《概率论与测度论之间联系的通俗解释》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与测度论之间联系的通俗解释（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、测度论是概率论的理论基础，所以概率中的一些概念抽象化就是对应的测度论 中的概念。概率是要度量“事件发生的可能性”的大小，事件的抽象化描述就是集合，需要 考察“事件的全体”，对应到测度论就是“集合系”。“事件发生的可能性”是对事 件的一种度量，对应到测度论就是“集合的测度”。不是每个事件都可以定义其概率（发生的可能性的大小）的，对应的就是不是 每个集合都可以定义测度，可以定义测度集合就是可测集。同时，事件必然要 涉及到事件的组合运算（复杂事件是可由基本事件表示出来），对应的就是集 合的交、并、差、余、极限的运算到复杂集合，所以又需要保证做可列次这些 运算不能超出全体范围（即可测集的范围要足够大，
2、以保证集合的可列次交、 并、差、余、极限的运算，之后还在里面）那么什么样的集合系，才能保证其中的集合是可测集（可以定义测度，又对那 些运算封闭）呢？测度论中讲了，只要集合系是 -代数（也叫 -域）就可以了。 -代数的基本定义是：1. 全集在里面；2. 里面每个集合的余集在里面；3. 里 面任意可列个集合的并集在里面。有了这三条基本定义，就可以推出：空集、 可列次交、并、差、上限集、下限集运算之后都能在里面。就满足需要了。所以，集合 X + 该集合上的一个 -代数 F，（X，F）就是一个可测空间了，即 可以定义测度的空间（F 中任一集合都可以定义其测度（某种度量）。进一 步再定义了测度 ，那么（
3、X, F, ）就是测度空间。对应到概率论中，样本空间 ，事件域 F（是个 -代数），概率测度 P，放一 起（，F，P）就是概率测度空间。概率测度 P 是满足特殊要求的一种测度： P()=1.Borel Feild 就是 Borel -代数，表示实数轴上的 -代数，可由实轴上的所有开集 生成（的 -代数），也可由实数轴上所有的(-,a这样的区间生成（-代数）， 是相等的。按 -代数前面说的，实数轴上开集、闭集的至多可列次交、并、差 (余)、上限集、下限集、极限集的运算，都超不出该 Borel -代数的范围。Borel -代数（我用 Br 表示）有什么用？其实概率论中的随机变量，对应测度 论中的可
4、测函数，而可测函数就是从可测空间（X，F)到（R，Br）的可测映射： 即 Br 中的任一集合在该映射下的原像都属于 F（即都是 X 上的可测集）。再说说随机变量，前面说了概率论中要用集合表示事件，但事件五花八门，怎 么统一用一种简单的集合表示呢？这就用到映射的概念，建立一种从样本空间 （基本事件的全体）到实数轴的映射（一一对应）就可以了，这种映射就是随 机变量。有了它，基本事件映射到实数轴上就是的基本区间，基本事件经过运 算生成的复杂事件，映射到实数轴上就是实数轴上 Borel -代数中的集合。因为有了这个对应关系，要度量“事件发生的可能性的大小”（即概率测度），只要度量“实数轴上 Borel
5、 -代数中的集合” 就可以了（前面说了 Br 因为是 -代 数是可以定义测度的，给 Br 中的集合定义概率测度就行了）。所以，随机变量的测度论语言定义是这样的：设（，F，P）为概率测度空间， 若对实数轴上 Borel -代数中的任一集合（称为 Borel 集）B，都有 w: X(w) B F，则称 X(w)为随机变量。总之，随机变量就是建立了“随机事件”到“实数轴上 Borel -代数”的一种对应， 并且保证了建立了这种对应的随机事件都是可以定义概率测度的。既然随机事件w: x(w) B属于 F，那么可以有概率，即 Pw: x(w) B是有意义的，为了简单，概率中就记 Pw: X(w)B = PX B 了。特别地，若取 B=(-,x), 则事件XB的概率PXB = PXx := F(x)就定义成随机变量 X 的分布函数。因为对任意的区间(a,b, 都可表示成PX (a,b = PaXb = PXb - PXa = F(b)-F(a)进而，由这样的区间经过至多可列次交、并、差运算的复杂的实数轴上的 Borel 集都可以用 F(x)给出其概率。当然，随机变量也可以定义为从样本空间到平面 R2上的映射，就是二元随机变 量。
