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1、1第五章第五章 函数的插值及其数值计算函数的插值及其数值计算11 插值的基本概念插值的基本概念插值方法是数值分析中一个很古老的分支，它有着悠久的历史。插值理论和插值方法是数值分析中一个很古老的分支，它有着悠久的历史。插值理论和方法也是现代数值分析中最基本的内容之一，它在数值积分，曲线曲面拟合，求方法也是现代数值分析中最基本的内容之一，它在数值积分，曲线曲面拟合，求微分方程数值解等方面有着广泛的应用。微分方程数值解等方面有着广泛的应用。在工程技术与科学研究中，有时对一个函数只知道它在某些点上的数值，为在工程技术与科学研究中，有时对一个函数只知道它在某些点上的数值，为了进一步研究其性质，需要用其他
2、函数去近似代替它，这时就可以用插值方法。了进一步研究其性质，需要用其他函数去近似代替它，这时就可以用插值方法。有时候，虽然函数有解析表达式，但形式过于复杂，为了便于处理，先在某些点有时候，虽然函数有解析表达式，但形式过于复杂，为了便于处理，先在某些点上取值作表格函数，再通过插值建立易于处理的新函数，这也是插值理论的一个上取值作表格函数，再通过插值建立易于处理的新函数，这也是插值理论的一个应用。应用。先介绍一般的插值概念。先介绍一般的插值概念。设设，。已知它在。已知它在个互异的点个互异的点，处的函数值处的函数值，)(xfbax,1n0xnx0y，即：，即：1yny， ，1，niiyxf)(0i求
3、解插值问题就是从函数类求解插值问题就是从函数类中求中求使使)(x， ，1，n （1.11.1）iiyx)(0i2这里的这里的称为被插函数，称为被插函数，称为插值区间，称为插值区间，)(xfba,，1，n，称为插值节点，称为插值节点， （1.11.1）式称为插值条件，而）式称为插值条件，而和和ix0i)(x分别为插值函数和插值函数类。分别为插值函数和插值函数类。通常选定的插值函数类是有限维线性空间，它可看成是某一组基通常选定的插值函数类是有限维线性空间，它可看成是某一组基张成的线性空间：张成的线性空间：n iix0)(n iixSpan0)(对对，有，有使得使得 n iia0 niiixax0)
4、()(于是确定函数于是确定函数归结为确定数列归结为确定数列。)(x n iia0从理论上看，插值问题包含以下内容：从理论上看，插值问题包含以下内容：（1 1）确定）确定的基的基，一般地说基不唯一，选择合适的基可以简化，一般地说基不唯一，选择合适的基可以简化n iix0)(问题的解法；问题的解法；（2 2）讨论满足（）讨论满足（1.11.1）的）的的存在性，求法及唯一性；的存在性，求法及唯一性；)(x（3 3）寻找插值问题的截断误差，即余项：）寻找插值问题的截断误差，即余项：)()()(xxfxR的表达式与估计。的表达式与估计。322 多项式插值多项式插值本节选取常用的多项式函数类作插值函数类。
5、多项式函数属于解析函数类，本节选取常用的多项式函数类作插值函数类。多项式函数属于解析函数类，形式简单，计算方便，其导数与不定积分易于求出。形式简单，计算方便，其导数与不定积分易于求出。下面把不超过下面把不超过n次的多项式函数类记为次的多项式函数类记为nP2.12.1 LagrangeLagrange插值插值设已知设已知，在相异节点在相异节点，上的函数值上的函数值)(xfbax,0x1xnx，1，n，取取= =，下面求，下面求的插值函数。的插值函数。iiyxf)(0inP)(xf设设，2 012( )n np xaa xa xa xL插值的基本问题是，寻求如上的插值的基本问题是，寻求如上的，使得
6、，使得，( )p x( )iip xy，1，n.0i该问题等价于求解下列线性方程组：该问题等价于求解下列线性方程组：2 0102000 2 01 121112 012n n n nn nnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy LLL L L L L LL上述线性方程组的系数矩阵为：上述线性方程组的系数矩阵为：42 000 2 11121 11nnn nnnxxx xxxAxxx L L M MM OM LA的行列式为（称为的行列式为（称为Vandermonde 行列式）行列式）2 000 2 111 0121 1(,)1nnnn nnnxxx xxxW x
7、xxxxxL LLM MM OM L根据线性代数的知识知道根据线性代数的知识知道01 0(,)()nji nj iW x xxxx L注意到诸注意到诸互不相同，从而互不相同，从而，上述线性方程组存在唯上述线性方程组存在唯ix01(,)0nW x xxL一解。一解。这说明满足条件（这说明满足条件（1.11.1）的插值多项式是存在的，而且还是唯一的。）的插值多项式是存在的，而且还是唯一的。定理定理 2.12.1 设设， 为为上的上的n+1个相异的节点，个相异的节点，)(xfbax, 0n iixba,，i=0，1，n，则满足，则满足)(iixfy ，i=0，1，n( )iip xy的的是存在并且唯
