《三角形常见辅助线的作法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形常见辅助线的作法（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三角形中作辅助线的常用方法举例三角形中作辅助线的常用方法举例常见辅助线的作法有以下几种：常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法
2、是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两 点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运 用三角形三边的不等关系证明，如：用三角形三边的不等
3、关系证明，如： 例 1：已知如图 1-1：D、E 为ABC 内两点,求证:ABACBDDECE. 证明：（法一）证明：（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N， 在AMN 中，AMAN MDDENE;（1）在BDM 中，MBMDBD； （2）在CEN 中，CNNECE； （3）由（1）（2）（3）得：AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDEEC （法二：）（法二：）如图 1-2， 延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G， 在ABF 和GFC 和GDE 中有： ABAF BDDGGF （三角形两边之和大于第三边） （1）GFFCGECE（同
4、上）（2）DGGEDE（同上）（3）ABCDENM11图ABCDEFG21图由（1）（2）（3）得：ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。 二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来 时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外 角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例如：如图 2-1：已知 D 为ABC 内的任
5、一点，求证：BDCBAC。 分析分析：因为BDC 与BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅 助线构造新的三角形，使BDC 处于在外角的位置， BAC 处于在内角的位置； 证法一证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时BDC 是EDC 的外角，BDCDEC，同理 DECBAC，BDCBAC 证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 F BDF 是ABD 的外角 BDFBAD，同理，CDFCAD BDFCDFBADCAD 即：BDCBAC。 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置 上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。 三、
6、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形， 如如： 例如：如图 3-1：已知 AD 为ABC 的中线，且12,34,求证： BECFEF。 分析：要证 BECFEF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE，CF，EF 移 到同一个三角形中，而由已知12，34，可在角的两边截取相等的线段，利 用三角形全等对应边相等，把 EN，FN，EF 移到同一个三 角形中。 证明：证明：在 DA 上截取 DNDB，连接 NE，NF，则 DNDC， 在DBE 和DNE 中： )()(21)(公共边已知辅助线的作法EDEDDBD
7、NDBEDNE （SAS） BENE（全等三角形对应边相等） 同理可得：CFNF 在EFN 中 ENFNEF（三角形两边之和大于第三边） BECFEF。 注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三 角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。 四、有以线段中点为端点的线段时，常四、有以线段中点为端点的线段时，常 延长加倍此线段，构造全等三角形。延长加倍此线段，构造全等三角形。 例如：如图 4-1：AD 为ABC 的中线，且 12，34，求证：BECFEF 证明证明：延长 ED 至 M，使 DM=DE，连接 CM，MF。在BDE 和CDM 中，ABCDEFG12图A
8、BCDEFN13图123414图ABC DEFM1234 )()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MDEDCDMCDBDBDECDM （SAS）又12，34 （已知） 1234180（平角的定义）32=90 即：EDF90FDMEDF 90 在EDF 和MDF 中 )()()(公共边已证辅助线的作法DFDFFDMEDFMDEDEDFMDF （SAS）EFMF （全等三角形对应边相等）在CMF 中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF 注：上题也可加倍注：上题也可加倍 FDFD，证法同上。，证法同上。 注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等
9、 三角形，使题中分散的条件集中。 五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。 例如：如图 5-1：AD 为 ABC 的中线，求证：ABAC2AD。 分析：要证 ABAC2AD，由图想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有 ABAC BDCDADAD2AD，左边比要证结论多 BDCD，故不能直接证出此题，而由 2AD 想 到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，则 AE2ADAD 为ABC 的中线 （已知）BDCD （中线定义）在ACD 和EBD 中
10、)()()(辅助线的作法对顶角相等已证EDADEDBADCCDBDACDEBD （SAS）BECA（全等三角形对应边相等）在ABE 中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三边）ABAC2AD。 （常延长中线加倍，构造全等三角形） 练习：已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图 5- 2， 求证 EF2AD。 六、截长补短法作辅助线。六、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图 6-1：在ABC 中， ABAC，12，P 为 AD 上任一点。 求证：ABACPBPC。 分析：要证：ABACPBPC，想到利用三角形三 边关系定理证之，因
11、为欲证的是线段之差，故用两边之 差小于第三边，从而想到构造第三边 ABAC，故可在 ABABCDE15图ABCDE F25图上截取 AN 等于 AC，得 ABACBN， 再连接 PN，则 PCPN，又在PNB 中， PBPNBN， 即：ABACPBPC。 证明：（截长法） 在 AB 上截取 ANAC 连接 PN , 在APN 和APC 中 )()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPACANAPNAPC （SAS）PCPN （全等三角形对应边相等）在BPN 中，有 PBPNBN （三角形两边之差小于第三边）BPPCABAC 证明：（补短法） 延长 AC 至 M，使 AMAB，连接 PM，在A
12、BP 和AMP 中 )()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPAMABABPAMP （SAS）PBPM （全等三角形对应边相等）又在PCM 中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边)ABACPBPC。 七、延长已知边构造三角形：七、延长已知边构造三角形： 例如：如图 7-1：已知 ACBD，ADAC 于 A ，BCBD 于 B， 求证：ADBC 分析：欲证 ADBC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几种方案：ADC 与 BCD，AOD 与BOC，ABD 与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因 此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明证明：分别
13、延长 DA，CB，它们的延长交于 E 点，ADAC BCBD （已知）CAEDBE 90 （垂直的定义）在DBE 与CAE 中 )()()(已知已证公共角ACBDCAEDBEEEDBECAE （AAS）EDEC EBEA （全等三角形对应边相等）EDEAECEB 即：ADBC。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。 ） 八八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如：如图 8-1：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来
14、解决。 证明证明：连接 AC（或 BD）ABCD ADBC （已知）12，34 （两直线平行，内错角相等） 在在ABC 与CDA 中ABCDNMP16图12ABCD18图1234ABCDE17 图O )(43)()(21已证公共边已证CAACABCCDA （ASA）ABCD（全等三角形对应边相等） 九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图 9-1：在 RtABC 中，ABAC，BAC90，12，CEBD 的延长于 E 。求证：BD2CE 分析分析：要证 BD2CE，想到要构造线段 2CE，同时 CE 与ABC 的平分线垂直，想到 要将其延长。 证明：分别延长 BA，CE 交于点 F。BECF （已知）BEFBEC90 （垂直的定义） 在BEF 与BEC 中， )()()(21已证公共边已知BECBEFBEBEBEFBEC（A
