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1、等腰梯形的性质及证明等腰梯形的性质及证明课题等等 腰腰 梯梯 形形 的的 性性 质质 及及 证证 明明教 材 简介等腰梯形与直角梯形是并列的梯形,梯形与平行四边形又是并列的四边形。等腰梯形的性 质是梯形问题的重点,深刻的理解等腰梯形的性质,有助于知识的内化,有助于形成知识系统, 有助于发展学生的数学思维。教 学 目 标1.使学生掌握等腰梯形的性质定理及证明。 2.使学生理解适当的添加辅助线是解决问题的关键。 3.使学生理解几何问题中转化的数学思想。教学重点:等腰梯形的性质。 教学难点:1等腰梯形的性质。2.添加辅助线进行问题的转化。教学关键:准确(适当)地添加辅助线。教学方法:启发引导 探索发
2、现教学用具:教学多媒体教教 学学 内内 容容设设 计计 意意 图图教教学学过过程程、 创设问题情境,鼓励学生讨论: 1、 什么是等腰三角形?有什么性质?2、 什么是等腰梯形? 3、 等腰梯形与等腰三角形比较,等腰梯形有什么性质?(猜想) (板书课题:等腰梯形的性质定理及证明) 、 问题类比,提出猜想: 将学生分组,讨论上述第三个问题。很快得出一个猜想(命题): 命题:等腰梯形在同一底上的两个角相等。 (学生对命题的叙述不一定准确,教师引导学生得出叙述准确的 命题,并提出应对命题的正确性加以证明。 ) 、 分析探索、寻求证明: 已知:如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,AB=DC 求证:B=C
3、启启发发与思考:与思考: 问题问题一:一:证明两角相等通常采用什么办法?创设问题情境, 鼓励学生讨论中的三 个问题由教学多媒体集成。 1.是起到创设问 题情景的作用。 2.是为了引入新 课。 分组讨论,进行 问题类比是为学生创 造合作的学习环境, 提供探索问题的方法。 并使学生在类比中产 生直觉思维(建立猜想)。教教学学过过程程(可能的答案:1.证明所在的两三角形全等。 2.证明是等腰三角形。 3证角平分线,等等。 )依据学生的回答,让学生观察图形,发现可能采用的证法与所给 的已知条件相距甚远。因此,引出新的问题: 问题问题二:二:对于研究新问题(未知的、复杂的问题),通常采用什么数学思想解决
4、? (回答是肯定的:“转化”的思想。也就是将未知的转化为已知的, 将复杂的图形转化为熟悉的基本图形进行研究。) 问题问题三:三:怎样转化? (添加辅助线。) 问题问题四:四:怎样添加辅助线?可以将问题转化为大家熟悉的图形, 并利用已知图形的性质及已知条件进行证明和研究。 这个问题是教学中的难点和关键,为突破这个教学难点,教学中 必须注意引导学生联系问题一中所提到的方案,即添加辅助线后能 将梯形问题转化为问题一中所涉及的已知(熟悉的)图形,或者是转 化后能将分散的、没有联系的条件聚拢到一起,建立直接联系。并利 用已知图形的性质及已知条件进行证明。 教学中将学生分组讨论,并证明。可能的添法:可能的
5、添法: (一)、过梯形的顶点作腰的平行线,将梯形转化为一个平行四边形和一 个三角形。如图所示: AD A DC BEC B E C A D E E A DB C B C (二)、过上底的端点作下底的垂线或过下底的端点作上底延长线的垂 线。如图所示:A D E A D F B E F C B C 在实际教学中,估计学生可以很容易的填出(一)中的前两种、(二)中 的第一种,其它情况可由教师引导填出。 教学中一定要注意添加辅助线是关键,要注意学生的思维过程,引导学 生克服思维障碍。 引出辅助线后,证明比较简单,可由小组推荐代表到黑板板演,比一 比那个组的证法最规范。 下面的证明是针对第一种情况第一个
