三角函数诱导公式教案

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1、三角函数三角函数诱导公式诱导公式教案教案教学目标教学目标1通过本节课的教学，使学生掌握诱导公式的推导方法和记忆方法2会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系 式的化简和证明3培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生 的基本数学思想和数学意识教学重点与难点教学重点与难点诱导公式的推导教学过程设计教学过程设计师：我们前面学习过诱导公式一，请说出诱导公式一及其文字叙述它在 转化任意角的三角函数中所起的作用是什么？生：（学生口述的同时，教师板书诱导公式一）sin（k360+）=sin，cos（k360+）=cos，tan（k360+）=tan，cot（k36

2、0+）=cot（kZ）文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等它在转化任意角的三角函数中所起的作用是：把求任意角的三角函数值的 问题，转化为求 0360（或 02）之间角的三角函数值的问题师：（副板书）试求出 sin2016的值生：由公式一，sin2016=sin（5360216）=sin216（至此，绝大多数同学已无法再演算下去了）（以旧知识的复习，导出新的问题，使学生新的求知欲得到激发，渴望得 到回答，以达到以旧带新，以旧拓新的目的）师：能否导出一些新的公式来解决这类问题？可先看这道具体问题如何求 解我们知道 090之间的角的三角函数值可以通过查表求得那么，能 否借助一个工具，在 0

3、90之间找到一个角 ，把求 sin216的值的问题 转化为求 角的三角函数值问题？（进一步诱导，使学生进入愤悱状态）师：（投影图 1）216角的终边 OP 在第三象限内，将 OP 反向延长，与单 位圆交于 P点，则在 090之间找到一个角 =216-180=36由于 OPMOPM，所以有 MP=MP又因为 sin216=MP，sin36 =MP，而 MP 与 MP的长度相同、方向相反，所以有 sin216=- sin36这样便把求 sin216的值的问题，转化为可查表的 36角的三角函 数求值问题你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？（向“公式化” 过渡实际上我们先经过了一次将三角

4、问题几何化利用正弦线）生：sin216=sin（180+36）=-sin36师：180270之间角的余弦函数问题，是否也可以通过这种变换，转 化为求 角在 090之间的三角函数问题？（迁移作用）（师适当提示：观察余弦线的数量数量关系）生：师：180270之间角的正切、余切函数的求值问题，是否也可以通过 这样的变换转化求值？（师适当提示：方法 1，仍通过三角函数线观察出结果；方法 2，生：师：可见 180270之间角的三角函数求值问题都可以通过类似的变换 求出三角函数的值能否把这种变换求值的方法，总结成公式形式？（从具体问题的求解，到公式的形成是一种质的飞跃）师：（适当提示：先把 180270之

5、间的角用 （ 是 090之间 的角）表示出来）生：（板书）sin（180+）=-sin，cos（180+）=-cos，tan（180+）=tan，cot（180+）=cot师：这组公式通常称为诱导公式二观察其结构特征：同名函数关系； 符号规律：右边符号与 180+ 角所在象限（第三象限）角的原三角函数值 的符号相同（为总结公式的记忆方法打基础）师：任意角的三角函数值问题，可以由公式一化为 0360之间角的三 角函数值问题；180270之间角的三角函数值，又可通过诱导公式二化为 090之间角的三角函数值，从而得出函数值；那么 90180、 270360之间的角的三角函数值问题，能否转化为 090

6、之间角的三 角函数值来求出解答？（横向联想，公式二的归纳过程，会对学生的思维产生 正向的影响）（师提示：由对称性找出角的终边间的关系，再证出三角函数线的数量关 系，正切、余切函数的诱导公式可由同角三角函数的基本关系式推出）生：（讨论的同时，完成图 2）师：（板书）sin（-）=， cos（-）=， tan（-）=， cot（-）=生：（板书完成）sin（-）=-sin，cos（-）=cos，tan（-）=-tan，cot（-）=-cot（及时评价、反馈）师：这组公式通常称为诱导公式三观察其结构特征：同名函数关系； 符号规律是：右边符号与- 所在的第四象限角的原三角函数值的符号相 同师：（板书）

7、sin（180-）=， cos（180-）=， tan（180-）=， cot（180-）=生：（完成板书）sin（180-）=sin，cos（180-）=-cos，tan（180-）=-tan，cot（180-）=-cot（师及时评价、反馈）师：这组公式通常称为诱导公式四观察其结构特征：同名函数关系； 符号规律：右边符号与 180- 所在的第二象限角的原三角函数值的符号相 同师：由于 360- 角与- 角的终边相同，它们的同一三角函数值相等， 所以有（板书）sin（360-）=-sin，cos（360-）=cos，tan（360-）=-tan，cot（360-）=-cot师：目前，连同公式一

8、，我们一共得到了五组诱导公式，利用它们，可以 求出任意角的三角函数值为使公式更具一般性，不妨大胆猜测：若公式中的 角 为任意角，公式是否仍能成立？（推广到一般性）生：师：大胆猜测，还要小心求证没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步； （鼓励猜想），没有经过证明的结论总是危险的我们可先以公式二为例，证 明究竟谁猜的对（要证明猜测的结论，学生情绪进一步高涨）师：（投影图 3）生：（师提示：可先由三角函数线或由三角函数定义，推出 sin（180+） 与 sin，cos（180+）与 cos 的数量关系，再用同角三角师：由此可见， 为任意角时，公式二仍然成立类似于公式二的推证方 法，可以证明公式三也成立

