现代数学思想发展

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1、重庆三峡学院现代数学进展课程论文重庆三峡学院现代数学进展课程论文现代数学思想发展院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学（师范）姓 名 李春花 年 级 2012 级 学 号 201206034123 指导教师 刘学飞 2015 年 5 月现代数学思想发展现代数学思想发展李春花（重庆三峡学院数学与统计学院 12 级数本 1 班）摘要：摘要：现代数学与计算机相结合而产生的威力无穷的“数学技术”，渗透到了与人类生存 息息相关的各个领域. 数学的固有特点（抽象性、精确可靠性、广泛应用性等）相互间是 彼此联系. 数学的涵义从数学的研究对象、数学的内容两方面谈. 关键词：关键词：“现代”的理解 ；

2、现代数学的特点 ； “数学”的涵义；现代数学思想的意义引言引言数学在 19 世纪已经发展成独立的学科.到了 19 世纪下半叶，随着不断从实际中获取营 养以及自身的蓬勃发展，数学本身积累了大量丰富的资料（成果、方法和理论等），在繁 荣的同时，也留下了众多没有解决的难题.在这种变革与积累的基础上，20 世纪以来的数 学呈现出指数式的飞速发展.随着经典数学的繁荣和统一、许多新的应用数学方法的产生， 特别是计算机的出现及其与数学的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方 面都得到了空前的拓展.其中所谓的数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到 人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.

3、是对数学事实与理论经过概括后产生的本质 认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的 数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展 着的.1 1 对现代数学思想中对现代数学思想中“ “现代现代“ “的理解的理解纵观数学的历史发展，可以清楚地划分为初等数学，高等数学，现代数学三个阶段.从 古代到 17 世纪初为初等数学阶段；从 17 世纪初到 19 世纪末为高等数学阶段，从 19 世纪 末开始，数学进入了现代数学阶段.按着数学的研究对象即“数“与“形“来说，在三个阶段中 层次是不一样的.在初等数学阶段，“数“是常量，“形“是孤立

4、、简单的几何形体.初等数学 分别研究常量间的代数运算和几何形体内部以及相互间的对应关系，形成了代数和几何两 大领域.高等数学阶段以笛卡尔建立解析几何为起点，17 世纪 80 年代微分学的建立是这一 阶段的最显赫的成就和标志.在高等数学阶段，数是变量，形是曲线和曲面，高等数学研究 它们之间各种函数和变换关系.这就是数与形紧密联系起来，但大体上还是各成系统的.由 于以微积分为源头的分析数学的兴起和发展，数学形成为代数、几何和分析三大领域. 现 代数学阶段以康托尔建立集合论为起点.正如数学家陈省身所说：“康托尔建立集合论独具 新意，高瞻远瞩，为数学立了就厘时微.“20 世纪以后，用公里化体系和结构观

5、点来统观数 学，成为现代数学阶段的明显标志.现代数学阶段研究的对象“数”为集合，“形“为各种空 间和流形，它们都能用集合和映射的概念统一起来，数与形的界限已难以划分了.现在数学得到了空前的应用，具有了“技术”的品质.今日的数学，已不甘于站在后 台，而是大步地从科学技术的幕后直接走到了前台.现代数学不单只是通过别的科学间接地起作用了，它已经直接进入科技的前沿，直接参与创造生产价值数学已经走到前线了. 现代数学与计算机相结合而产生的威力无穷的“数学技术”，渗透到了与人类生存息息相 关的各个领域，成为一个国家综合国力的重要组成部分.国家的繁荣昌盛，关键在于高新科 技的发达和经济管理的高效率，而高新科

6、技的基础是应用科学，应用科学的基础则是数学， 数学对国家的建设和发展具有巨大的作用.对此，我国著名数学家王梓坤院士指出：“由于 计算机的出现，今日数学已不仅是一门科学，还是一种普适性的技术，从航天到家庭，从 宇宙到原子，从大型工程到工商管理，无一不受惠于数学技术.因而今日的数学兼有科学与 技术两种品质，这是其他学科所少有的.”2 2 现代数学的特点现代数学的特点现代数学作为数学发展的新阶段，它必然在数学的固有特点（抽象性、精确可靠性、 广泛应用性等）方面有所发展，这些特点相互间又是彼此联系的. 1.高度的抽象和统一 抽象性是数学这门科学的一个最基本、最显著的特点.而现代数学更加充分、加积极主

