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1、 - 1 -教教师师教案表教案表课 题几何证明授 课 时 间2011 年 月 日 星期 _时_分-_时_分教 师学生签名年级初三学科数学作业完成情况教学内容命题与证明教学目标了解命题与定理之间的关系，熟悉几何证明的基本方法与步骤 能够运用演绎证明的思想证明常见几何问题教学重点掌握演绎证明的证明思路 教学难点能够运用数学证明思路证明有关几何问题新课内容 几何证明的有关概念几何证明的有关概念 定义：能界定某个对象含义的句子叫作定义； 命题：对某一件事情做出判断，像这样判断一件事情的句子叫作命题；数学命题通常由假设、结论 两部分组成，可以写成“如果那么”的形式， “如果”开始的部分是题设， “那么”
2、开始的 部分是结论. 真命题：其判断为正确的命题叫作真命题； 假命题：其判断为错误的命题叫作假命题.21 世纪教育网 公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依 据. 定理：有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命 题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 证明一个命题为真命题一般需要经过以下三个步骤：a、作图并标出必要字母或符号。b、由命题的题设和结论，写出“已知”和“求证” 。c、通过分析，写出推理过程。 证明一个命题是假命题，只要举出一个反例. 一般来说，证明是指人们为获得使人信服的结论所采用的手段，有“实践
3、证明” 、 “历史证明” 、 “举例证明”等多种形式；而对数学结论的正确性进行证明，还有更为严格的形式 推理论证称为演绎推理，演绎推理的过程就是演绎证明也就是说演绎证明是指：从已知的概 念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程 演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法演绎证明是一种严格的数学证明，是我 们现在要学习的证明方式在本书中演绎证明以后简称为证明 证明方法证明方法 直接证法：综合法、分析法 间接证法反证法：反设归谬结论 证线段相等、角相等常通过证三角形全等 证线段倍分关系：加倍法、折半法 证线段和差关系：延结法、截余法 证面积关系：将面积表示出来
4、- 7 -【典型例题解析】 例 1把下列命题改写成“如果那么”的形式，并指出这个命题的题设和结论. （1）对顶角相等； （2）同位角相等，两直线平行； （3）同角的余角相等. 例 2已知：如图，ABCD，B+D=180. 求证：CBDE. 分析：要证明 CBDE，只要证明C+D=180, 由已知B+D=180，因此只要证明B=C， 而这由已知条件 ABCD 是可以得到的.例 3. 已知：如图，点 D、E、F 分别是 AC、AB、BC 上的一点，DFAB， DFE=A. 求证：EFAC. 分析：要证明 EFAC，只要证明BEF=A （或AEF+A=180）,又已知DEF=A， 因此只要证明BEF
5、=DFE，而这由已知条件 DFAB 可以得到.例 4. 已知：如图，AC 与 BD 相交于点 O， OA=OD，OBC=OCB. 求证：AB=DC. 分析：将 AB 和 DC 分别看成是AOB 和 DOC 的边，那么要证明 AB=DC，只要 证明AOB 和DOC 全等.例 5 已知：如图，AB=AC，DB=DC.求证：B=C. 分析： 要证明两个角相等，可利用全等三角形的性质. 观察图形，如果联结 AD，那么B 和C 就分别为 ABD 和ACD 的内角，这时要证明B=C，只要 证明ABDACD.变式练习： 1）图形变换成如图，能否证明？ 2）把条件 AB=AC 与B=C 对调能否证明？E AB
6、CDACDFEBCDOBADBACCABD- 7 -例 6 已知：如图，AD、BC 相交于点 O，OA=OD，OB=OC， 点 E、F 在 AD 上，且 AE=DF，ABEDCF. 求证：BECF. 分析： 要证明 BECF，只要证明12；已知ABEDCF， 又由三角形的外角性质可知1AABE，2DDCF， 因此只要证明AD.例 7已知：如图，ADBC,E 是线段 BC 的中点，AE=DE. 求证：AB=DC. 分析：要证明AB=DC，只需要证明ABEDCE；由AE=DC，可知34，又因为ADBC，所以 得到12；只要再找出一条边或一个角的情况即可；结合 E 是线段 BC 的中点，可知 EB=
7、EC，可以证明ABEDCE.同步练习 1已知：如图，AD、BC 相交于点 O，OA=OD，OB=OC， 点 E、F 在 AD 上，且 AE=DF，ABEDCF. 求证：BECF.2已知：如图，AD、BC 相交于点 O，OA=OD， OB=OC，点 E、F 在 AD 上，且 AE=DF， ABEDCF. 求证：BECF.21OFEDCBA4321EDCBAOFEDCBAOFEDCBA- 7 -例 8. 已知:如图，DBAB,DCAC,且1=2.求证:ADBC.例 9. 已知: 如图，在ABD 中,ACBD,垂足为 点 C,AC=BC.点 E 在 AC 上,且 CE=CD.联结 BE 并延长交 A
8、D 于点 F.求证: BFAD.例 10已知:如图,在ABC 与ABC中, AB= AB,BC= BC,CA=CA. 求证: ABCABC.例 11. 已知：如图,四边形 ABCD 中,AB=DC, B=C. 求证: A=D.- 7 -随堂练习： 1、已知：如图，AC 与 BD 相交于点 O， 且 AC=BD，AD=BC. 求证：OA=OB. 2、已知：如图，点 D、E 在 BC 上，AB=AC，AD=AE. 求证：BD=CE. 例 12已知:如图,D 是 BC 上的一点,BD=CD, 1=2. 求证: AB=AC.例 13. 已知：如图，在 RtABC 中, BAC=90.D 是 BC 上的
9、一点,AD=AB. 求证: BAD=2C.OBCDABDE CA- 7 -例 14求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等. 已知：如图，在ABC 与ABC中，AD、AD分别是 BC、BC上的中线，AB=AB，BC=BC， AD=AD. 求证：ABCABC. 证明:AD、AD分别是 BC、BC上的中线（已知） ，BD=21BC，BD=21BC（三角形中线的定义）.又BC=BC(已知), BD=BD(等式性质). 在ABD 与ABD中, AB=AB(已知) BD=BD(已证), AD=AD(已知), ABDABD (S.S.S). 得B=B(全等三角形的对应角相等). 在ABC 与
10、ABC中 AB=AB(已知) B=B(已证), BC=BC(已知) ABCABC (S.A.S).课后练习： 1已知：如图，ADBC，点 E 是 DC 的中点， AE 平分BAD.求证：BE 平分ABC.2已知：如图，在ABC 中，CD 是ABC 的角平分线，BC=AC+AD.求证：A=2B.ABCDADBCE- 7 -3求证: 三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等. 已知: 如图,AD 是ABC 的中线,CEAD,垂足为 E, BFAD, 垂足为 F. 求证:CE=BF.4如图，ADCD，AB=10，BC=20，A=C=30。 求：（1） 、A BC 的度数 （2） 、AD、CD 的长.学习情况课后作业
