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1、第十章 双曲线的画法和性质50用几何画板画双曲线一双曲线的定义:1在平面内,到两个定点 F1、F2的距离 的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫做焦距。2双曲线的标准方程: 设 M(x, y)是双曲线是上任意一点,双曲线 的焦距为 2c (c0),则如图建立直角坐标系, 又 F1、F2的坐标分别是 F1(c, 0), F2(c, 0), 若 M 点与 F1、F2两点的距离的差的绝对值等 于 2a (ca0),则 |MF1|MF2|2a, , 图 101aycxycx2)()(2222整理化简,并且设 b2c2a2得双曲线的
2、标准方程 .12222 by ax3双曲线的第二定义: 设动点 M(x, y)与定点 F(c, 0)的距离和它到定直线 : x的距离的比是常数(ca0),lca2 ac则点 M 的轨迹是双曲线。点 F 是双曲线的一 个焦点,直线 是双曲线中对应于焦点 F 的准l线。常数 e (e1)是双曲线的离心率。 ac图 102 4双曲线的参数方程: 以原点为圆心,分别以 a、b (a, b0) 为半径作两个圆,|OA|a, |OB|b, 点 P 是以 a 为半径的圆上的一个点,点 C 是 OA 与半径为 bd 圆的交点,过点 C 作CNOx,交直线 OP 于 N,过点 N 作 OX 轴的平行线,过点 P
3、 作 PROP,交 Ox 轴 于 R,过点 R 作直线 RM 交过点 N 的 x 轴 的平行线于点 M,当点 P 在圆上运动时, M 点的轨迹是双曲线。 设点 M 的坐标是(x, y), 是以 Ox 为 始边,OP 为终边的正角,取 为参数, 那么 x|OR|OP|secasec, y|RM|CN|OC|tgbtg,xyO潆MMDOBCN 图 103几何画板简明教程51 双曲线的参数方程是 ( 是参数). btgyaxsec二双曲线的画法: 画法 1:图 104 1在 x 轴上取两点 F1、F2,使|OF1|OF2|,用它们作为两个焦点; 2在图形外作一条线段 AB,使|AB|2a,(|AB|
4、0)为半径画两个圆; 2圆 OA 与 x 轴的正方向交于点 C,过 C 作 x 轴的垂线, 3在圆 OA 上取一点 P,连接 OP,直 线 OP 与过点 C 且和 x 轴垂直的直线交于点 N,过点 N 作 x 轴的平行线 NM; 4过点 P 作 PR 垂直于 OP,交 x 轴于 点 R; 5过点 R 在 x 轴的垂线交直线 NM 于点 M; 6分别选中点 M 和点 P,用“作图” 菜单中的“轨迹”功能,画出双曲线。 理论根据: 设xOP, 则|OR|OP|secasec, |RM|NC|OC|tgbtg, 根据双曲线的参数方程知,点 M 的轨迹是 一个双曲线。 OBCN 图 107第十章 双曲
5、线的画法和性质54三双曲线中动弦的画法 (一)双曲线焦点弦的画法:图 108 1在坐标系中作出两个焦点 F1、F2,在图形外作一条线段,使它的长等于 2a(2a|F1F2|);2以 F1为圆心,2a 为半径作圆,在圆上任取一点 P,连接 PF2,作 PF2的中垂线交直 线 PF1于点 M;选中点 M 和点 P,用“轨迹”功能作出双曲线; 3连接 PF1延长与圆交于点 Q; 4同样方法作出点 Q 在双曲线上的对应点 N; 5连接 MN,则线段 MN 一定过焦点 F1,且点 M、N 都在双曲线上; 6保留坐标系、双曲线、焦点和焦点弦 MN,隐藏其它的内容,这时选中点 M,在双曲 线上拖动它,则点
6、N 相应在双曲线上移动,且 MN 始终经过点 F1. 理论根据: 双曲线上的点 M、N 是由圆上的点 P、Q 得到的,线段 PQ 在大圆上经过定点 F1,则相 应的线段 MN 在双曲线上也经过定点 F1. (二) 双曲线中过定点 M 的弦:图 109 1用参数方程的画法画出一个双曲线,标出定点 D; 2在以 a 为半径的圆上取一点 M,作出它在双曲线上的相应点 P;愲 OP 几何画板简明教程553作 DEOx 轴,垂足是 E,过点 E 作以 a 为半径的圆的切线 ER、ES,连接 RS; 4过点 D 作 RS 的垂线,垂足是 D; 5连接 MS,延长与圆交于 N,作出点 N 在双曲线上的对应点