6、图的证明,其它情况的证明略。启发与思考中设 计了五个问题,旨在 引导学生应用正确的 方法证明猜想;并引 导学生在对问题探索 过程中发现规律、总 结规律;第三是引导 学生在探索过程中养 成良好的思维习惯和 思维方法;第四是使 学生的直觉思维(猜 想、感性的)上升为形 象思维(正确、理性的)。 其中问题一是引 导学生运用分析法 (执果索因)探索证明 方法,并使学生领会 这一常用的数学方法。问题二是使学生重温 “转化”这一重要的数学思想;使学生的探 索在正确的思想指导 下进行;并且可以自 然的引出下面的问题。问题三是引导学 生发现解决“转化”的途径和方法。 问题四是一个开 放性的问题,同时是 教学中
7、的难点和关键, 所以提出这个问题是必然的。 第二是通过对这 个开放性的问题的探索,可以很好的培养 学生的发散思维,可以很好的培养学生的 数学能力。 第三可以使学生 在探索中发现研究梯教教学学过过程程证证明:明:如图,过点 D 作 DEAB,交 BC 于点 E。B=DEC ADBCAB=DE又AB=DCDE=DCDEC=CB=C 问题问题五:五:上述证明中的辅助线是如何将问题转化的?(教师引导学生 总结。)第一种添加辅助线的方法: 1、 可理解为将梯形转化为平行四边形和等腰三角形来研究。 2、 可理解为将梯形的一腰平移,使这个腰与另一个腰产生直接 联系(构成等腰三角形)。 这两种方法均可用问题一
8、中的 2 进行证明。 第二种添加辅助线的方法: 可理解为构造两个三角形,并证明这两个三角形全等,从而使 问题得证。 四、巩固练习,促进知识正迁移: 已知:如图,梯形 ABCD, A DADBC, B=C 求证:AB=CDB C 启启发发与思考:与思考: 1、 是不是可以类比性质定理的方法进行证明? 2、 都有什么方法?(重点突出如何添加辅助线) 学生很容易将性质定理证明的方法迁移到此题,会得出许多证法。除 此以外,可以引导学生如下图的方法添加辅助线进行证明。 E 证明可由学生完成。 A D 证明略B C 、 总结规律,促使知识内化: a)注意“转化”的数学思想,并能够应用它。 b)注意研究梯形
9、问题中常见的添加辅助线的一般规律。 (问题 四及练习中的方法。 ) c)注意学会分析问题、解决问题的一般性方法。 、 作业: a)阅读教材。 总结在梯形问题中常用的转化方法。 (即怎样添加辅助线,为什么这样添加?)形问题常用的添加辅 助线的规律, 并使学 生形成研究梯形问题的基本技能。问题五是使学生 理解添加辅助线的实 质,并引导学生总结 在一般情况下添加辅 助线的规律,促使知 识内化,从而使学生 在探索中获得的认识 上升为理性认识。 第二是使发散的 思维转向聚拢。 巩固练习的实质是等腰梯形的判定定 理的证明。因为其证 明与性质定理的证明 类似,引用它可以促 使知识的正迁移,使 知识与技能及时
10、得到巩固和深化。其次是 为下节判定定理的教学打下伏笔。总结的目的是为 了突出规律,使学生 掌握解决问题的一般性的方法。作业的目的与总 结的目的相同。设设 计计 说说 明:明:1本课案设计教学时间为一课时。2本节课案的教学设计立足于“探究发现式”教学模式。3本课案力求突出三条线:问题线、探究线和思维线。以问题激发学生的求知欲望,使学生建立猜想(直觉),并带领学生一步步深入探究,以问题引导学生的思维发散和聚拢,并使学生在探索过程中获取的认识上升为理性认识。也就是使学生掌握研究梯形问题的一般规律和方法,也就是使学生掌握运用分析法、运用转化的思想解决梯形问题,从而使学生掌握梯形问题中添加辅助线的一般规律和方法。4本课案设计的实质是想培养学生良好的思维习惯,即培养学生思维的深刻性、灵活性及批判性;培养学生分析问题、解决问题的数学能力;培养学生勇于探索的精神,提高学生的探究能力,也就是使学生具有一定的创新精神和实践能力。5本课案的另一个想法是使学生学会合作学习,使学习成绩在合作中提高,使学生在合作中获得成功,使学生在合作中体会成就感。板板 书书 设设 计计: :4.8 等腰梯形的性质定理及证明、 设问题情境:、 问题类比,提出猜想:、 分析探索、寻求证明:、 巩固练习,促进知识正迁移:、 总结规律:六、作业:教教 学学 后后 记记: :