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1、第 1 章 时域离散信号和时域离散系统 1.1.2 重要公式（1） mnhnxmnhmxny)(*)()()()(这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在之间对 m 求和。 如果公式中 x(n)和 h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、 输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。 （2）x(n)=x(n)*(n)该式说明任何序列与 (n)的线性卷积等于原序列。x(nn0)=x(n)*(nn0)（3）kankXTX)jj (1)j (s这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对信号的采样频率要大于等于该信号的 最高频率的两倍以上， 才能得到不失真的
2、采样信号。naaTnTtTnTtntxtx/ )( / )(sin)()(这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。 1.2 解线性卷积的方法解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有三种方法， 即图解法（列 表法） 、 解析法和在计算机上用 MATLAB 语言求解。 它们各有特点。 图解法（列表法） 适合于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易得到封闭解。 解析 法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解 析法求解。 解析法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于画图确定。第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的
3、较难的线性卷积， 实验中常用。解线性卷积也可用 Z 变换法， 以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。设 x(n)=R4(n), h(n)=R4(n)， 求 y(n)=x(n)*h(n)。该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法（列表法）或者解析法求解。 表 1.2.1 给出了图解法（列表法） ， 用公式可表示为y(n)=, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 下面用解析法求解， 写出卷积公式为mmmnRmRmnhmxny)()()()()(44在该例题中， R4(m)的非零区间为 0m3， R4(nm)的非零区间为 0nm3， 或写成
4、 n3mn，这样 y(n)的非零区间要求 m 同时满足下面两个不等式：0m3m3mn上面公式表明 m 的取值和 n 的取值有关， 需要将 n 作分段的假设。 按照上式， 当 n 变化时， m 应该按下式取值：max0, n3mmin3, n当 0n3 时，下限应该是 0，上限应该是 n； 当 4n6 时，下限应该是 n3，上限 应该是 3；当 n6 时，上面的不等式不成立，因此 y(n)=0； 这样将 n 分成三种情况 计算： （1） n6 时， y(n)=0（2） 0n3 时， nmnny011)(（3） 4n6 时， nnmnny371)(将 y(n)写成一个表达式， 如下式： 其它64
5、,30 ,071y(n) nnnn在封闭式求解过程中，有时候决定求和的上下限有些麻烦，可借助于非零值区间的示意 图确定求和限。在该例题中，非零值区间的示意图如图 1.2.1 所示。图 1.2.1(b)中，当 n0 时, 0011)(mmmm aaans最后得到)1()(11)(nunuaansn例 1.3.3设时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应 h(n)和输入激励信号 x(n) 分别为1j )(2j)( nunhnx(n)=cos(n)u(n) 求系统的稳态响应 y(n)。解：x(n)=cos(n)u(n)=(1)nu(n)2j12j11 ) 1( 2j) 1() 1(2j) 1)(2j)(
6、)()(10 nnnmm nnmnmnmnmnmumnxmhny当 n时，稳态解为 j2j54) 1()(nny1.4 习题与上机题解答1. 用单位脉冲序列 (n)及其加权和表示题 1 图所示的序列。题 1 图 解：x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6) 2 给定信号： 其它04061452)(nnnnx(1) 画出 x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示 x(n)序列；(3) 令 x1(n)=2x(n2)，试画出 x1(n)波形； (4) 令 x2(n)=2x(n+2)，
7、试画出 x2(n)波形； (5) 令 x3(n)=x(2n)，试画出 x3(n)波形。 解：(1) x(n)序列的波形如题 2 解图（一）所示。(2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n)+6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4) （3）x1(n)的波形是 x(n)的波形右移 2 位，再乘以 2，画出图形如题 2 解图（二）所示。(4) x2(n)的波形是 x(n)的波形左移 2 位，再乘以 2，画出图形如题 2 解图（三）所示。(5) 画 x3(n)时，先画 x(n)的波形(即将 x(n)的波形以纵轴为中心翻转 180)，然后再右 移 2 位， x3(n
8、)波形如题 2 解图（四）所示。3判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。(1)常 常 常AnAnx 873cos)( (2)81( je)(nnx解：（1） 因为 =73 , 所以3142, 这是有理数，因此是周期序列，周期 T=14。（2） 因为 =81, 所以2=16, 这是无理数， 因此是非周期序列。 4 对题 1 图给出的 x(n)要求： (1) 画出 x(n)的波形； (2) 计算 xe(n)=1/2x(n)+x(n) ， 并画出 xe(n)波形； (3) 计算 xo(n)=1/2x(n)x(n) ， 并画出 xo(n)波形; (4) 令 x1(n)=xe(n)+x
9、o(n), 将 x1(n)与 x(n)进行比较， 你能得到什么结论？ 解：（1）x(n)的波形如题 4 解图（一）所示。(2) 将 x(n)与 x(n)的波形对应相加，再除以 2，得到 xe(n)。毫无疑问，这是一个偶对 称序列。xe(n)的波形如题 4 解图（二）所示。(3) 画出 xo(n)的波形如题 4 解图（三）所示。(4) 很容易证明：x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的 公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。5设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与 y(n)分别表示系统输入和输出，
10、判断系统 是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0) n0为整常数 （4）y(n)=x(n) （5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2)（7）y(n)= nmmx0)(（8）y(n)=x(n)sin(n)解：（1 令输入为 x(nn0) 输出为:y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02)y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n) 故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)
11、+bx2(n1)+3ax1(n2)+bx2(n2)Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2) 所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是线性系统。 （2） 令输入为 x(nn0)输出为 y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n) 故该系统是非时变的。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3 Tax1(n)=2ax1(n)+3 Tbx2(n)=2bx2(n)+3 Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2
12、(n) 故该系统是非线性系统。 (3) 这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为 x(nn1) 输出为: y(n)=x(nn1n0) y(nn1)=x(nn1n0)=y(n) 故延时器是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0) =aTx1(n)+bTx2(n) 故延时器是线性系统。 (4) y(n)=x(n)令输入为： x(nn0) 输出为 y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n) 因此系统是线性系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n) =aTx1(n)+bTx2(n) 因此系统是非时
13、变系统。 （5）y(n)=x2(n)令输入为： x(nn0)输出为： y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n) 故系统是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2aTx1(n)+bTx2(n)=ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。 （6）y(n)=x(n2)令输入为： x(nn0) 输出为：y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n) 故系统是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。（7） y(n)= nmm
14、x0)(令输入为 x(nn0)输出为： y(n)= nm 0x(m-n0)y(nn0)=00nnmx(m)y(n)故系统是时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)= nm 0ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。 （8） y(n)=x(n) sin(n)令输入为： x(nn0)输出为： y(n)=x(nn0) sin(n)y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n) 故系统不是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系统是线性系统。 6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。（1）10)(1)(NkknxNny（2） y(n)=x(n)+x(n+1)（3）00)()(nnnnkkxny（4） y(n)=x(nn0)（5） y(n)=ex(n) 解：（1）只要 N1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与 n 时刻的和 n 时刻以前的输 入有关。 如果|x(n)|M， 则|y(n)|M， 因此系统是稳定系统。 （2）该系统是非因果系统， 因为 n 时间的输出还和 n 时间以后（n+1）时间）的 输入有关
