《三角债的模糊矩阵表示和关系划转的数学模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角债的模糊矩阵表示和关系划转的数学模型（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三角债的模糊矩阵表示和关系划转的数学模型1.引言债务网络俗称为三角债，是经济生活中的一种重要关系。因为债务本身是可度量的，用数量的方法研究更能提供准确的信息和科学手段。目前已发现有图论、网络分析，线性规划几种方法。本文用模糊矩阵表示债务关系，开始了用阵的运算寻找间接债务关系的方法，而间接债务关系分析是决策的基础。重点给出债务阵划转的概念，它用统一的公式给出阵的变换，描述了“转账”的过程和结果，简化和清晰了债务关系，为相应的软件开发做出了数学准备。2.借贷关系矩阵表示及债务关系存在定理首先我们给出借贷关系的矩阵表示：记 X1，X2，Xn 为有债务关系的 n 个单位，首先可以用一个有向图来表示单位
2、间的债务关系，若 Xi 欠 Xj 的债务量为 a0，则连一条由Xi 到 Xj 的有向弧（Xi，Xj），并赋值为 a，这样得到的有向图称为债务图。定义 1 称 n 阶方阵 A 为债务阵，如果满足：1）aij0，2）aijaji=0，i，j=1，2，n。由 2）知，当 i=j 时 aij=aji=0，表明单位自身不存在债务问题，ij 时，若 aij=aji=0，说明彼此不存在债务关系，当 aij0 时，aji=0，表明债务关系只能是单向的。债务图对应一个 n 阶方阵 A=（aij）nXn，其中A，xi 欠 xj 的债务量为 aAij=0，xi 不欠 xj 的债务显然 a 的元素满足上述二个条件，即
3、 a 是债务阵。命题 1 非负阵 a 是债务阵的充要条件为 a =0.其中运算 x 为同阶方阵元素相乘， 是 a 的转置。证明 由 a =（aijaji）nxn=0 命题可证。规定非负实数集的二元运算 为命题 2 非负阵 a 是债务阵充要条件证明 由 运算的定义和性质 aijaji=0 直接可验证可得。例 1 由知 a 是债务阵，它表明：x1 欠 x2 的债务为 4，x2 欠 x3 的债务为 5 等。下面给出间接债务关系的数学描述及其存在的定理：定义 2 设 a 是债务阵，如果存在路 满足 ，称 xi 到 xj 有数量为 a 的k 步传递债务，称 k2 是的传递债务为间接债务，k=1 时为直接
4、债务，间接和直接债务统称为债务，l 为债务路。间接债务是经过系列直接债务复合而成的一种债务关系，即俗称的三角债，它是一个复杂的关系网络，用模糊的方法研究是本文的目标。债务阵的模糊变化与债务阵在债务关系的表达和相关处理方面有确定的对应关系，为此，本文下面的债务阵都视为模糊阵。用 表示 a的传递闭包。Aij 表示 的第 i 行第 j 列元素。定理 1 若 xi 对 xj 有向量为 a 的 k 步传递债务 则 若 则有 xi 到 xj 的量为 a 的 k 步债务。证明 有定义 2 可得定理 1 告诉我们通过幂运算得到 ， 它的元素 表明了间接债务关系的存在，同时也给寻找间接债务关系路提供了路权范围。
5、定理 2 若 xi 到 xj 有量为 a 的债务则 ，若 tij=a 则有量为 a 的 xi 到 xj 的债务。证明 若 xi 到 xj 的有量为 a 的债务，定义 3 称 tij 到 xi 到 xj 的最大债务，若 w（L）=tij，称 l 为 xi 到 xj 的最大债务路。最大债务路是在债务关系分析中扮演重要的角色。寻找债务路是债务关系分析的重要内容之一和基础，上述的存在定理是寻找债务路的准则，而具体实施还要做进一步的工作，由于篇幅所限不在此叙述了，有兴趣的读者可参考（6），（7）。3 债务阵的划转变换定义 4 设 是 a 的 xi 到 xj 的传递债务为 a 的路，称 b 为 a 关系于
6、 l 的债务划转阵，如果 b 满足把定义 4 确定的由 a 到 b 的变换记为 ，b 称为 a 的划转阵，不难看出，当路 l 给定时，划转阵 b 由 aji 的情况而定，下面就由其三种可能的情况具体化并说明实际意义。定理 3 l 如定义 4 所述，当 ajia 时有证明 由 的规定和定义 4，显然有 ，根据债务关系的定义 此时aij=0，这样定理 3 有直观的图形象和简化债务关系的意义。事实上，满足定理 3 条件 l 是权为 a 的债务圈，其结论表明，此时 a 是把 l 的每个边权减去 a 的变换，即债务关系构成圈时，变换 a 使之相互消去量为 a 的债务。首先设表明：在 xj 不欠 xi 债
7、的情况下，转账结果是 xi 欠 xj 债务应当在原来 xi 欠 xj债 aij 的基础上加上转来的 a，当然 aij=0 的情况不矛盾。对 的情形， 此时 显然有：表明：当 xj 欠 xi 的债 aij 小于转账过来 xi 欠 xj 的债 a 时，抵消以后，xi 欠 xj的债为 a-aij。上面的结果列表如下由以上分析，定义 4 包括了划转债务路可能三种类型。定理 4 债务阵的划转阵是债务阵。证明定理 4 表明债务阵的划转还是债务阵，可按定义 4 继续划转，下面将证明，经过有限步，任何债务阵都可以划为没有间接债务的阵。定理 5证明定义 5 称不存在间接债务关系的阵为简单阵。4 结束语无论从行政
8、决策和业务管理角度，研究和处理三角债问题首先要做的工作是对债务状况的了解和分析。文中给出的债务网络的模糊矩阵表示，使得通过相互间的直接债务探讨间接债务成为可能，利用模糊阵的运算判别债务路的存在不仅是模糊方法的应用的一个新例，也给债务关系分析引进了科学的方法。阵划转变表达了“转账”的过程和结果，这样，可通过系列的变换，在保持了间接债务关系的基础上，简化了债务网络，使人一目了然。由于这种划转是用数学方式描述的，容易做成应用软件，给决策者提供易于操作的有力工具。当然，我们的工作是初步的，从基本的理论研究到实际可操作还有许多工作要做，诸如，债务路的寻找，优化选择，银行投入技巧，效果分析 等都是复杂的但是有意义的问题。
