无穷小量及应用

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1、 无穷小量及其应用无穷小量及其应用姓名:储敏 学号:200825020306 指导老师:张德然【摘要】无穷小量思想在数学史上(微积分和数学分析)的早期发展中起着重要作用，也是 对于理解微积分学的关键性概念.对于无穷小量的再认识以及在一种严格的基础上重新论述， 是现今数学领域的一个引人注意的课题.无穷小量是高等数学中的一个重要概念，它在高等 数学中占有很高的地位当运算从有限变到无限时，很多在有限运算中成立的结论在无限 运算中却不成立无穷个无穷小量的乘积不一定是无穷小就说明了这一点对于这个问题， 很多人做了研究，并举出了一些例子.但这些例子并没有概括无穷个无穷小乘积的所有情 形 本文先阐明了无穷小

2、量的历史发展过程，理清无穷小量的概念与性质.还有关无穷小量 与极限的联系.从无穷小量的代数和与积两个方面对无穷小量的无限次运算进行进一步完善 的探讨.给出了无限个无穷小量代数和与积仍为无穷小量的条件. 【关键词】无穷小量；极限；无限次代数和；无限乘积一 无穷小量的发展史 人们对无穷小量的认识已经经历了几千年漫长而曲折的过程，正如Hilbert所指出的： “无穷!还没有别的问题如此深地打动人们的心灵；也没有别的想法如此有效地激发人的智 慧；更没有别的概念比无穷这个概念更需要澄清.1 他还指出“数学是处理无穷的科学” 数学史上所谓3次危机都与无穷有关，它在本质 上源于人们对无穷的认识不断深入的过程

3、中所引起的认识上的困难我们可以把到目前为 止人们对无穷小的认识大体上分为以下5个阶段2 第一，对无穷小认识的初级阶段是早在公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派为了解决 不可公度的问题，提出了“原子论”作为一种非常小的度量单位此后，无穷小伴着古希 腊的“穷竭法” ，卡瓦列利的“不可分量原理” ，促使微积分方法的萌芽和发展在我国， 则有战国时期(公元前446-256年)的分杵原理，即惠施提出的“一尺之杵， 日取其半，万世 不竭”等 第二阶段是以微积分的诞生为标志，对无穷小量的认识经历了三百年左右的曲折认识， 到19世纪才将无穷小量作为其极限为零的变量使用这是属于潜无穷的认识阶段承认潜 在可实现性抽象

4、在逻辑上可以导出数学归纳法原理 第三，19世纪70年代集合论的建立，使人们对无穷小量的认识进入到实无穷阶段实 无穷抽象作为一种深远的理想化所生成客体的“现实性”并不是直接的.在逻辑上，承认实 无穷抽象导致承认排中律而把它作为一条逻辑原理 第四，20世纪60年代的非标准分析将实数域扩大到超实数域，其中每一个通常的实数 看成是超实数的标准部分，它的周围聚集着无穷小邻域即单子，对单子结构的分析，是认 识无穷小的一个本质的进步但这种认识仍有其时代的局限性例如Robinson仅从数理逻 辑的角度来认识无穷小，并且用“互补原则”来看待无集集合等事实上，无穷小世界并 不满足因果律 第五，20世纪80年代兴起

5、的“超弦”理论，为无穷小理论提供了新的模型20世纪现 代数学的发展，促使人们逐步认识到实数集合有离散性和连续性两方面每个实数和数轴 上唯一的点成一一对应，实数集合从代数的角度看，它呈现出群、环、域等离散性的侧面， 而从拓扑的角度看，它是局部列紧的，又呈现出连续性的一面；实数集的无穷性看成潜无 穷时，就要研究实数形成过程的一般性质，例如要用有理数列来逼近无理数；而看成实无 穷时则是将实数集合当作一个数学客体来研究超弦理论的基本思路是将基本粒子作为它 的一种泛函空间来研究，而不再像传统的观点那样将基本粒子作为一个质点(几何点)来看 待二无穷小量的概念及基本性质2.1 无穷小量的概念1在收敛数列中,

6、我们称极限为0的数列为无穷小量,例如数列都是无穷小量.1) 1(,12 nnn要注意,无穷小量是一个变量,而不是一个非常小的量.3 2设在某内有定义.若f)(00xU0lim( )0, xxf x 则称为当时的无穷小量.4f0xx 3在柯西借助于严格的极限理论，明确指出了无穷小量是以0为极限的变量其本质是： 无穷小量是一个变量，它在自己的变化过程中，就其绝对值而言，可以小于任何给定的正 数e，或者说它可以无限地接近于0.5 综上： 极限为零的变量称为无穷小量(简称无穷小).0)(lim, 0)(lim, 0)(lim0)(lim, 0)(lim, 0)(lim, 0lim000 xfxfxfx

7、fxfxfxxxxxxxxxxnn4. 注意： （1）这里指极限，包括数列极限和六种形式的函数极限； （2）无穷小量是相对某个极限过程而言； （3）无穷小量是极限为零的变量，而不是绝对值很小的数； （4）数0可视为无穷小量，但无穷小量不一定是0.2.2 无穷小量基本性质 由无穷小量的定义我们可以立刻推得如下性质6 性质性质 1 在自变量的同一变化过程中,两个无穷小量的代数和仍是无穷小量. 证明：,时的两个无穷小量是当及设x使得, 0, 0, 021NN;21时恒有当Nx;22时恒有当Nx,max21NNN 取恒有时当,Nx ，,220 ()n 性质性质 2 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.

