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1、第 1 章 函数内容提要主要内容变量、集合、区间及邻域的概念，集合的运算，映射与函数的概念，函数的表示法，函数的有界性、 单调性、周期性和奇偶性，反函数、复合函数、基本初等函数、分段函数的性质及其图形，初等函数 的概念。1变量、集合、区间在整个考察过程中始终保持不变的量，称为常量；在考察过程中能取不同数值的量称为变量。一组对象的汇集或总体，称为集合或集，常用大写英文字母 、 、 等表示；集合中的每一个 对象称为集合的元素，常用小写字母 、 、 等表示。若 是集合 中的元素，称 属于 ，记为 ，否则 称 不属于 ，记为 。集合的表示法常用的有列举法和表示法。列举法是将所有元素一一列于一个大括号内
2、，描述 法一般写成 ，其中 是元素的一般形式， 表示集合中的每个 都具有的性质。空集记为 。常用集合有实数集 ，有理数集 ，非整数集 ，自然数集 ，正实数集 。实数和 数轴上的点一一对应，实数集 亦称为数直线 。区间是一种特殊的集合。闭区间 ，开区间 ，左开右闭区间 ，左闭右开区间 ，无穷区间 ， 半无穷区间 ， ， ， 。表示包含点 的任一开区间，称为点 的邻域；表示点 的去心邻域；，称为点 的 邻域；，称为点 的去心 邻域。2集合运算子集：对于两个给定的集合 和 ，若 的任何一个元素 ，都有 ，则称集合 是集合 的子集，记作 或 。相等：对于两个集合 和 ，如果 与 同时成立，就称两个集合
3、 与 相等，记作 。交集：对于两个给定的集合 和 ，由同时属于这两个集合的元素组成的集合，叫作集合 和 的交集， 记作 或 ，即 ，且 。性质： ， ， 并集：对于两个给定的集合 和 ，由这两个集合的所有元素组成的集合，叫作集合 和 的并集，记作 或 ，即 或 。性质： ， ， 差集：对于两个给定的集合 和 ，由属于 但不属于 的元素组成的集合，称为 与 的差集，记作 ， 即 ，且 。3映射、函数映射：设 和 是两个非空集合，如果按照某种规则 ，使对于集合 中的任一元素 ，可在 中确定唯一 的元素 与它对应，就称 是从 到 映射或映照，记为 ： 。元素 称为元素 在映射 下的像，记为 。 对于
4、元素 ，称 为元素 在映射 下的原像。函数：设 是一个实数的集合，若根据某个确定的规则 ，使对于 中的每一个 ，都有唯一确定的实数 与之对应，就说在 上给定了一个单值函数，记作 ， 。规则 是函数的记号；称 为自变量，集合 为 函数 的定义域；称 为因变量，集合 为函数 的值域，也可记为 。函数的两要素：定义域和对应规则。只有当两个函数的定义域和对应规则都完全相同时，这两个函数 才是相同的函数。4函数的表示、分段函数、绝对值与三角不等式函数的表示法：图形表示法、列表表示法和解析表示法。分段函数：在自变量的不同范围内用不同运算式表示的函数称为分段函数。绝对值：实数 的绝对值 是一个非负实数，其定
5、义为基本不等式：（） （） （） （三角不等式）（） 5函数的性质（1）有界性设函数 在集合 上有定义，若存在正数 ，使对集合 内任意一值 ，对应的函数值 都有 ，则称函数 在 上有界；若这样的 不存在，即对任一正数 ，集合 内总存在点 ，使 成立，则称函数 在 上无界。（2）单调性如果对于区间 内任意两点 ，总成立着 （或 ，则称函数 在区间 内（严格）单调增加（或单调减少） 。如果对于区间 内任意两点 ，总成立着 （或 ，则称函数 在区间 内非严格单调增加（或非严格单调 减少） 。（3）奇偶性设函数 在区间 内有定义，若对 内任意一 ，都有 成立，则称函数 是 内的偶函数；若对 内任意一
6、，都有 成立，则称函数 是 内的奇函数。（4）周期性若存在非零实数 ，使对定义域 内的一切 ，等式 总成立，则称 为 上的周期函数，并称 为 的周期。 通常所说的周期为其最小正周期，当不是所有的周期函数都有最小正周期。6初等函数（1）反函数：对于以 为定义域， 为值域的函数 ，若对集合 中的任意一个 ，在集合 中可唯一确 定一个满足 的数 与之对应，则这一对应关系确定了一个以 为自变量， 为因变量的函数 。这个函 数 就称为 的反函数。（2）复合函数：设 是 的函数 ，其定义域为 ；而 是 的函数 ，其定义域为 ，值域为 ，且 ，则 对于 中的每一个 值，经过中间值 ，唯一地对应一个确定的 值
7、。于是因变量 经过中间变量 而成为 自变量 的函数，记为 （ ） ，称为函数 和 的复合函数。（3）基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。（4）初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次四则运算及有限次复合所得到的函数称为初等函 数。复习指导： 第 1 章 函数复习指导一元函数的概念，函数的单调性、奇偶性、周期性以及初等函数的性质及其图形在中学数学中早已熟 悉了，这里不再赘述。下列仅对值得提醒的内容作一复述。1函数的有界性设 的定义域为 ，数集 ，（1）如果存在数 ，对于所有 ，恒有 （ ） ，则称函数 在 上有上界（下界） 。数 称为函数 在 上的 一个上界（下界）
8、。（2）如果存在一个数 ，对于任何 ，使得 成立，则称函数 在 上有界，数 为函数 在 上的一个界。 否则称函数 在 上无界。（3）界不唯一。如果 为函数 在 上的一个界，则任何比 大的正数也是它在 上的界，所以一个有界 函数必有无穷多个界。（4）函数 在 上有界的充分必要条件为 在 上既有上界又有下界。2反函数设函数 的定义域是 ，值域是 。如果对于每一个 ，存在惟一的 满足函数 ，把函数 看作自 变量，把 看作因变量，则 是一个定义在 上的函数，记此函数为（ ）并称之为 （ ）的反函数。习惯上常以 表示自变量， 表示因变量，故常将函数 （ ）的反函数表示成（ ）它与 （ ）表示同一个函数，
9、因为二者具有相同的定义域和相同的对应规则。因而，在同一个直角坐 标系中，函数 （ ）的图形与其反函数 （ ）的图形关于直线 对称。函数 在 上不具有反函数。如果考虑函数 （ ）或函数 。这时常使用术语：称函数 （或 ） 为“函数 在 （或 ）上的限制”或“函数 限制在 （或 ）上” ，且记作 （或 ） ，其本质上一个新的函数。于是，就本例 在 上的限制 就具有反函数 ， 。同样，反正切函数 是正切函数 在 上的限制 的反函数，所以 ， 。3复合函数设函数 的定义域是 ，值域是 ；函数 的定义域是 ，值域是 。如果 ，则称函数， 是由函数 和函数 复合而成的复合函数，变量 称为中间变量。4初等函数常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数这六类函数是研究其它各 种函数的基础，统称为基本初等函数。基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数 称为初等函数。初等函数有很多好的性质，它们是微积分的重要研究对象。5分段函数在自变量的不同变化范围中，自变量与因变量的对应规则用不同的表达式来表示的函数称为 分段函数。一般来说，分段函数不是初等函数，但并不是说分段函数就一定不是初等函数。如函数 与 是同一个函数但前者是分段函数，后者是初等函数。分段函数在微积分中有非常特殊的地位，尤其是在基本概念的说明方面，需重视。
