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1、1附录附录 2 统计学、矩阵代数知识简介统计学、矩阵代数知识简介求和算子定义：对于 T 个观测值，x1, x2, , xT，求和可以简化地表示为其中 称作求和算子。求和算子的运算规则如下：(1) 变量观测值倍数的和等于变量观测值和的倍数。(2) 两个变量观测值和的总和等于它们分别求总和后再求和。(3) T 个常数求和等于该常数的 T 倍。其中 k 是常数。利用求和算子定义，样本平均数可表示为(4) 变量观测值对于其平均数 的离差和等于零。利用规则(2)，(3)和样本平均数定义即可推导出上述结果。(5) 随机变量的方差等于其平方的均值减去其均值的平方证明：2(6) 两个随机变量的协方差等于它们乘
2、积的均值减去它们均值的乘积。与规则(5)的证明类似，即可证明上述结果。定义双重求和为(7) 两个变量和的双重求和等于它们各自双重求和的和。(8) 两个不同单下标变量积的双重求和等于它们各自求和的乘积。2.2.12.2.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量定义：按一定的概率取不同实数值的变量称为随机变量，用x, y 等表示。若随机变量x可能取的值为有限个或可列个，则称x为离散型随机变量。离散型随机变量的一切可能取值及其取值的相应概率称作离散型随机变量的概率分布。若随机变量x可能取的值是整个数轴，或数轴上的某个区间，则称x为连续型随机变量。连续型随机变量的概率分布是通过随机变量在一切可
3、能区域内取值的概率定义的。最常用和最简便的形式是通过概率密度函数表示。3对于随机变量x，若存在非负可积函数f (x)，（- 0，则称 x 服从正态分布。记作 x N(, 2 )。, 分别是 x 的数学期望和标准差。可以证明三种不同参数的正态分布曲线见图 1。概率密度函数 f (x)呈钟形。最大值点在 x = 处。曲线以 x = 对称。在 x = 处密度函数曲线有拐点。当 x 时，f (x) 以 x 轴为渐近线。当 较大时，f (x) 曲线较平缓；当 较小时，f (x) 曲线较陡峭。已知 和 的值，就可以完全确定正态分布密度函数。标准正态分布定义：对于正态分布密度函数 f (x)，当 = 0，
4、= 1 时，即7称连续型随机变量 x 服从标准正态分布。记作 x N(0, 1 )。对于标准正态分布 E(x) = 0，Var 。标准正态分布曲线见图 2。标准正态分布密度函数 f0 (x)有如下性质：（1） f0 (x) 以纵轴对称；（2）x = 0 时，f0 (x) 的极大值是 （3）f0 (x) 在 x = 1 处有两个拐点；（4）。图 2 标准正态分布曲线正态分布随机变量的标准化。若 x N(, 2 )，a, b 为任意实数，且 a 30，t分布就很近似于标准正态分布。图 3 自由度为 3 的t分布曲线t分布的均值和方差分别为E(t(n) ) = 0Var(t(n) ) = n / (
5、n -2), n 2注意：（1）当 n 2 时，方差无定义。（2）当 n 时，Var(t(n) ) = 1，与标准正态分布的方差相同。t 分布的百分位数可以通过 t 分布表（附录 2）查到。2.3.32.3.3 2 2分布分布2（读作“开方”， 是希腊字母）分布是连续型的概率分布，并具有一个参数n。n是2分布的自由度。n可以取所有正整数，从而构成一个2分布族。n 的不同值对应着2分布族中不同的具体的2分布曲线。服从自由度为n的2分布的随机变量用2 (n) 表示。2 (n) 的取值范围是（0, ）。2 (2) , 2 (4) , 2 (6) 的分布密度曲线见图 4。2分布密度曲线是单峰的，右偏倚
6、的。随着自由度n的加大，偏倚程度变小。当n 增大时，2分布的形状趋近于正态分布。9图 4 2分布密度曲线可以证明（略），2分布的均值和方差分别为E(2 (n) ) = nVar(2 (n) ) = 2 n, n 2由上两式知，当 n 增大时，2分布的均值和方差也分别增大。注意：2分布的百分位数可以在 2分布表（附表 3）中查到。2.3.42.3.4 F F分布分布F分布是连续型的概率分布，并具有两个参数n1和n2 。n1和n2是F分布的两个自由度。n1称作第 1 自由度（或分子自由度），n2称作第 2 自由度（或分母自由度）。n1和n2可以取所有正整数，从而构成一个2分布族。每个（n1, n2
7、）对应着F分布族中一个不同的具体的分布曲线。服从自由度为n1和n2的F分布的随机变量用F(n1, n2) 表示。F(n1, n2) 的取值范围是（0, ）。服从F分布的密度曲线见图 5。F分布密度曲线是单峰的，右偏倚的。随着自由度n1和n2的加大，F分布的众数趋近于 1。图 5 F分布密度曲线F分布的均值为E(F(n1, n2) = n2 / (n2 - 2) , n2 2注意：（1）当 n2 2 时，均值无定义。（2）当 n2变大时，E(F(n1, n2) 趋近于 1。F分布的方差为10注意：（1）当n2 4 时，方差无定义。（2）当n1, n2变大时，Var(F(n1, n2) 趋近于零。
8、因为F分布有两个自由度，所以F分布是以不同的百分位数分别编表的。附表 4 和 5 分别给出F分布第 95，99 百分位数表（相对于 = 0.05 和 = 0.01）。已知F分布第 95，99 百分位数，可利用下式求其第 5，1 百分位数。F (n1, n2) = 1 / (F1- (n2, n1)注意：在上式的分母中n1, n2对调了位置。2.4.1.2.4.1.点估计点估计通常我们知道某个随机变量服从某种特定的概率分布或者愿意假定某个随机变量服从某种特定的概率分布，但是却不知道分布的参数。比如，知道某个随机变量服从正态分布，但不知道参数 和2。这时常常需要根据样本对总体的某种特征做出推断。这