8、 证明：内有界，在设函数100)(xxxu.)(, 0MxuM使得则,0时的无穷小是当又设xx 000,0,00.xxxxM 使得当时, 使得当时恒有,MMuu.,0为无穷小时当uxx性质性质 3 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量. 推论推论 推论 1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量. 推论 2 常量与无穷小的乘积是无穷小. 推论 3 有限个无穷小量的乘积也是无穷小量. 推论 4 无穷小以极限不为零的变量除量，其商仍是无穷小.三无穷小量与极限的关系（一）无穷小量与极限关系：，其中lim( )( )( ) xaf xAf xAx lim( )0 xax （二）在同一极限过程中，若，则11,:

9、,11limlim （三）在同一限过程中，若，则 1:lim1lim 四 洛毕达法则若函数 和满足：fg1 ；limlim0 xaxafg 2 在点的某空心邻域内两者都可导，且的导数不为 0；ag3 （可为实数，也可为或）limxafAgA则 .limxaf glim xaf gA证明：补充定义，使得与在点处连续，任取，在区间( )( )0f ag afga0( )xaU或上应用柯西中值定理，有 ，即, a x, x a( )( )( ) ( )( )( )f xf af g xg ag ，当时，也有，故得2220(1 sin2)lim(0),2xnxxea anaxxaa( )( )( )l

10、imlimlim( )( )( )xaxaxaf xffxAg xgg x 五 无穷小量在极限中的应用在对无穷小量的概念，性质以及对无穷小与极限联系理解掌握的基础上，下面我们主要通过具体的例子来进一步了解无穷小在极限中的一些应用，从而深刻理解无穷小在解决求极限问题中的灵活作用.例题（一） 求下列极限1 2300( )cos1( )1limlim2xxf xxf xx xx 解：当时,于是，用等价无穷1x ln0txxln11xxxxe 1tet :lnxx小因子替换得. 11limlnxxx xx 1lnlim1lnxxx xx2 2321ln(22)lim 21xxxxx解：利用等价无穷小因

11、子替换，当 时，( )( )ln(1 cos1)cos1,f xf xxxxxx:，22ln(22)(1)xxx:，322231211 (1)1(1)3xxxx :所以原式=212(1)lim31(1)3xxx 3 设，则当 时，是的（C）.21 10( )lim(cos)x xf xxex1x ( )f xxA 等价无穷小 B 二阶无穷小C 三阶无穷小 D 四阶无穷小 分析：有题设21 10( )lim(cos)x xf xxex20( )ln(cos) lim1, xf xxx x 当时，0x ( )ln(cos)f xxx( )( )ln(1 cos1)cos1f xf xxxxx:,从

12、而20( )ln(cos) lim xf xxx x 22300( )cos1cos1( )limlim()1, xxf xxxf xx xxx 由于故可知即是的三阶无穷小（20cos11lim2xx x ,30( )1lim2xf x x ,( )f xx） ，因此选 C0x 4求210sinlim()x xx x解：由于，属于型 0sinlim1 xx x201lim xx 1当时，所以 0x 31sin6xxx:210sinlim()x xx x22311001 sin6lim(1)lim(1)xxxxxxx xx2231112 6001 6lim(1)lim(1)6xxxxxxex5

13、设，求及的值2 2 20161lim0, 2(2)nxeaen nxan解：2220(1 sin2)limxnxxe x22ln(1 sin2) 20limxxnxee x2e22ln(1 sin2)201limxxnxe x2e220ln(1 sin2)2 limnxx x x 2e2220ln(1 sin2)2limnxxx x2e22104 cos241 sin2lim(2)nxxxxx nx 222204cos2(1 sin2)1lim21 sin2nxexx nxx =2221044 cos24 sin2lim2nxexxxx nnx 2222016cos2sin2lim(2)nxe

14、xx n nx 220161lim0(2)nxean nx由此可知，a22en2六 关于无穷小的两个常用定理（结论）（一）为同一变化过程中的无穷小量，且，则, ( ) :证明：因为，所以，即( ) lim0,lim1 lim1 则:上面的定理表明：在求无穷小量代数和的极限时，可将价数较高的无穷小量舍弃，从而达到简化计算的目的.例题 1：求3402arcsinln(1)limcos1tan3xxxx xx 解：当时， ，0x 3arcsin x3x:4ln(1)x:4xtan33xx:1cos11 cos1 1(cos1)2xxx :21 4x:显然与均是的高阶无穷小量，由上述定理可知：3arcsin x4ln(1)x2x342arcsinln(1)2 , cos1tan3xxxxxx :tan33xx:故原式=. 022lim33xx x（二）（二）为同一变化过程的无穷小量，且与为同阶无穷小，又, , :1 当时，则 0lim1 x :2 当时，则 0lim1 x :证明 1：因为与为同阶无穷小，所以，又因，则 0lim xc 0lim1 x 当