《苏教版高中数学（选修2-1）2.4《抛物线》word教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版高中数学（选修2-1）2.4《抛物线》word教案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、抛物线知识导学抛物线知识导学一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线()l Fl距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线注意：抛物线的定义中涉及到一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上， 否则轨迹就不再是一条抛物线，而是一条直线（过定点且与定直线垂直的直线） 二、抛物线的标准方程1抛物线的标准方程是指当抛物线在标准位置时的方程所谓标准位置，就是指抛物 线的顶点在坐标原点，抛物线的对称轴为坐标轴抛物线的标准方程有四种形式（抛物线 标准方程的具体推导过程见教材）：（1）焦点在 x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)ypx p，焦点坐标为0
2、2p，准线方程为2px ，其开口方向向右；（2）焦点在 x 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)ypx p ，焦点坐标为02p，准线方程为2px ，其开口方向向左；（3）焦点在 y 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)xpy p，焦点坐标为02p，准线方程为2py ，其开口方向向上；（4）焦点在 y 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)xpy p ，焦点坐标为02p，准线方程为2py ，其开口方向向下其中抛物线的标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离注意：不要受二次函数的影响把抛物线方程记作类似21 2yxp的形式，应按本部分要求记作：22xpy如求抛物线22y
3、px的焦点坐标，应先将方程写成标准形式：21 2xyp，然后得其焦点坐标为108p ，2抛物线的标准方程的求法是“先定型，后计算” 所谓“定型”是指确定类型，也 就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相 应的标准方程的形式， “计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数 p 的值，从而得到抛物线的标准方程三、抛物线的几何性质1抛物线的几何性质见下表：标 准方程22 (0)ypx p 22 (0)ypx p 22 (0)xpy p 22(0)xpyp 对 称轴x轴y轴顶 点原点离 心率1e 准 线方程2px 2px 2py 2py 范 围y轴右侧y轴左
4、侧x轴上方x轴下方其中抛物线的对称轴也叫做抛物线的轴如右图，抛物线标准方程为22(0)ypx p，焦点坐标为02pF，过点F作垂直于对称轴（x 轴）的直线交抛物线于12MM，两点，计算得12MM，两点坐标为22pppp ，可知线段12M M的长为定值2p，只与焦参数p有关线段12M M叫做抛物线的通径2与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有下列特点：（1）抛物线可以无限延伸，但无渐近线（2）抛物线只有一个顶点、一条对称轴，并且没有对称中心，它不是中心对称图形， 离心率为 1，是固定的（3）抛物线的开口大小与离心率无关，与p的大小有关，p越大则开口越大，反之 则越小（4）抛物线的焦点与
5、准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为2p抛物线中的思维误区抛物线中的思维误区一、对抛物线的定义模糊导致错误例 1 若动点P与定点(11)F ，和直线:340lxy的距离相等，则动点P的轨迹是（ ）椭圆 双曲线 抛物线 D直线误：由抛物线的定义，可知选（C） 析：抛物线的定义中，定点一定不在定直线上，而本题中的定点(11)F ，在定直线:340lxy上正：设动点P的坐标为()xy，则22(1)(1)xy3410xy整理，得320xy所以动点P的轨迹为直线，选（D） 二、忽视标准方程的种类导致错误例 2 求以原点为顶点，坐标为对称轴，并且经过点( 24)P ，的抛物线的标准方程误：设
6、抛物线22(0)ypx p ，将( 24)P ，代入，得4p 故抛物线的标准方程为28yx 析：错解只考虑了抛物线方程的一种情况，应还有位于三、四象限时的抛物线方程.正：还有一种情形设22(0)xpy p ，求得标准方程为2xy 所以满足条件的抛物线的标准方程为28yx 或2xy 三、对直线与抛物线一个交点认识不清例 3 求过点(01)M，且和抛物线2:4C yx仅有一个公共点的直线方程误：设所求直线方程是1ykx由214ykxyx ，消去y，得222(2)10k xkx ，Q抛物线与所求的直线只有一个公共点，224(2)40kk ，解得1k 故所求的直线方程为1yx析：由于过点(01)M，的
7、直线 l 的斜率可能存在，也可能不存在，同时抛物线与其对称轴平行的直线与抛物线恒有一个交点的特性，从而漏了两个解正：（1 ）当直线l的斜率不存在时，其方程为0x ，显然与抛物线C仅有一个公共 点（2）当直线l的斜率为零，其方程为1y ，显然与抛物线C仅有一个公共点（3）当直线l的斜率为(0)k k ，设所求直线方程是1ykx由214ykxyx ，消去y，得222(2)10k xkx ，Q抛物线与所求的直线只有一个公共点，224(2)40kk ，解得1k 故所求的直线方程为1yx综上可知，所求的直线方程为011xyyx，四、对于多解认识不清例 4 求顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为 8 的抛物
