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1、第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程21211 1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题 2掌握一元二次方程的一般形式 ax2bxc0(a0)及有关概念 3会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一 次项和系数及常数项一、自学指导(10 分钟) 问题 1：如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形， 然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖
2、方盒的底面积为 3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为_(1002x)cm_，宽为 _(502x)cm_列方程_(1002x)(502x)3600_，化简整理，得 _x275x3500_问题 2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时 间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为_4728_ 设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他_(x1)_个队各赛 1 场，所以全部比赛共_场列方程_28_，化简整理，得_x2x560_x（x1） 2x（x
3、1） 2探究： (1)方程中未知数的个数各是多少？_1 个_ (2)它们最高次数分别是几次？_2 次_ 归纳：方程的共同特点是：这些方程的两边都是_整式_，只含有_一个_未知 数(一元)，并且未知数的最高次数是_2_的方程 1一元二次方程的定义 等号两边都是_整式_ ，只含有_一_个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 _2_(二次)的方程，叫做一元二次方程 2一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax2bxc0(a0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中_ax2_是二次项，_a_是二次项系数， _bx_是一次项，_b_是一次项系
4、数，_c_是常数项 点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号二次项系数 a0 是一个重要条件，不能漏掉二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6 分钟) 1判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x32x250； (2)x21；(3)5x22x x22x ；1 43 5(4)2(x1)23(x1)； (5)x22xx21; (6)ax2bxc0. 解：(2)(3)(4) 点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知 数，这样的方程仍然是整式方程 2将方程 3x(x1)5(x2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系
5、数、一次项系数及常数项 解：去括号，得 3x23x5x10.移项，合并同类项，得 3x28x100.其中二次 项系数是 3，一次项系数是8，常数项是10. 点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8 分 钟) 1求证：关于 x 的方程(m28m17)x22mx10，无论 m 取何值，该方程都是一 元二次方程 证明：m28m17(m4)21， (m4)20， (m4)210，即(m4)210. 无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 点拨精讲：要证明无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要
6、证明 m28m170 即可 2下面哪些数是方程 2x210x120 的根？ 4，3，2，1，0，1，2，3，4. 解：将上面的这些数代入后，只有2 和3 满足等式，所以 x2 或 x3 是一元 二次方程 2x210x120 的两根 点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否 相等即可 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(9 分钟) 1判断下列方程是否为一元二次方程 (1)1x20; (2)2(x21)3y；(3)2x23x10; (4) 0；1 x22 x(5)(x3)2(x3)2; (6)9x254x. 解：(1)是；(2)不是
7、；(3)是； (4)不是；(5)不是；(6)是 2若 x2 是方程 ax24x50 的一个根，求 a 的值 解：x2 是方程 ax24x50 的一个根，4a850，解得 a .3 43根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x； (2)一个长方形的长比宽多 2，面积是 100，求长方形的长 x. 解：(1)4x225，4x2250；(2)x(x2)100，x22x1000.学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟)1一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程 2一元二次方程的一般形式 ax2bx
8、c0(a0)，特别强调 a0. 3要会判断一个数是否是一元二次方程的根学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟)21212 2 解一元二次方程 21212.12.1 配方法(1 1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程 2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能重点：运用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程；领会降次转化的数学思 想 难点：通过根据平方根的意义解形如 x2n(n0)的方程，知识迁移到根据平方根的 意义解形如(xm)2n(n0)的方程一、自学指导(10 分钟) 问题 1：一桶某种油漆可刷的面积为 1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的 正方体形状的盒
9、子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为_6x2_dm2，根据一桶油漆可刷的 面积列出方程： _106x21500_， 由此可得_x225_， 根据平方根的意义，得 x_5_， 即 x1_5_，x2_5_ 可以验证_5_和5 都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为_5_dm. 探究：对照问题 1 解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x1)25 及方程 x26x94? 方程(2x1)25 左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义， 可将方程变形为_2x1_，即将方程变为_2x1和_2x1_两个一555元一次方程，从而
10、得到方程(2x1)25 的两个解为 x1_，x2_1 521 52在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一元一次 方程，这样问题就容易解决了 方程 x26x94 的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x_3_)24，进行降次，得到 _x32_ ，方程的根为 x1 _1_，x2_5_. 归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程如果方 程能化成 x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的形式，那么可得 x或 mxn.pp二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6 分钟) 解下列方程： (1)2y28； (2)2(x8)250；
11、 (3)(2x1)240; (4)4x24x10. 解：(1)2y28， (2)2(x8)250，y24， (x8)225，y2， x85，y12，y22； x85 或 x85，x113，x23； (3)(2x1)240， (4)4x24x10，(2x1)240， (2x1)20，原方程无解； 2x10，x1x2 .1 2点拨精讲：观察以上各个方程能否化成 x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的形式，若 能，则可运用直接开平方法解一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8 分 钟) 1用直接开平方法解下列方程： (1)(3x1)27; (2)y22y124； (
12、3)9n224n1611.解：(1)；(2)12；(3).1 7364 113点拨精讲：运用开平方法解形如(mxn)2p(p0)的方程时，最容易出错的是漏掉负 根 2已知关于 x 的方程 x2(a21)x30 的一个根是 1，求 a 的值 解：1. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(9 分钟) 用直接开平方法解下列方程： (1)3(x1)260 ; (2)x24x45； (3)9x26x14; (4)36x210； (5)4x281; (6)(x5)225； (7)x22x14. 解：(1)x11，x21；22(2)x12，x22；55(3)x11，x2 ；1
13、 3(4)x1 ，x2 ；1 61 6(5)x1 ，x2 ；9 29 2(6)x10，x210；(7)x11，x23.学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟)1用直接开平方法解一元二次方程 2理解“降次”思想 3理解 x2p(p0)或(mxn)2p(p0)中，为什么 p0?学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟)21212.12.1 配方法(2 2)1会用配方法解数字系数的一元二次方程 2掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程重点：掌握配方法解一元二次方程 难点：把一元二次方程转化为形如(xa)2b 的过程(2 分钟)1填空： (1)x28x_16_(x_4_)2； (2)9x
14、212x_4_(3x_2_)2；(3)x2px_( )2_(x_ _)2.p 2p 22若 4x2mx9 是一个完全平方式，那么 m 的值是_12_一、自学指导(10 分钟) 问题 1：要使一块矩形场地的长比宽多 6 m，并且面积为 16 m2，场地的长和宽分别是 多少米？ 设场地的宽为 x m，则长为_(x6)_m，根据矩形面积为 16 m2，得到方程_x(x6) 16_，整理得到_x26x160_ 探究：怎样解方程 x26x160? 对比这个方程与前面讨论过的方程 x26x94，可以发现方程 x26x94 的左边 是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程 x26x160 不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？ 解：移项，得 x26x16，两边都加上_9_即_( )2_，使左边配成 x2bx( )2的形式，得6 2b 2_x2_6_x_916_9_， 左边写成平方形式，得 _(x3)225_， 开平方，得_x35_， (降次) 即 _x35_或_x3
