ|2QF21线的方程。【解】：以 F1F2的中心为原点，F1，F2所在的直线为 轴建立坐标系，x则所
13、求双曲线方程为，设，)0, 0( 12222 baby ax)0 ,(2cF不妨设 的方程为，它与 轴交点l)(221cxyy)221, 0(cP由定比分点坐标公式 Q 点的坐标为 即 cc yccx621 322132 320)621,32(ccQ由点 Q 在双曲线上可得 又 13621 942222 bc ac3ab222cba解得，所以双曲线方程为3, 1ba132 2yx三、课堂小结：三、课堂小结：1. 渐近线是刻画双曲线的一个十分重要的概念，渐进线方程为的双曲线方程可设为。xmny)0(2222 ny mx2. 利用点在曲线上列方程求参数值，利用曲线的范围列不等式解参数范围，在圆锥曲线解题过程中应重视这方面的应用。3. 椭圆中的关系与双曲线中的关系是不同的，应注意区cba,cba,分运用。四、作业布置：四、作业布置：教材教材 P123 闯关训练闯关训练