8、一的。是存在并且唯一的。( )p x nP从定理从定理 2.12.1 的证明可看到，要求插值多项式的证明可看到，要求插值多项式p(x), ,可以通过求解一个线性方可以通过求解一个线性方5程组得到。但这样做不但计算复杂，且难于得到程组得到。但这样做不但计算复杂，且难于得到p(x)的简单表达式。为了求得的简单表达式。为了求得便于使用的简单的插值多项式便于使用的简单的插值多项式p(x)，可以如可以如1 所述，选择所述，选择的适当的基。的适当的基。nP先构造先构造n次插值基函数次插值基函数 ，i=0，1，n使使)(xlinP， ，1，n， （2.12.1）1()0ijijijl xij，0i由当由当时
9、，时，可知：可知：ij0)(jixl，1，n （2.22.2）0( )()niik k k il xcxx 0i其中其中是待定常数，它可由是待定常数，它可由定出：定出：ic1)(iixl；，1，n。10()niik k k icxx 0i代入（代入（2.22.2）得：）得：i=0，1，n0( )n k i kikk ixxl xxx 再作再作000( )( )nnn k ni ii iikikk ixxL xyl xyxx 易知易知，即为所求的插值函数。，即为所求的插值函数。nLnP6这种具有这种具有性质的基称为对偶基，以后我们还会多次构造针对不同问题的性质的基称为对偶基，以后我们还会多次构造
10、针对不同问题的ij对偶基。对偶基。记记 ，则，则，1 0( )()nnk kxxx 1 0( )()nniik k k ixxx ，10( )()n n k kik ixxxxx ， i=0，1，n，11( )( )( )n i inixl xxxx 101( )( )( )n n ni iinixL xyxxx 例例 2.12.1 已知已知，节点为，节点为，求，求xxf1)(10x21x42x)(2xL解解 ，21)(11xfy，。1)(00xfy41)(22xfy)86(31 )41)(21 ()4)(2()(2 0xxxxxl2 1(1)(4)1( )(54)(2 1)(24)2xxl
11、xxx )23(61 )24)(14()2)(1()(2 2xxxxxl72 2 2 0177( )( )884i i iL xyl xxx2.22.2 插值多项式的插值余项插值多项式的插值余项现在考虑用现在考虑用近似近似所产生的误差，即插值余项所产生的误差，即插值余项)(xLn)(xf)()()(xLxfxRnn当当在在上上n+1 阶可导时，可以把阶可导时，可以把化为便于估计的形式，化为便于估计的形式，)(xfba,)(xRn先设先设，i=0，1，n，作辅助函数，作辅助函数ixx ，1( )( )( )( )( )nnF tf tL tK xtbat,其中其中满足：满足：( )K x（2.3
12、2.3）1( )( )( )( )0nnf xL xK xx当当x不为插值节点时不为插值节点时，这样的，这样的是存在的。是存在的。1( )0nx)(xK于是于是，是是的的n+2个相异的零点，依次对个相异的零点，依次对，0xt 1xnxx)(tF)(tF，应用应用Rolle定理可知存在定理可知存在使使)(tF)()(tFnba,0=(1)(1)( )( )( )(1)!nnFfK x n从而从而8(1)( ) ( )(1)!nfK xn 代入（代入（2.32.3）式得：）式得：，(1)1( )( )( )(1)!nnnfR xxnba,若若x等于某一等于某一，则，则，故任取故任取上式也成立。上式
13、也成立。ix1( )0nx0)(xRnbax,于是得出：于是得出：定理定理 2.22.2（多项式插值的余项）（多项式插值的余项） 设设在在上上n+1阶可导，则存在阶可导，则存在)(xfba,使使ba,(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn注：由上式可知，当注：由上式可知，当时，时，特别当，特别当时，可得：时，可得：fnP)()(xfxLn1)(xf（2.42.4）0( )1ni il x例例 2.22.2 考察四位常用对数表作线性插值的误差。考察四位常用对数表作线性插值的误差。解解 设设，0.4343。xxflg)(2lg)(xexf elg设设x位于位
14、于和和之间：之间：1，则，则0x1x0xx1x9，1012lg( )()()2eR xxxxx 0x1x记表距记表距，得，得01xxh4)(max210 10hxxxxxxx2112 00.4343(lg( )( )8hxL xR xx= =2 2 02 05429. 005429. 0hxh当当h=0.01时，时，（2.52.5）6 110429. 5)(lgxLx再考虑舍入误差，设再考虑舍入误差，设， i=0，1iiiifxfy)(其中其中是表值，是表值，是舍入误差，则：是舍入误差，则：ifi，i=0，1 （2.62.6）5105iiify把以把以，i=0，1构造的线性插值分别记为构造的线性插值分别记为，注意到，注意到iyif)(1xL)(* 1xL，i=0，1在在上
