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1、初一数学竞赛讲座初一数学竞赛讲座(2)特殊的正整数特殊的正整数一、一、知识要点知识要点1、 完全平方数及其性质完全平方数及其性质定义定义 1 如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。如：1、4、9、等都是完全平方数，完全平方数有下列性质：性质 1 任何完全平方数的个位数只能是 0，1，4，5，6，9 中的一个。性质 2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。性质 3 偶完全平方数是 4 的倍数。性质 4 完全平方数有奇数个不同的正约数。性质 5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。2、 质数与合数质数与合数定义定义 2 一个大于 1 的整
2、数 a,如果只有 1 和 a 这两个约数，那么 a 叫做质数（或素数） 。定义定义 3 一个大于 1 的整数 a,如果只有 1 和 a 这两个约数外，还有其他正约数，那么 a 叫做合数。1 既不是质数也不是合数。3、 质数与合数的有关性质质数与合数的有关性质(1) 质数有无数多个(2) 2 是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。大于 2 的质数必为奇数。(3) 若质数 pab，则必有 pa 或 pb。(4) 若正整数 a、b 的积是质数 p，则必有 a=p 或 b=p.(5) 唯一分解定理：任何整数 n(n1)可以唯一地分解为：ka kaapppnL21 21,其中 p111)，
3、一定可以表示成两个合数之和。评注：本题是通过对整数的合理分类来帮助解题，这是解决整数问题的一评注：本题是通过对整数的合理分类来帮助解题，这是解决整数问题的一种常用方法。但要注意对整数的分类要不重复不遗漏。种常用方法。但要注意对整数的分类要不重复不遗漏。例 10 证明：n (n+1)+1(n 是自然数)不能是某个整数的平方。分析：注意到 n (n+1)+1=n2+n+1，n 是自然数，n2n2，且792 22 1 nn，则 n1= ，n2= 13、证明：不存在这样的三位数abc，使cabbcaabc成为完全平方数。14、试求四位数xxyy，使它是一个完全平方数。15、a、b、c、d 都是质数，且 10a1，由123aaa减去321aaa得一个三位数123bbb，证明：123bbb+321bbb=108919、对于自然数 n，如果能找到自然数 a 和 b，使得 n=a+b+ab,那么 n 就称为 “好数” 。如 3=1+1+11，所以 3 是“好数” 。在 1 到 100 这 100 个自然 数中，有多少个“好数”？20、AOMEN 和 MACAO 分别是澳门的汉语拼音和英文名字。如果它们分别 代表两个 5 位数，其中不同的字母代表从 1 到 9 中不同的数字，相同字 母代表相同的数字，而且它们的和仍是一个 5 位数，求这个和可能的最 大值是多少？
