数学第四章　三角函数、解三角形

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1、第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数备考领航重点准逐点清结论要牢记课程标准解读关联考点核心素养1 . 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2 . 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义I. 象限角及终边相同的角.2 . 扇形的弧长及面积公式的应用.3 . 三角函数的定义及应用1. 数学抽象.2. 直观想象.3. 数学运算知识课前自修重点准逐点清重点一角的概念的推广1 . 定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.f按旋转方向不同分为正角、鱼鱼、零角;2 分卷1按终边位置不同分为象限角和轴线角.3 . 终边相同

2、的角：所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合5=川 / ?=a+Jt-360, k&Z . 提醒终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同. 逐点清1 . （兴修4 第 5 天练习3（ 2）题改编）一870的角的终边所在的象限是（）A . 第一象限 B . 第二象限C . 第三象限 D . 第四象限解析：选 C - 870=-2 X 3 6 0 0 -150, 870和一 150的终边相同，所以一870的终边在第三象限.2 . （兴传 4 第 5 页练习 5（ 2）题改编）在 0 到 27r范围内，与角 a = 一午终边相同的角是.解析：与角a

3、 = 一与终边相同的角是2hr+（一期伏 GZ） ,令k = l , 可得与角= 一专终边相同的角是苧.答案后重点二弧度制的定义和公式1 .定义：把长度等于半校长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.2 .公式角的弧度数公式|a|=(Z表示弧长)角度与弧度的换算松山 rad7 t ）。弧长公式Z=Jajr扇形面积公式S=|zr=|a|r2 提醒有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是兀=180,在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. 逐点清3 .( 易错题) 下列与空的终边相同的

4、角的表达式中正确的是( )9A. 2*7t+45(*eZ) B. *-3600+7r(*eZ)C . h360315优GZ) D. jtn+y(JtSZ)解析：选C 由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为+2A7T或距360-315(GZ).4 .( 兴修4第8页例3改编) 一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为( )7 T六 7 TA- 6B- 3C . 1 D. T解析：选B因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为6 0 ,即为g rad.重点三任意角的三角函数1 . 定义：设。是一个任意角，它的终边与单位

5、圆交于点P（ x , ）） , 那么sin a= _ , cosVa = x , tan a=:(xW 0).2 . 推广：设点尸（ x, y）是角终边上任意一点且不与原点重合，r = O P 9则 sina= ） ,X ycos a=- tan a = # x # 0 ） . 逐点清5 .（兴修4第 12页例2 改编）已知角a的终边过点尸（一4,3） , 则 2sin a+tan a的值是（）9 9A. 20 202 2C. - g D. g3 4解析：选 B 角 a 的终边经过点 P（ 4,3） , .r = |0 尸 |=5.sin a= g, cos a =j , tan

6、3打不/ .2sin a+tan a = 2 X 1 + （ . 故选 B.6 . （兴修4 第 13页例3 改编）若角0同时满足sin 0 0且 tan 60,则角0的终边一定位于（）A . 第一象限 B . 第二象限C . 第三象限 D . 第四象限解析：选 D 由 sinOVO,可知。的终边可能住于第三象限或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合. 由tan a V 0 ,可知，的终边可能位于第二象限或第四象限，故，的终边只能位于第四象限. 记结论提速度记结论1. 一个口诀：三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.第三象限角卜性7T+7TVaV2的第象限角

7、卜性7TV a V 2 A 号象限角的集合无 - 象限角) 同2471 +野 V a V2A7T + 7T , A W Z第四象限角同 2痴 + 等 VaV2*7T+27T,*z3 . 轴线角集,终边落在“ 轴上的角 a |a u e z T 终边落在y轴上的角 k|a=+A7T,MZ)( 终边落在坐标轴上的角叩 = 如 , * 口提速度】1 .已知角a为第二象限角，点尸(tan a, sin0在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限 D .第四象限解析：选B 因为角a为第二象限角，所以tana 0 ,则点P(tana, sin a)在第二象限

8、 . 故选B.2 .终边在直线y = x上的角a的取值集合是( )A. a|=n-360+135, 6Z B.l=n-360o-45, ziGZC. a|=n-180+45, e z D.a|a=n-180o-45, nGZ解析：选C 终边在X轴上的取值集合为/?W=T80, ez ,把X轴绕原点按逆时针旋转45得到a ,则a的取值集合为aa = T80+45, GZ.考点理解透规律明变化究其本课堂讲练_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 象限角及终边相同的角基础自学过关题组练透1 .设集

9、合卜 = 与180。 +45。，G z , N =x x=180+45, * ez ,那么( )A. M =N B. MUNC. NUM D. M DN=。解析：选 B 由于 M 中，x=-180+45=*-90+45=(2Jt +1 )-45, 2A+1 是奇数；而N 中，* = /1 8 0。 +45。 = 七45。 +45。 =(+1) 45。，A+1 是整数，因此必有 MUN.2 . （多选）已知角2 a 的终边在x 轴的上方，那么角a 可能是（）A . 第一象限角 B . 第二象限角C . 第三象限角 D . 第四象限角解析：选 AC 因为角2 a 的终边在x 轴

