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1、第十章 双曲线的画法和性质50用几何画板画双曲线一双曲线的定义：1在平面内，到两个定点 F1、F2的距离 的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距。2双曲线的标准方程： 设 M(x, y)是双曲线是上任意一点，双曲线 的焦距为 2c (c0)，则如图建立直角坐标系， 又 F1、F2的坐标分别是 F1(c, 0), F2(c, 0)， 若 M 点与 F1、F2两点的距离的差的绝对值等 于 2a (ca0)，则 |MF1|MF2|2a, , 图 101aycxycx2)()(2222整理化简，并且设 b2c2a2得双曲线的
2、标准方程 .12222 by ax3双曲线的第二定义： 设动点 M(x, y)与定点 F(c, 0)的距离和它到定直线 : x的距离的比是常数(ca0)，lca2 ac则点 M 的轨迹是双曲线。点 F 是双曲线的一 个焦点，直线 是双曲线中对应于焦点 F 的准l线。常数 e (e1)是双曲线的离心率。 ac图 102 4双曲线的参数方程： 以原点为圆心，分别以 a、b (a, b0) 为半径作两个圆，|OA|a, |OB|b, 点 P 是以 a 为半径的圆上的一个点，点 C 是 OA 与半径为 bd 圆的交点，过点 C 作CNOx，交直线 OP 于 N，过点 N 作 OX 轴的平行线，过点 P
3、 作 PROP，交 Ox 轴 于 R，过点 R 作直线 RM 交过点 N 的 x 轴 的平行线于点 M，当点 P 在圆上运动时， M 点的轨迹是双曲线。 设点 M 的坐标是(x, y)， 是以 Ox 为 始边，OP 为终边的正角，取 为参数， 那么 x|OR|OP|secasec, y|RM|CN|OC|tgbtg,xyO潆MMDOBCN 图 103几何画板简明教程51 双曲线的参数方程是 ( 是参数). btgyaxsec二双曲线的画法： 画法 1：图 104 1在 x 轴上取两点 F1、F2，使|OF1|OF2|，用它们作为两个焦点； 2在图形外作一条线段 AB，使|AB|2a，(|AB|
4、0)为半径画两个圆; 2圆 OA 与 x 轴的正方向交于点 C，过 C 作 x 轴的垂线， 3在圆 OA 上取一点 P，连接 OP，直 线 OP 与过点 C 且和 x 轴垂直的直线交于点 N，过点 N 作 x 轴的平行线 NM； 4过点 P 作 PR 垂直于 OP，交 x 轴于 点 R； 5过点 R 在 x 轴的垂线交直线 NM 于点 M； 6分别选中点 M 和点 P，用“作图” 菜单中的“轨迹”功能，画出双曲线。 理论根据： 设xOP， 则|OR|OP|secasec, |RM|NC|OC|tgbtg, 根据双曲线的参数方程知，点 M 的轨迹是 一个双曲线。 OBCN 图 107第十章 双曲
5、线的画法和性质54三双曲线中动弦的画法 (一)双曲线焦点弦的画法：图 108 1在坐标系中作出两个焦点 F1、F2，在图形外作一条线段，使它的长等于 2a(2a|F1F2|)；2以 F1为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任取一点 P，连接 PF2，作 PF2的中垂线交直 线 PF1于点 M；选中点 M 和点 P，用“轨迹”功能作出双曲线； 3连接 PF1延长与圆交于点 Q； 4同样方法作出点 Q 在双曲线上的对应点 N； 5连接 MN，则线段 MN 一定过焦点 F1，且点 M、N 都在双曲线上； 6保留坐标系、双曲线、焦点和焦点弦 MN，隐藏其它的内容，这时选中点 M，在双曲 线上拖动它，则点
