《2017春上海教育版数学七下14.3《等腰三角形》word学案1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017春上海教育版数学七下14.3《等腰三角形》word学案1（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、等腰三角形等腰三角形【知识精读知识精读】（）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角” ） 。推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“
2、三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” 。 ）推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2. 定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3. 等腰三角形中常用的
3、辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【热身练习热身练习】1.等腰三角形的腰长是底边的，底边等于 12cm，则三角形的周长为 cm432.等腰三角形顶角为 80，则一腰上的高与底边所夹的角的度数为_度3.等腰三角形的底角是 65,顶角为_.4.等腰三角形的一个内角为 100,则它的其余各角的度数分别为_.5
4、. P 为等边ABC 所在平面上一点,且PAB,PBC,PCA 都是等腰三角形,这样的点 P 有_个.6. 等腰三角形的顶角等于一个底角的 4 倍时, 则顶角为_度7. 已知如图，A、D、C 在一条直线上 ABBDCD, C40,则ABD_ 第 7 题 第 9 题 第 10 题8. 在等腰ABC 中, ABAC, ADBC 于 D, 且 ABACBC50cm, 而 ABBDAD40cm, 则 AD_cm.9. 如图, P25, 又 PAABBCCD, 则DCM_度.10. 如图已知ACB90, BDBC, AEAC, 则DCE_度.1. 30 2. 40 3. 50 4. 4040 5. 7
5、6. 120 7. 20 8. 15 9. 100 10. 45【精解名题精解名题】例 1. 如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 为 BC 延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为 M。求证：M 是 BE 的中点。A D 1 B M C E 分析：分析：欲证 M 是 BE 的中点，已知 DMBC，所以想到连结 BD，证 BDED。因为ABC 是等边三角形，DBEABC，而由 CECD，又可证EACB，所以21 211E，从而问题得证。证明：证明：因为三角形 ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点所以1ABC21又因为 CECD，所以CDEE所以ACB2E即1E所
6、以 BDBE，又 DMBC，垂足为 M所以 M 是 BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）例 2. 如图，已知：中，D 是 BC 上一点，且ABCACAB ，求的度数。CADCDBAD，BACA B C D 分析：分析：题中所要求的在中，但仅靠是无法求出来的。因此需BACABCACAB 要考虑和在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外DBAD CADC 角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。解：解：因为，所以ACAB CB因为，所以；DBAD CDABB因为，所以（等边对等角） CDCA CDACAD而 DABBADC所以BDACBADC22，所以B3
7、BAC又因为o180BACCB即 所以o180B3CBo36B 即求得o108BAC 例 3. 已知：如图，中，于 D。求证：ABCABCDACAB，。DCB2BACA 1 2 D B C E 3 分析：分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，是等腰三角形的顶角，BAC于是想到构造它的一半，再证与的关系。DCB证明：证明：过点 A 作于 E，BCAE ACAB Q所以（等腰三角形的三线合一性质）BAC2121因为o90B1又，所以ABCD o90CDB 所以（直角三角形两锐角互余）o90B3所以（同角的余角相等）31即DCB2BAC4、中考题型：1.如图，ABC中，ABAC，A36，B
8、D、CE分别为ABC与ACB的角平分线，且相交于点 F，则图中的等腰三角形有（ ）A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个A 36 E D F B C 分析：分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8 个，故选择 C。2.）已知：如图，在ABC中，ABAC，D 是 BC 的中点，DEAB，DFAC，E、F 分别是垂足。求证：AEAF。A E F B D C 证明：证明：因为，所以ACAB CB又因为ACDFABDE，所以o90CFDBED又 D 是 BC 的中点，所以DCDB 所以)AAS(CFDDEB所以，所以CFBE AFAE 说明：说明：证
9、法二：连结 AD，通过 证明即可AEDAFD【备选例题备选例题】例 1. 如图，中，BD 平分。ABCo100AACAB，ABC求证：。BCBDADA D 1 B 2 E F C 证明一：证明一：在 BC 上截取，连结 DE、DFBDBFBABE，在和中，ABDEBDBDBD21BEBA，oo80DEF100ABEDDEAD)SAS(EBDABD，又oQ100AACAB，ooo40)100180(21CABCoo20402121而BFBD oooo80)20180(21)2180(21BDFBFDADBDFCBFBCFCDFDEADFCDFCFDC404080CDFEFDC40C80DFEDF
10、DE80DFEDEFoooooo，即BCBDAD【巩固练习巩固练习】1. 选择题：等腰三角形底边长为 5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm，则腰长为（ ）A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或 8cmD. 以上都不对2. 如图，是等边三角形，则的度数是ABCBCBD90CBD，o1_。C A 1 D B 2 3 3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.4. 中，AB 的中垂线交 AB 于 D，交 CA 延长线于 E，ABCo120AACAB，求证：。BC21DE A E D O B C 1 2 【试题答案试题答案】1. B 2. 分析：分析：结合三角形内角和
11、定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。解：解：因为是等边三角形ABC所以o60ABC BCAB，因为，所以BCBD BDAB 所以23在中，因为ABDoo60ABC90CBD，所以，所以o150ABD o152 所以o75ABC213. 分析：分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。已知：已知：如图，在中，D、E 分别为 AC、AB 边中点，BD、CE 交ABCACAB 于 O 点。求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上。分析：分析：欲证本题结论，实际上就是证明。而 OB、OC 在中，于是想OCOB ABC到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有的两个三角形
12、全等。21 、证明：证明：因为在中，ABCACAB 所以（等边对等角）ACBABC又因为 D、E 分别为 AC、AB 的中点，所以（中线定义）EBDC 在和 中，BCDCBE)(CBBC)(EBCDCB)(EBDC公共边已证已证所以)SAS(CBEBCD所以（全等三角形对应角相等） 。21所以（等角对等边） 。OCOB 即点 O 在 BC 的垂直平分线上。说明：（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在底边的垂直平分线上”正确地理解成“OBOC”是关键的一点。（2）实际上，本题也可改成开放题：“ABC 中，ABAC，D、E 分别为 AC、AB上的中点，BD、
13、CE 交于 O。连结 AO 后，试判断 AO 与 BC 的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。4. 分析：分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取 BC 的中点。证明：证明：过点 A 作 BC 边的垂线 AF，垂足为 F。E A 3 1 2 D B F C 在中，ABCo120BACACAB，所以 o30CB所以（等腰三角形三线合一性质） 。BC21BF6021，o13所以（邻补角定义） 。o603 所以31又因为 ED 垂直平分 AB，所以（直角三角形两锐角互余） 。o30E （线段垂直平分线定义） 。AB21AD 又因为
14、（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半） 。AB21AF 所以AFAD 在和中，ABFRtAEDRto90ADEAFB)(ADAF)(31已证已证所以)ASA(AEDRtABFRt所以BFED 即。BC21ED 说明：说明：（1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功；（2）直角三角形中角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了o30思路。 【自我测试自我测试】1在等腰ABC 中，AB=AC，中线 BD 将这个三角形的周长分为 15 和 12 两个部分，则 这个等腰三角形的底边长为（ C）A 7B 11C 7 或 11D 7 或 102在ABC 中，已知 AB=AC，DE 垂直平分 AC，A=50，则DCB 的度数是（ A）A 15B30C50D653如图，在ABC 中，ACB=100，AC=AE，BC=BD，则DCE 的度数为（D ）A 20B25