7、动的发挥着这一特点.现代数学的研究对象、研究内容和研究方法，都呈现出高度的抽象和 统一.所谓抽象和统一，就是把不同对象中共同的、本质的东西抽象出来，作为高一层次的 对象加以研究，从而把原来许多不同的对象统一起来，求得共同的本质的规律.一个最简单 的例子就是各种算术应用问题可以用代数统一起来，掌握算术的最好的方法就是学会代数. 抽象和统一是一个完整概念的两个方面.为了统一必须抽象，有了抽象就能统一，并且还扩 大了范围.集合概念是对数学所研究的各种对象的抽象概括.把一般的集合作为现代数学的 研究对象，这就能把数学的个不同领域统一起来，并极大地扩大了数学的范围. 2.注重公理化体系的建立和结构的分析

8、 希腊数学家欧几里德在其几何原本中首创的公理化方法为数学家和物理学家树了 如何建立科学理论体系的光辉典范.所谓公理化方法，就是以尽可能少的原始概念和不加证 明的公理作为基础，用逻辑推理来建立演绎的科学理论.公理化方法，不仅能系统地总结数 学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，并能促进新 数学理论的建立和发展.一个突出的例子就是在欧氏几何的公理系统中，只要换一条平行公 理，就导致肺欧几何的建立.非欧几何的发现是数学史上一个重要的里程碑，而欧氏几何与 非欧几何的天壤之别，根源仅仅在于一条平行公理的不同，这就充分显示出公理化方法的 威力.形成于 20 世纪 30 年代的

9、法国数学家团体布尔巴基学派，以康托尔的几何论为出 发点，系统地运用 Hilbert 的公理化思想方法，提出用结构的观点统观数学.他们用全局 观点分析和比较了各个数学分支的公理体系结构，并按照结构的不同和内在联系对数学加 以分类和重建，力图将整个数学大厦组建成一个渊源统一、脉络清晰、枝繁叶茂、井然有 序的理论体系.他们认为，“数学.至少纯数学是研究抽象结构的理论.”这一观点对现代数 学的发展有着深刻的影响. 3.注意不同数学学科的结合、不断开拓新领域 现代数学的一个显著特征就是其不同分支间的相互渗透和联系.其结果有的使原来的学 科面貌完全改观，有的相互结合发展成新的数学分支.前者典型的例子是微分

10、几何、微分方 程、概率论等，这些学科的名称前都可以分别加上“古典”或“现代”二字，以区别这些 学科从研究对象到研究方法都发生了巨大变化.者的例子有代数几何，代数拓扑、微分拓扑、 积分几何等，从这些学科的名称可以知道它们是由哪些学科相结合的产物.数学中不同分支 和不同领域的相互结合和渗透，使得现代数学完全改变了经典数学中代数、几何、分析三 足鼎立的局面.本来三者各自形成独立的体系，个有其独特的研究方法.代数方法注重公理 体系结构，几何方法富有几何的直观，分析方法则以精细的分析见长.现代数学则把这三者结合起来，综合运用代数、几何和分析的研究方法.“泛函分析”作为现代数学的基础之一 和主要研究领域之

11、一，就最充分地显示了这三种方法综合运用的卓越成效. 4.研究更加符合实际的数学模型，解决更复杂的问题 现代数学正在向复杂性进军，人们研究的对象愈来愈复杂.在运用数学方法研究复杂问 题时，关键在于能够建立既能反映问题本质，又是简化了的数学模型.简化是为了便于进行 数学处理.由于生产和科技的发展，提出解决的问题所需的精度日益提高，原来的数学模型 已比能满足需要；同时由于现代数学的发展，特别是计算机的发展，使处理和计算复杂数 学模型也成为可能，于是要研究的数学模型和要解决的数学问题就愈来愈复杂.有简单到复 杂，知识现代数学发展的总的不可逆转的趋势.数学模型的复杂化有下列种种表现：（1） 从单变量到多

