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1、第 9 章 数学物理中的近似解法 我们在前面几章讨论数学物理问题时，求得的都是解析解，或说是精确解，这些解法一 般只对较简单的问题和较规则的区域才有效， 但实际问题往往很复杂， 这时要解出精确解就 很困难，有时甚至不可能，另一方面，在建立数学模型时，我们已作了很多近似，所以求出 的精确解也知识推导出的数学问题的精确解，并非真正实际问题的精确解。因此，我们有必 要研究近似解法， 只要使所求得的近似解与精确解之间的误差在规定的范围内， 则仍能满足 实际的需要，电子计算机技术的飞速发展，为求得近似解提供了极大的可能。近似解一般可 分为近似解析解和近似数值解。 近似解析解是指对解析解在规定误差范围内的
2、近似， 近似数 值解是指解在讨论的区域上“足够多”的点处的近似值。 9.1 解析近似解 9.1.1 正则摄动法求解非线性偏微分方程 由于大多数非线性方程无法求得其解析解， 这就使我们不得不借助于解析近似法来求其近似 解析解本节将介绍一种求非线性方程近似解析解的正则摄动法。 摄动法的解题思想是：如果非线性方程的非线性项是高阶小量，则作为初步近似，可将其略 去，从而非线性问题便化为了线性问题；求解该线性问题，并将所得的解作为非线性问题的 零级近似； 再把原非线性定解问题的解看作它的零级近似解与一个待求的含有小参量的解的 和，代入原定解问题，略去更高阶小量，得到关于摄动解的线性定解问题；求解该线性问
3、题 并将求得的解作为原定解问题的高一级的近似一级近似； 仿此步骤进行下去便可得到各级 近似解。 这种求近似解析解的方法被称为摄动法或小参数法， 而以上这种带有小参量的定解 问题被称为摄动问题。 我们用一个具体的例子来介绍正则摄支法解题的步骤。 例 1 试在单位圆内求解定解问题 =+=)0()()0 ,()0()()0 ,()0(0),(), 0()0,0),(),(22 2 22lxxxulxxxuttlututlxQtxtxfxuatut（19） 和前面的做法相同，在式（19）中，方程的两端同乘以tu后在长方形区域 0 ,0), 0(), 0(=tlxlQ上积分，得 =Qt Qxxtttfd
4、xdtudxdtuauu)(2把左端积分号内的函数写成散度形式，再用格林公式可得 =+Qt Qxtxtfdxdtudtuuadxuau)21 21(2222即 =+=Qxxtltxtlxxtltxtufdxdtdtuuadxuauuuadxuau22)(2)(00202220200222利用边界条件及初始条件得 =+= Qtlxltxtfdxdtudxadxuau2)()( 02220222（20） 由此可得 +QQtlxlxtdxdtfdxdtudxadxxuaxu2202220222)(),(),.(（21） 令 +=QxtdxdtuauG)()(222则由式（21）可得 )()()(FG
5、ddG+ （22） 式中 +=QlxdxdtfdxaF20222)(） 由 Gronwall 不等式并利用表达式（6）可得 )0()(2+QdxdtfEMtE （23） 这就是一维波动方程边值问题的能量不等式，其中TeeM=，T是任意正数，TQx),(。 从上面推导的过程中（见式（20） ）可知，若0f，则 )0()(EE= 这说明，若没有外力作用，则弦的能量是守恒的。 作为能量不等式式（23）的推论，我们可以证明初边值问题式（19）的解是唯一的，并 且在能量意义下连续依赖于初始值和方程中的自由项。 注 1 对于抛物型方程 ),(22 2txfxuatu+=（24） 来说，没有能量的概念，因此也就没有能量不等式。不过若忽略物理概念，也可以套用前面 讲述的方法来证明式（24）的初值问题及初边值问题解的唯一性。所不同的是，在弦振动方程中用tu乘方程两端后积分，对式（24）来说，是用u乘方程两端再进行积分。由于这个积分也具有与波动方程能量积分类似的形式， 因此有些书上也称之为能量方法。 这里不再赘 述，有兴趣的读者可自己去做相应的推导。 注 2 利用能量方法也能证明定解问题解的存在性，但需要用到一些较深的理论理论， 例如泛函分析等，这里不再细述了。