8、线方程误：抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，设抛物线方程为22(0)ypx p，焦点坐标为02p，通径82p所求的抛物线方程为28yx析：错因只考虑到焦点在x轴正半轴的情形，而忽略了焦点也可能在x轴负半轴的情 形，故产生了漏解正：抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，可设抛物线方程为22yax又通径为82a，28a 故所求的抛物线方程为28yx 抛物线定义的应用抛物线定义的应用定义揭示了事物的属性，不仅是我们理解事物的基础，也是解决问题的重要工具本 文将介绍如何利用抛物线的定义解题，望对同学们有所帮助1、求最值例 1 设P是抛物线24yx上的一个动点，F是焦点（1）求点P到点( 11)A ，的距离与点
9、P到直线1x 的距离之和的最小值；（2）若B点的坐标为（3，2） ，求PBPF的最小值解析：（1）如图 1，易知抛物线的焦点为(10)F ，准线是1x 由抛物线的定义知：点P到直线1x 的距离等于点P到 焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点( 11)A ，的距离与点P到(10)F ，的距离之和最小显然，连结AF交抛物线于P点故最小值为221，即为5；（2）如图 2，自点B作BQ垂直于准线，交点为Q，交抛物线于点1P，此时，11PQPF，那么114PBPFPBPQBQ，即最小值为 4点评：此题利用抛物线的定义，使抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相互 转化，再利用平面
10、几何中的知识，使问题获解2、求曲线的方程例 2 圆心在抛物线22yx上且与x轴及抛物线的准线都相切，求该圆的方程解析：如图 3，设圆心为P且AF，为切点，由PAPF，结合抛物线的定义知F为抛物线的焦点，即102F，因此112P，或112P，且圆的半径1r 故所求方程为2 21(1)12xy或2 21(1)12xy点评：本题利用抛物线的定义，可知切点与焦点重合，从而确定了点的坐标，使问题 的求解变的很顺畅3、确定方程的曲线例 3 方程222(3)2(1)3xyxy表示的曲线是（ ）圆 椭圆双曲线 抛物线解析：方程变形为223(3)(1)2xyxy它表示“点()M xy，与点( 31)F ，的距离
11、等于它到直线30xy的距离” ，根据抛物线的定义知，M的轨迹是抛物线故选（D） 点评：本题若直接化简方程，再判断其轨迹较繁杂，根据方程两边所表示的几何意义， 利用抛物线的定义则简单易行4、求三角形面积例 4 设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若OFa，PQb，求OPQ的面积解析：如图 4，不妨设抛物线方程为24yax，1122()()P xyQ xy，由抛物线定义知12122PQPFQFxaxabxxba 由2 114yax，2 224yax，得22 2212 1224 (2 )44yybayya baaa又由于PQ为过焦点的弦，因此2 12y ya 故222 21121
12、224 (2 )2( 4)2yyyyy ya baaab，因此，211 2OPQSOFyya abg 点评：将焦点弦分成两段，利用定义将过焦点的弦长用两端点横坐标表示，结合方程，利用根与系数的关系是解题的基本思路本题中计算三角形面积的技巧，是抛物线中经常 用到的，需掌握抛物线的焦半径公式抛物线的焦半径公式一、抛物线的焦半径公式如图，设抛物线方程为22(0)ypx p，焦点为02pF，准线l的方程为2px 设00()P xy，为抛物线上任意一点，PAl，A为垂足由抛物线定义，得0022ppPFPAxx 02pPFx即为抛物线22(0)ypx p的焦半径公式抛物线中的许多问题用其求解，则简捷方便二
13、、焦半径公式应用举例例 设抛物线24yx的焦点弦的两个端点分别为11()A xy，和22()B xy，若126xx，那么AB _解：设焦点为F，由2p ，利用焦半径公式，得121262822ppABAFBFxxxxp例 2 抛物线22(0)ypx p上有112233()()()A xyB xyC xy，三点，F是它的焦点，若AFBFCF、成等差数列，则（ ）A123xxx，成等差数列B132xxx，成等差数列C123yyy，成等差数列D132yyy，成等差数列解：由抛物线的焦半径公式，得12pAFx，22pBFx，32pCFx，AFBFCF、成等差数列，1322222pppxxx，1322xx
14、x，即123xxx，成等差数列故选（） 例 3 过抛物线28yx的焦点的直线交抛物线于A、两点，已知10AB ，O为坐标原点，则OAB的重心的横坐标是_解：设1122()()A xyB xy，原点(0 0)O ，4p 121241022ppABxxxx，126xxOAB的重心的横坐标是1206233xx例 4 设抛物线24yx的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分，求m和n的关系解：设抛物线24yx的焦点弦的端点为1122()()A xyB xy，则11mx，21nx，焦点为(10)F ，当直线AB的斜率存在时，设AB所在直线方程为(1)(0)yk xk，与抛物线方程联立2(1)4yk xyx ，消去y，得2222(24)0k xkxk121x x g12121212(1) (1)111m nxxx xxxxxmn gg，即mnm ng当k不存在时，121xx，4m nmng综上，