7、 Q; 6连接 PQ,则 PQ 始终经过点 D,且 P、Q 都在双曲线上; 7保留坐标系、双曲线、定点 D 和过定点 D 的弦 PQ,隐藏其它的内容,这时选中点 P,在双曲线上拖动它,则点 Q 相应在双曲线上移动,且 PQ 始终经过点 D;. 理论根据: 双曲线上的点 P、Q 是由大圆上的点 M、N 得到的,线段 MN 在大圆上经过定点 D,则 相应的线段 PQ 在双曲线上也经过定点 MD。问题的关键是怎样由点 D 得到点 D,我们看到, 点 D 和点 D的纵坐标是一样的,另外在双曲线中过点 D 且垂直于 x 的弦的两个端点在圆上 的对应点恰好是 R、S,所以点 D.一定在 RS 上,这样就得
8、到了点 D. (三) 双曲线中平行弦的画法:图 1010 1用参数方程的画法画出一条双曲线,计算两圆半径的比 a, b,在双曲线上取一点 P; 2在图形外画一条斜率为 k 的线段,过点 P 作斜率为 k 的线段的平行线;3选中 a, b, k, 用“计算”算出的值;22kab4过原点 O 作斜率为的直线,与过点 P 斜率为 k 的直线相交于点 M;22kab5以点 M 为中心,将点 P 旋转 180,得到点 Q,则点 Q 在双曲线上; 6连接 PQ,则 PQ 就是斜率为 k 的双曲线中的平行弦; 7保留坐标系、双曲线、斜率 k 和 PQ,隐藏其它的内容;选中点 P 在双曲线上拖动点 P,则弦
9、PQ 始终与 AC 平行,且点 P、Q 在双曲线上; 8作 PQ 的中点,标记为“追踪点”,则点 P 运动时,就可以得到中点的轨迹。 理论根据:设 P(x1, y1), Q(x2, y2)都在双曲线上,且 PQ 的斜率为 k,若 PQ 的中点为12222 by axM(x0, y0), 有,两式相减得122 1 22 1byax122 2 22 2byax。22121 22121)()(byyyyaxxxxkP摎 浣 浣 敲 k a2 獁 第十章 双曲线的画法和性质56, 中点 M 在过原点且斜率为的直线上。00 xy222 212 21 )()(kab ayybxx22kab四双曲线切线的画
10、法:(一) 过双曲线上一个定点 P 的切线:1在直角坐标系中画一条双曲线,同时标出它的两个焦点 F1、F2; 2在双曲线上标出定点 P;图 1011 3以 F1为圆心,双曲线的实轴 2a 为半径作圆; 4连接 F1P 交圆于点 M; 5连接 F2M,作 F2M 的中垂线,这条中垂线过点 P,并且是双曲线的切线。 理论根据: 点 P 在双曲线上, |PF1|PF2|2a, 又|F1M|2a, |PF2|MP|, 点 P 在 F2M 的中垂线上,直线 MP 经过点 M 且与双曲线有且仅有一个交点,所以直线 MP 是双曲线过点 P 的切线。(二) 过双曲线外一点作双曲线的切线: 1在直角坐标系中画一
11、条双曲线,同时标出它的两个焦点 F1、F2; 2在双曲线外标出定点 T; 3以点 F1为圆心,双曲线的实轴 2a 为半 径作圆; 4以点 T 为圆心,|TF2|为半径作圆,交圆 F1于点 M、N; 5连接 MF2,作 MF2的中垂线 TCP,同样 连接 NF2,作 NF2的中垂线 TDQ; 6直线 TCP、TDQ 都是过点 T 的椭圆的切 线。 理论根据: 点 M、N 在以点 T 为圆心,|TF2|为半径作圆 上, |TF2|TM|TN|,MF2的中垂线一定经2TNCDPMP图 1012几何画板简明教程51过定点 T,且中垂线上一定有一点 P,满足|PF1|PF2|PF1|PM|2a, 点 P 在双曲线上, PT 是双曲线的切线且 PT 经过点 T;同理 QT 也是椭圆的切线且 QT 经过点 T。