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1、O-33yx 3 3132008 海淀区高三数学查漏补缺题2008.05.19说明：请各学校针对自己学校情况补充和选用查漏补缺题. 请别忘了从海淀教研网上下 载“高中数学易忘、易混、易错的问题” 。 一、三角部分1已知且3sin(),45)4, 0(（I）求（或） ；（II） 求sinsin2tan()4解（I），Q3sin(),45)4, 0(0,)444cos(),4524232sinsinsincos()cossin(),444444252510.2sin10（） 2187sin2cos21 2sin1242525 （II），()()442Q.3cos()45，(0,),(,)444 2
2、 Q.4sin()454tan()43解法 2：，. 2sin10Q)4, 0(71tan.tantan44tan()431tantan4 O-33yx 3 3112右图为函数的一段图象. sin()yAx（I）请写出这个函数的一个解析式； （II）求与（I）中函数图象关于直线2x 对称的函数图象的解析式，并作出它一 个周期内的简图.解：（I）又13214 ,332TTQ3,A 由的图象过13sin()2yx(,0),3（为其中一个值）.103sin(),236 为所求.13sin()26yx（II）设为所求函数图象上任意一点，该点关于直线对称点为，( , )x y2x),4(yx则点),4(
3、yx必在函数的图象上.13sin()26yx，即)621sin(3xy13sin (4)26yx的图象关于直线对称的函数图象的解析式是)621sin(3xy与2x.)621sin(3xy列表： 作图：x332 35 38 311621x02232y0-3030二、概率 3 （文科）一辆车要直行通过某十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车前面已有 4 辆 车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）. 已知每辆车直行的概率是，32左转行驶的概率是，该路口红绿灯转换间隔时间均为 1 分钟. 假设该车道上一辆直行31的车驶出停车线需要 10 秒钟，一辆左转的车驶出停车线需要 20 秒钟，
4、求：（I）前 4 辆车恰有 2 辆车左转行驶的概率；（II）该车在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通过该路口的概率（汽车驶出停车线就算通 过路口）解：（）前 4 辆恰有 2 辆左转行驶的概率 278)31()32(222 41 CP（）该车在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通过该路口的概率.2716 31)32()32(33 444 42CCP4.（理科）（理科） 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中 的 6 道题，乙能答对其中的 8 道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试， 至少答对 2 题才算合格.（）求甲答对试题数 的概率分布及数学期望；
5、（）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 解：（）依题意，甲答对试题数 的概率分布如下：0123P301 103 21 61甲答对试题数 的数学期望 E=0301+1103+221+361=59.（）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B，则P（A）=3 103 61 42 6 CCCC=1202060=32，P（B）=3 103 81 22 8 CCCC=1205656=1514.因为事件 A、B 相互独立， 方法一：甲、乙两人考试均不合格的概率为P（BA）=P（A）P（B）=（132） （11514）=451.甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1P（BA）=1451=4544.
6、答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.方法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P（AB）+P（AB）+P（AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）+P（A）P（B）=32151+311514+321514=4544.FABCDEGE BDAzxyC答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.三、立体几何5已知矩形 ABCD 中，AB=，AD=1. 将ABD 沿 BD 折起，使点 A 在平面 BCD 内的射2影落在 DC 上. （）求证：平面 ADC平面 BCD； （）求点 C 到平面 ABD 的距离； （）若 E 为 BD 中点，求二面角 B-AC-E 的大小.方法
7、方法 1：（）证明：点 A 在平面 BCD 上的射影落在 DC 上， 即平面 ACD 经过平面 BCD 的垂线， 平面 ADC平面 BCD. （）解：依条件可知 BCDC，又平面平面，ADCBCD且平面平面IADCBCDCDBC平面 ACD. DA平面 ACD， BCDA. 依条件可知 DAAB. ABBC=B，由、得 DA平面 ABC. 设点 C 到平面 ABD 的距离为 d， DA平面 ABC，DA 是三棱锥 D-ABC 的高.由 VC-ABD=VD-ABC，得dSABD=DASABC. 1 31 3解得 d=.2 2即点 C 到平面 ABD 的距离为. 2 2（）解：取中点，连为中点AB
