《高中数学人教B版必修五3.2《均值不等式》word学案2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教B版必修五3.2《均值不等式》word学案2（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 均值不等式均值不等式(二二)自主学习知识梳理 1设 x，y 为正实数 (1)若 xys(和 s 为定值)，则当_时，积 xy 有最_值为_ (2)若 xyp(积 p 为定值)，则当_时，和 xy 有最_值为_ 2利用均值不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x，y 必须是_； (2)求积 xy 的最大值时，应看和 xy 是否为_；求和 xy 的最小值时， 应看积 xy 是否为_ (3)等号成立的条件是否满足 利用均值不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、 二定、三相等” 自主探究请探究函数 yx (a0)在 x(0，)上的单调性并利用该类函数的
2、单调性求函ax数 ysin x，x(0，)的最小值4sin x对点讲练 知识点一知识点一 利用均值不等式求函数的最值利用均值不等式求函数的最值例 1 已知 x ，则 f(x)有( )52x24x52x4A最大值 B最小值 C最大值 1 D最小值 15254总结 本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件变式训练 1 已知 x0，y0，且 1，求 xy 的最小值1x9y总结 利用均值不等式求代数式的最值时，经常要对代数式进行变形，配凑出均值不等式满足的条件，同时要注意考察等号成立的条件变式训练 2 已知正数 a，b 满足 abab3.求 ab 的最小值知识点三
3、知识点三 均值不等式的实际应用均值不等式的实际应用例 3 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙， 其他各面用钢筋网围成(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面 积最大？ (2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间 虎笼的钢筋网总长最小？总结 涉及不等式的应用时，要首先建立函数关系式，适时巧用均值不等式求其最值变式训练 3 甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半 时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？1利用均值不等式求最值必须满
4、足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值2使用均值不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解3解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义. 课时作业一、选择题1函数 ylog2 (x1)的最小值为( )(x1x15) A3 B3 C4 D4 2已知点 P(x，y)在经过 A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则 2x4y的最小值为( ) A2 B4 C16 D不存在223若 xy 是正数，则22的最小值是( )(x12y)(y12x)A3 B. C4
5、 D.7292 4若关于 x 的不等式(1k2)xk44 的解集是 M，则对任意实常数 k，总有( ) A2M,0M B2M,0M C2M,0M D2M,0M 二、填空题 5建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平 方米分别为 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为_元 6函数 yloga(x3)1 (a0，a1)的图象恒过点 A，若点 A 在直线 mxny10上，其中 mn0，则 的最小值为_1m2n 7周长为1 的直角三角形面积的最大值为_28某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总 存储费用为
6、 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x_吨 三、解答题9求下列函数的最小值(1)设 x，y 都是正数，且 3，求 2xy 的最小值；1x2y(2)设 x1，求 y的最小值x5x2x110某种生产设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种生产设 备的维修费各年为：第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千 元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费 用最少)?3.2 均值不等式均值不等式(二二) 知识梳理1(1)xy 大 (2)xy 小 2s24p2(1)正数 (2)定值 定值 自
7、主探究 证明 当 x(0，)时，设 x10，即 y1y2；a当 x1、x2(，)时，y1y20，54所以 f(x)4x2314x5(54x154x)2323154x154x当 54x，即 x1 时，f(x)max1.154x例 2 解 方法一 1，1x9yxy(xy)10 .(1x9y)yx9xyx0，y0， 26.yx9xyyx9xy当且仅当 ，即 y3x 时，取等号yx9xy又 1，x4，y12.1x9y当 x4，y12 时，xy 取最小值 16.方法二 由 1，得 x，1x9yyy9x0，y0，y9.xyyyy1yy9y99y99y9(y9)10.y9，y90，9y9y91021016，
8、9y9y99y9当且仅当 y9，即 y12 时取等号9y9又 1，则 x4，1x9y当 x4，y12 时，xy 取最小值 16.变式训练 2 解 方法一 ab3ab，ab24设 abt，t0，则 t24t12.解得：t6 (t2 舍去)，(ab)min6.方法二 abab3，b0，a1.a3a1abaa1a3a14a1(a1)2226.4a1a14a1当且仅当 a1，即 a3 时，取等号4a1例 3 解 (1)设每间虎笼长 x m，宽为 y m，则由条件知：4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为 S，则 Sxy.方法一 由于 2x3y22，2x3y6xy218，得 xy，6xy272即
9、 S，当且仅当 2x3y 时，等号成立272由Error!解得Error!故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大方法二 由 2x3y18，得 x9 y.32x0，00，S 2.326yy2272当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5.(2)由条件知 Sxy24.设钢筋网总长为 l，则 l4x6y.方法一 2x3y2224，2x3y6xyl4x6y2(2x3y)48，当且仅当 2x3y 时，等号成立由Error! 解得Error!故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小方法二 由 xy24，得 x.l4x6y6y24y96y66248.(16
10、yy)16yy当且仅当y，即 y4 时，等号成立，此时 x6.16y故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小变式训练 3 解 设路程为 s，跑步速度为 v1，步行速度为 v2，t甲s2v1s2v2 sv1v22v1v2sv1v2t乙，t乙2t乙22sv1v21.t甲t乙v1v224v1v22 v1v224v1v2t甲t乙，当且仅当 v1v2时“”成立由实际情况知 v1v2，t甲t乙乙先到教室课时作业 1B 2B 点 P(x，y)在直线 AB 上，x2y3.2x4y224.2x4y2x2y23C 22(x12y)(y12x)x2y2 14(1x21y2)xyyx(x214x2)
11、(y214y2) (xyyx)1124.当且仅当 xy或 xy时取等号22224A (1k2)xk44，x.k441k2k441k21k2221k251k2(1k2)222.51k25x22，Mx|x22，552M,0M. 51 760 解析 设水池的造价为 y 元，长方形底的一边长为 x m，由于底面积为 4 m2，所以另一边长为 m那么4xy1204280480320(2x24x)(x4x)48032021 760(元)x4x当 x2，即底为边长为 2 m 的正方形时，水池的造价最低，为 1 760 元68 解析 A(2，1)在直线 mxny10 上，2mn10，即 2mn1，mn0，m0
12、，n0. 2 21m2n2mnm4m2nnnm4mn428.nm4mn当且仅当 ，即 m ，n 时等号成立nm4mn1412故 的最小值为 8.1m2n7.14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为 a、b，则1ab2，解得 ab ，当且仅当 ab时取“” ，所以2a2b2ab2ab1222直角三角形面积 S ，即 S 的最大值为 .1414 820 解析 设一年的总运费与总存储费用之和为 y 万元，则 y44x4160 万元，400x(x400x)当且仅当 x，即 x20 时取到最小400x9解 (1)2xy(2xy)32xy313(1x2y) (24) .13(yx4xy4)13483当且仅当 时取“” ，即 y24x2，y2x.yx4xy又 3，求出 x ，y .1x2y23432xy 的最小值为 .83(2)x1，x10，设 x1t0，则 xt1，于是有 yt4t1tt25t4tt 5259，4tt4t当且仅当 t ，即 t2 时取等号，此时 x1.4t当 x1 时，函数 y取得最小值为 9.x5x2x110解 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元由已知，得 y，100.9x0.2x20.2x2x即 y1(xN*)10xx10由均值不等式知 y12 3，当且仅当，即 x10 时取等号因此使用10xx1010xx1010 年报废最合算，年平均费用为 3 万元