6、N 相应在双曲线上移动，且 MN 始终经过点 F1. 理论根据： 双曲线上的点 M、N 是由圆上的点 P、Q 得到的，线段 PQ 在大圆上经过定点 F1，则相 应的线段 MN 在双曲线上也经过定点 F1. (二) 双曲线中过定点 M 的弦：图 109 1用参数方程的画法画出一个双曲线，标出定点 D； 2在以 a 为半径的圆上取一点 M，作出它在双曲线上的相应点 P；愲 OP 几何画板简明教程553作 DEOx 轴，垂足是 E，过点 E 作以 a 为半径的圆的切线 ER、ES，连接 RS； 4过点 D 作 RS 的垂线，垂足是 D； 5连接 MS，延长与圆交于 N，作出点 N 在双曲线上的对应点
7、 Q； 6连接 PQ，则 PQ 始终经过点 D，且 P、Q 都在双曲线上； 7保留坐标系、双曲线、定点 D 和过定点 D 的弦 PQ，隐藏其它的内容，这时选中点 P，在双曲线上拖动它，则点 Q 相应在双曲线上移动，且 PQ 始终经过点 D；. 理论根据： 双曲线上的点 P、Q 是由大圆上的点 M、N 得到的，线段 MN 在大圆上经过定点 D，则 相应的线段 PQ 在双曲线上也经过定点 MD。问题的关键是怎样由点 D 得到点 D，我们看到， 点 D 和点 D的纵坐标是一样的，另外在双曲线中过点 D 且垂直于 x 的弦的两个端点在圆上 的对应点恰好是 R、S，所以点 D.一定在 RS 上，这样就得
8、到了点 D. (三) 双曲线中平行弦的画法：图 1010 1用参数方程的画法画出一条双曲线，计算两圆半径的比 a, b，在双曲线上取一点 P； 2在图形外画一条斜率为 k 的线段，过点 P 作斜率为 k 的线段的平行线；3选中 a, b, k, 用“计算”算出的值；22kab4过原点 O 作斜率为的直线，与过点 P 斜率为 k 的直线相交于点 M；22kab5以点 M 为中心，将点 P 旋转 180，得到点 Q，则点 Q 在双曲线上； 6连接 PQ，则 PQ 就是斜率为 k 的双曲线中的平行弦； 7保留坐标系、双曲线、斜率 k 和 PQ，隐藏其它的内容；选中点 P 在双曲线上拖动点 P，则弦
9、PQ 始终与 AC 平行，且点 P、Q 在双曲线上； 8作 PQ 的中点，标记为“追踪点”，则点 P 运动时，就可以得到中点的轨迹。 理论根据：设 P(x1, y1), Q(x2, y2)都在双曲线上，且 PQ 的斜率为 k，若 PQ 的中点为12222 by axM(x0, y0), 有，两式相减得122 1 22 1byax122 2 22 2byax。22121 22121)()(byyyyaxxxxkP摎 浣 浣 敲 k a2 獁 第十章 双曲线的画法和性质56, 中点 M 在过原点且斜率为的直线上。00 xy222 212 21 )()(kab ayybxx22kab四双曲线切线的画
10、法：(一) 过双曲线上一个定点 P 的切线：1在直角坐标系中画一条双曲线，同时标出它的两个焦点 F1、F2； 2在双曲线上标出定点 P；图 1011 3以 F1为圆心，双曲线的实轴 2a 为半径作圆； 4连接 F1P 交圆于点 M； 5连接 F2M，作 F2M 的中垂线，这条中垂线过点 P，并且是双曲线的切线。 理论根据： 点 P 在双曲线上， |PF1|PF2|2a, 又|F1M|2a， |PF2|MP|, 点 P 在 F2M 的中垂线上，直线 MP 经过点 M 且与双曲线有且仅有一个交点，所以直线 MP 是双曲线过点 P 的切线。(二) 过双曲线外一点作双曲线的切线： 1在直角坐标系中画一
11、条双曲线，同时标出它的两个焦点 F1、F2； 2在双曲线外标出定点 T； 3以点 F1为圆心，双曲线的实轴 2a 为半 径作圆； 4以点 T 为圆心，|TF2|为半径作圆，交圆 F1于点 M、N； 5连接 MF2，作 MF2的中垂线 TCP，同样 连接 NF2，作 NF2的中垂线 TDQ； 6直线 TCP、TDQ 都是过点 T 的椭圆的切 线。 理论根据： 点 M、N 在以点 T 为圆心，|TF2|为半径作圆 上， |TF2|TM|TN|，MF2的中垂线一定经2TNCDPMP图 1012几何画板简明教程51过定点 T，且中垂线上一定有一点 P，满足|PF1|PF2|PF1|PM|2a, 点 P 在双曲线上， PT 是双曲线的切线且 PT 经过点 T；同理 QT 也是椭圆的切线且 QT 经过点 T。