8、FEFQ EBD /EFAD 由（）中结论可知 DA平面 ABC，EF平面 ABC. 过 F 作 FGAC，垂足为 G，连结 EG，ABCDABCDE则 GF 为 EG 在平面 ABC 的射影，EGAC EGF 是所求二面角的平面角. 在ABC 中,Q FGAC BCAC/FGBCFGBC, 又 EFAD，EF1 21 2/1 21 2 在EFG 中容易求出EGF=45.Rt 即二面角 B-AC-E 的大小是 45. 方法方法 2：（）证明：如图，以 CB 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，过点 C，平面 BDC 方向向上的法向量为 Z 轴建立空间直角坐标系.所以 C（0，0，0）
9、 ， B（1，0，0） ，D（0，0） ，设2(0, , )Ay z点 A 在平面 BCD 上的射影落在 DC 上，由且,0uuu r uuu rDA AB| 1uuu rDA得. 0122022222zyyzyy点 A 的坐标为 A（0，）.2 222n1=（0，0，1）是平面 BCD 的一个法向量.而=（1，0，0）是平面 ADC 的一个法向量.CBuu u rn1= （0，0，1）（1，0，0）=0，CBuu u r平面 ACD平面 BCD. （）解：设点 C 到平面 ABD 的距离为 d，=（0，-） ，=（1，） ，AC22 22AB222 2=（0，） ，AD2 22 2容易求出平
10、面 ABD 的一个法向量为 n2=（-，1，-1） .2d=|cos|=|1|=.ACAC22022 12 1 1 22即点 C 到平面 ABD 的距离为.22（）解：= （-1，-，） ， =（1，0，0） ，BA22 22CBuu u r容易求出平面 ABC 的一个法向量为 n3= （0，1，1） .A（0，-，） ，E（，-，0） ，22 22 21 22= （，0，-）.AEuuu r21 22容易求出平面 AEC 的一个法向量为 n4= （2，） .22n3n4=0+=2，| n3|=，| n4|=2，22222cos=. 34342 2 22 2nn n n22二面角 B-AC-E
11、 的大小是 45. 6*如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为 1，M 是底面 BC 边上的中点，N 是侧棱 CC1上的点，且 CNNC1.（）求证：AM面 BC；（或若为的中点，求证：1C1BE1AB.）CCAAEM11/平面（）若二面角 B1AMN 的平面角的余弦值为，求的值；5 5（）在第（）的前提下，求点 B1到平面 AMN 的距离. 解法 1：（）因为 M 是底面 BC 边上的中点，且 AB=AC，所以 AMBC，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面, AM 又.所以1CCABC1CC1ICCBCCAM平面. 1BCC1B（或：连结， 又,.） CA1CA
12、EM1/CAEM1平面QCAEM1/平面（II）因为 AM平面 1BCC1B且M平面，NM平面1B1BCC1B1BCC1BAMM, AMNM，1BMA1C1B1BCANMN 为二面角AMN 的平面角.1B1B，设 C1N=，则 CN=155cos1MNBxx又M=,MN=, 1B22 1B BBM151422)1 (41x连N，得N，1B1B21x在MN 中，由余弦定理得 1B, 55)1 (41 252)1 ()1 (41 45222xxx得=.故=2.x31（III）过在面内作直线，为垂足.又平面，1B11BCC B1B HMNHAM 11BCC B所以 AMH.于是H平面 AMN，故H
13、的长即为到平面 AMN 的距离.在1B1B1B1B中，HMBRt1HM.故点到平面 AMN 的距离为 1. 1B1B151sin1125B MH 1B解法 2：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1） ，M（0，0）,1B1 2C（0,1,0）, A （） ，设 N （0,1,a） ,所以，3 1,022，,3(,0,0)2AM uuuu r11(0,1)2MB uuuu r aMN,21, 0因为所以,同法可得.13100 ()0 1022MB AM uuuu r uuuu rg1MBAMuuuu ruuuu rMNAMuuu u ruuuu r又故 AM面 BC.1MNMBMI1
14、C1B（II）由（）知为二面角AMN 的平面角,以下同法一.1,MB MNuuuu r uuu u r1B（）设 n=（x,y,z）为平面 AMN 的一个法向量，则由得，由（II）MNAMnn,知32,21, 0MN. 30024120323xxyzyz 故可取1 ,34, 0n到平面 AMN 的距离为1B15 |315| 3MB ndnuuuu r r r四、解不等式7已知集合 A，B. |(2)(31)0xxxa22 |0(1)xaxxa（I）当 a2 时，求 AB； I（II）求使 BA 的实数 a 的取值范围. 解：（I）当 a2 时，A（2，7） ，B（4，5） A B（4，5）I（II）解集合 B，22 |0(1)xaxxa212 Qaa当，则 B=；当，则 B（2a，a21） ，1a1a解集合 A