9、就是参数估计问题。参数估计可分为两大类。（1）点估计，（2）区间估计。点估计定义：用样本的某一函数估计总体参数就是对总体参数的点估计。用 表示总体未知参数。在点估计中， 也称为被估计量。常用来表示估计量。是样本（x1, x2, , xT）的函数，也称作统计量。估计量也是随机变量。当估计量取一具体值时，称其为估计值。2.4.22.4.2 评价估计量优劣的标准评价估计量优劣的标准(1) 无偏性：若未知参数的估计量 满足E( ) = 则称估计量是未知参数 的无偏估计量。具有无偏性。 与的差称作偏差。一次抽样条件下，通常 与的偏差不会等于零。无偏性的实际意义是，当反复抽样时 的值在 周围摆动，且不存在
10、系统偏差。(2) 有效性：设1和 2都是 的无偏估计量。若对任意的样本容量总有11Var(1) F (1, T-2)，则拒绝 H0162.7.12.7.1 矩阵概念矩阵概念矩阵：由mn个元素排列起来的长方形阵列称为矩阵。记作aij是第i行和第j列的元素，其中i = 1, 2, , m；j = 1, 2, , n。A A表示的是mn阶矩阵。它包括m行n列，共有mn个元素。方阵：若矩阵的行数等于其列数，即m = n, 则称此矩阵为方阵。当A A为方阵时，i = j的元素，即a11, a22, , ann，称作主对角线元素。当m = n = 1时，A A减化为一个标量。行向量：仅有一行的矩阵称作行向
11、量。列向量：仅有一列的矩阵称作列向量。单位矩阵：一个方阵，若其主对角线元素都为 1，其余元素都为零，则称此矩阵为单位矩阵，记为I I。对角矩阵：若n阶方阵 中的元素满足条件当i j时，aij = 0，（i, j = 1, 2, , n），则称 为对角矩阵。由此可知，单位矩阵是对角矩阵的一个特例。零矩阵：元素全为零的矩阵称作零矩阵，记为 0 0。对称矩阵：若n阶方阵A A中的元素满足条件aij = aji，(i j，i, j = 1, 2, , n), 则称A A为n阶对称矩阵。2.7.22.7.2 矩阵运算矩阵运算矩阵相等：如果两个矩阵A A = = (aij)mn和B B = = (bij)
12、mn同阶且所有对应元素相等，即aij = bij，(i = 1, 2, , m；j = 1, 2, , n), 则称矩阵A A与B B相等，记为A A = B B。矩阵加法与减法：两个同阶矩阵A A = = (aij)mn和B B = = (bij)mn对应元素相加（减）得到的矩阵称作A A与B B的和（差）。记为A A + B B（或A A - B B）。矩阵加法的性质：若A A、B B、C C、0 0 都是mn阶矩阵，则(1) A A + B B = B B + A A （交换律）(2) A A +（B B + C C）=（A A + B B）+ C C （结合律）(3) A A - A
13、A = 0 0 或A A + 0 0 = A A17标量与矩阵相乘：标量k与矩阵A A相乘是k与A A的所有元素相乘，记为k A A，即k A A = k (aij)mn = (kaij)mn标量与矩阵相乘的性质（k, l是自然数）：(1) k A A = A A k(2) k (A A + B B) = k A A + k B B(3) k l A A = k (l A A)(4) (-1) A A = - A A矩阵的乘法：设矩阵A A = = (aij)mr，B B = = (bij)rn，则规定A A和B B的乘积是A A B B = C C = (cij)mn，其中即两个矩阵的乘法要
14、求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，积的元素是由左边矩阵的行元素乘以右边矩阵的相应列元素，并将所有积相加得到。矩阵的乘法不满足交换律。当A A B B有意义时， B B A A不一定有意义。即使A A B B，B B A A都有意义，A A B B和B B A A也不一定相等。矩阵乘法的性质：(1) A A(B B + C C) = A A B B + A A C C，（B B + C C）A A = B B A A + C C A A （分配律）(2) (A A B B)C C = A A(BCBC)（结合律）(3) k(A A B B) = A A(k B B)矩阵的幂：对于方阵A A与自
15、然数k，利用矩阵的乘法可以得到A A k k = A A A A k k-1称作A A的k次幂。方阵幂的性质（k, l是自然数）：(1) A A 0 = I I(2) A A k A A l = A A k+l(3) (A A k ) l = A A kl(4) I I k = I I一般来说，(A A B B)k A A k B B k。18当且仅当A A2 = A A时，称A A为等幂矩阵。若矩阵A A是等幂的，那么对于所有的 t 1，均有A At = A A成立。两个向量的内积定义为一个行向量乘以一个列向量，得到的是一个标量。若两个向量的内积等于零，那么就称这两个向量是正交的。矩阵的转置：把mn阶矩阵A A的行与列互换，得到的nm阶矩阵称为A A的转置矩阵，记为A A 或A AT。矩阵转置的性质：(1) (A A ) = A A(2) (k A A ) = k A A (3) (A A + B B ) = A A + B B (4) (A A B B ) = B B A A 余子式：划去n阶方阵A A的第i行和第j列得到的 (n1) (n1) 阶矩阵的行列式称为元素aij的余子式，记为M Mij。代数余子式：aij