9、而 180- 可以写成 180+（-），360- 又与- 角终边相同，容易推出，对任意角 ，公式三、四、五也都成立验 证过程由同学们在课下完成（给学生留有细心体验发现的空间）（到此完成了又一次的升华）师：本节课推得的公式较多，如何记忆这些公式呢？（机械记忆显然不可 行）由推证公式的过程可知，其结构具有一定的规律性：等号两边的函数 名称相同；符号规律：把 看作锐角时，等号右边的符号与 k360 +（kZ）（第一象限角）、-（第四象限角）、180+（第三象限角）、 180-（第二象限角）、360-（第四象限角）所在象限的原三角函数值 的符号相同（可回顾图 2）综上所述，这些公式可以概括如下：k36

10、0+（kZ），-，180，360- 的三角函数值，等于 的同名三角函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号师：（投影图 4，用红色标出 x 轴）由于把 看作锐角时，k360 +，180，-，360- 均可看作由 x 轴出发加或减 得到的，所以 这五组诱导公式又可称为“水平诱导”公式按如下方法记忆：水平诱导名不变；符号看象限师：下面给大家半分钟，体会上述记忆方法并考虑用弧度制如何表示上述 公式？生：（师个别提问及时反馈这样可提高学生的学习积极性和学习效率）师：用诱导公式都可以解决哪些问题？（自问自答）作用 1：求值一般可按如下步骤进行：以上步骤可简化为：负化正；正化主；主化锐角可查表（0

11、360之间的角 叫做主值或主角）例例 1 1 求下列各三角函数值解解再由诱导公式一“正化主”，注意去掉的是 2k 即 12，而不能去掉（2）tan2025=tan（5360+225）=tan225=tan（180+45） =tan45=1师：新学公式，不得跳步（3）、（4）小题请同学完成（各请一位同 学板演，同时教师巡视）（3）cos（-519）=cos519=cos（360+159）=cos159=cos（180-21）=-cos21=-0.9336（及时反馈）师：运用熟练后，还可以总结出简炼快捷的求值方法（提出更高的目 标由公式指导实践是质的又一次升华）作用 2：化简或证明可把复杂问题化简

12、单，直到解决问题例例 2 2tan（-）分析：本题既要看代数结构，三角结构，还要观察角的结构请同学观察：（1）各项均与角 有关，所以先用诱导公式化简为同角的三角函数；（2）需求 sin，cos，tan 的值；（3）求和可得到解答解解（说明：以上过程可由学生先解，然后老师及时反馈）例例 3 3 求证：师：请同学注意观察此题的代数结构、三角结构和角的结构，然后独立完 成（一名同学板演，同时老师巡视）证证=1（师及时反馈）师：（小结）诱导公式（二）（五）的推导方法类似，应抓住角的终边 位置对称（关于原点、y 轴、x 轴对称）的特点及三角函数的数量关系、同角三 角函数的关系记忆公式，要把握五组公式的结

13、构特征：（1）函数名称关系：函数名相同；（2）符号规律：公式右边的符号为把 视为锐角时，角 k360 +（kZ），-、180，360- 所在象限的原三角函数值的符 号（回顾图 2-7）记忆：水平诱导名不变；符号看象限应用：（1）计算求值步骤可简单记为：负化正，正化主，主化锐角可查 表（2）化简证明要分析题目的三个结构代数结构、三角结构和角的结 构希望同学们今后在不断的应用实践中，总结出更简捷的方法和解题步 骤（鼓励学生不断实践和总结，以达到更好地使公式内化的目的）课堂练习：课本 P158 练习第 3 题课外题：课本 P163 习题十三第 4（1）（4），第 5 题课堂教学设计说明课堂教学设计说

14、明一、本节课的教学过程：1复习旧知识，引出新课；2由 sin216的求值过程，引导学生发现推证公式的方法和途径；3将解题过程抽象化、概括化，推出公式 sin（180+）=- sin（其中 为 090之间的角）4类比推出公式二，从而推出公式三、四、五；5推广到任意角并加以证明；6找规律，谈记忆；7讲应用，说方法；8例题、小结、练习、作业二、本节课的指导思想：课本上采用的是直接给出 90180，180270，270360之 间的角，可以用 180-，180+，360-（090）来表示， 然后加以证明出结论其简捷、节约时间的特点是显而易见的但总有一种把 知识作为“结果”传授给学生的感觉，学生只要接受

15、、反复练习就算完成了 “内化”的过程而利用环节 15，把从实践经验（解题）上升到理论高度 （公式），再由理论（公式）去指导实践（解题）的过程，展现给学生；也使 学生的数学思想和数学意识得到了提高；培养了学生“发现”问题“解决” 问题的能力美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续 不断的活动”思维永远是从问题开始的所以本节课采用了逐步设疑、诱导、 解疑，指导学生去“发现”的方法，使学生始终处在兴趣盎然的状态，课堂气 氛活跃另外，本节课公式的验证方法，是以学生已经掌握了“三角函数线”为基 础的，这样可以加强几何直观，便于理解和应用在环节 4，先推出诱导公式 在 0360范围内成立的目的是：便于发现公式的结构特征，理解求值的步 骤，以便学生掌握和熟