12、变量，从低维到高维 （2）从线性到非线性 （3）从局部到整体 （4）从连续到间断，从稳定到分岔 （5）从精确到模糊 （6）从静态到动态，从平衡到不平衡，从光滑到非光滑，从适定性问题到不适定性问 题，从固定边界条件到自由边界条件等等. 5.与电子计算机的紧密联系 6.数学向一切学科和社会部门渗透与应用3 3 “ “数学数学“ “的涵义的涵义这里从数学的研究对象、数学的内容两方面来谈数学的涵义. （一） 数学的研究对象 恩格指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系.“因而，数学是关于现实 世界中空间形式和数量关系的学科.数和形这两个基本概念，是人们通过长期的实践活动， 从现实世界中抽象、

13、概括出来的，并且在运用过程中又回到实践.数学是以数与形的性质、 变化和它们的关系作为研究对象，探索它们的有关规律，给出对象性质的系统分析和描述， 在这个基础上分析实际问题，给出具体的解答.数与形两个基本概念是整个数学的两个基石， 整个数学就是随着这两个概念的提练、演变与发展而不断深化的. （二） 数学的基本内容 数学的内容十分丰富，数学已经形成了一门系统庞大，分支众多的基础学科，分支众 多就是数学包含了许多具有基本理论、自成系统的学科，就像一棵根深叶茂的大树一样， 以粗壮的树干向周围分出许多粗细不等的枝杈.数学有许多分支，迄今，尚没有一个统一的 划分原则. 1、着眼于与现实生活的联系，数学可分

14、为纯粹数学与应用数学两大类. 纯粹数学是研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学 本身规律，大体分为三类，即研究空间形式的几何类；研究离散系统的代数类；以及研究 连续现象的分析类.应用数学是研究如何从现实问题中抽象出数学规律，以及如何把已知的 数学规律应用于现实问题的学问，如数理方程、运筹学、概率论、数理统计、计算数学等. 2、着眼于数学对现实世界中各种现象的处理，数学又可分为确定性数学、随机数学、 模糊数学. 现实世界中的现象纷繁复杂，但不外乎如下三类：一、确定性现象；二、随机现象； 三、模糊现象.自由落体运动，其规律是确定的，为一种确定性现象，与之相应的数学即为 确

15、定性数学，它包含了数学的绝大部分；投掷一枚硬币，出现的结果是确定的，只能是正 面或反面，但就每一次投掷的结果究竟是正面还是反面事先却无法预料，这就是随机现象，它是一种“非此即彼“的不确定性，符合概率规律，与之相应的数学即为随机数学，也就是 概率论与数理统计；除了上述不确定的随机现象外，现实世界中更多地存在一种“亦此亦彼 “的不确定性现象，它无法用通常的二逻辑来表达，这就是模糊现象，如“年轻人“，“秃子 “，“大个子“等，与之相应的数学即为模糊数学. 3、着眼于数学的发展过程，数学又可分为数学基础，初等数学，高等数学，现代数学. 现代数学作为数学发展的新阶段，它必然在数学的固有特点（抽象性、精确

16、可靠性、 广泛应用性等）方面有所发展，这些特点相互间又是彼此联系的，这也是现代数学的发展 趋势.4 4 现代数学思想的意义现代数学思想的意义人类已经进入到高科技时代，自认科学与社会科学的各项研究也都进入到更深的层次 和更广的范畴，“数学是一个大有潜力的资源”.事实上，许多抽象的数学概念与理论出人 意料的在各个学科领域中找到了他们的原型与应用.同时，许多深奥的数学理论和方法日益 深刻的渗透到科学技术的各个学科领域中.尤其是现代数学是一切重大技术革命不可或缺的 重要基础.如爱因斯坦的相对论和黎曼理论有紧密的联系，分子生物学中的关于 DNA 分子复 杂结构的研究与拓扑学中纽结理论相结合，等等.自然科学乃至社会科学正在呈现出一种数 学化的趋势，现在数学在科学研究和技术发明中的意义和地位，从来没有像今天这样具有 举足轻重的地位. 总之，数学具有鲜明的特点，数学具有无穷的魅力，数