10、的上方，所以h3602ah360+180, &GZ,则有 M18（ ravAT800+90。，k e Z.故当=2% GZ 时，n-360a/r360o+90, n & Z, a 为第一象限角；当 A=2 + l, GZ 时，n-360+ 1 80an-360+270, GZ, a 为第三象限角. 故选A、C.3 . 在一720。 0。范围内所有与45。终边相同的角为 .解析：所有与45。终边相同的角可表示为：#=45+*X360（ *GZ） ,则令一 720 W45+A X 3600（ * G Z） ,得一765WAX3600 B. cos 2a0 D. sin 2a0

11、解析法一：因为a 为第四象限角，所以2 ， V aV 2E , k Z,所以7rV2a4kn, A G Z ,所以 2 a 的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以 sin 2a 0 ,所以sin 2a=2sin acos aVO.故选D. 答案 D 解题技法三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号. 如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解. 跟踪训练1 . 下列各选项中正确的是 ( )A. sin 3000 B. cos(305) 0 D. sin 10

12、0解析：选 D 300=360- 6 0 ,则 300是第四象限角，故 sin300 0; 一弩 =一 8兀+ 竽，则一等是第二象限角，故 tan（ - - jJ 0; 3 n 1 0 y ,则 10是第三象限角，故 sin 10 0,故选D.2 . 已知角，的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，且 cos = 若点M（ x,8）是角，终边上一点，则 x 等于（）A. -1 2 B. -1 0C. 一8 D. - 6解析：选 D 由任意角的三角函数的定义可得，nx x 3CS= Z= - 5 -解得x = - 6.3 . 设，是第三象限角，且 cos 3 = cos I ，贝碌是（）A

13、 . 第一象限角 B . 第二象限角C . 第三象限角 D . 第四象限角解析：选 B由。是第三象限角知，目为第二或第四象限角,: cos2 = cos 3，； cos 3V 0,n综上可知，彳为第二象限角. 课时过关检测 3A 级- - - 基础达标1 . 下列命题错误的是（）A. 一个是第二象限角 B . 专是第三象限角C. 一400。是第四象限角 D. - 315。是第一象限角解析:选A 一字是第三象限角，故 A 错误萼=兀+ * 从而普是第三象限角， B 正确. 一400=3604 0 ,从而 C 正确. 一3150=360+ 45,从而 D 正确.2 . 已知圆上的一段弧长等

14、于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为（）A 巫B亚A4 2C.V2 D. 22解析：选 C 设圆的半径为r , 则该圆内接正方形的边长为也r , 即这段圆弧长为g r ,则该圆弧所对的圆心角的弧度数为华=也. 故选C.3 .已知点小加% , cos %）落在角，的终边上，且， W0,2T T） , 则，的值为（）.n 3nA. 4B 7解析：选 D点点尸落在角，的终边上，且咐 0,2兀），所以， = 季4 . 若角a 与的终边关于x 轴对称，则有（）A. +/?=90B. +/?=90+A-3600, ASZC. a+=2hl800, &CZD. a+/=180

15、+h360, keZ解析：选 C 因为a 与/ ? 的终边关于x 轴对称，所以夕=2h180a, k Z ,所以a+/?=2*480, AGZ.5 . （多选）（ 2021济宁模拟）关于角度，下列说法正确的是（）A . 时钟经过两个小时，时针转过的角度是60B . 钝角大于锐角C . 三角形的内角必是第一或第二象限角D . 若 a 是第三象限角，贝吟是第二或第四象限角解析：选 BD 对于A , 时钟经过两个小时，时针转过的角是一6 0 ,故错误；对于B , 钝角一定大于锐角，显然正确；对于C , 若三角形的内角为9 0 ,则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误；对于D, . 角a 的终边在

16、第三象限，.2kn+n a 2kn+?, k&Z,J.kn+ kn+ 9 kGZ.当A=2 ， Z 时，2M+ ? V 4 V 2兀+ 萼， Z , 得号是第二象限角；当 k = 2 n + l, n Z 时，（ 2 + l ）兀 +*（ 2 + 1加 + 萼， C Z ,得号是第四象限角,故正确.6 .（多选）（ 2021 泰安模拟）已知在卜人 :Y Z ，则函数尸篇 j+ 第的值可能为（）A. 3B. - 3C. 1D. - 1解析：选 BC xGIx x # 萼，AGZ ,当、 - 方学 _ 刍晔叶. sin x 卜 COSXtan* , , . i i.

18、0 = _ .解析：因为= 1560。 =4乂360。 +120。 ,所以与a 终边相同的角为360X+120, kZ ,令 4= - 1 或 A = 0 ,可得 0= 一24（）或（9=120.答案：120。或一 240。8 .已知扇形的圆心角为也面积为枭则扇形的弧长等于o 3 -解析：设扇形半径为r , 弧长为I , 则, = 点，2l r =V 解得“= 去 =2.答案常9 . 已知扇形的圆心角为0 , 其弧长是半径的2 倍，则篇 j+号鬻 +盟1解析：由题意，得， = 2. 而1 0, cos 0 0 ,所以a 是第四象限角.(2)因为O M = 1 ,所以g 1

19、+ , / = i , 解得盟= *又a 为第四象限角，故机0,所以, = 亳，故 8(一之，| ) ,根据三角函数的定义得tan a4-534 -(2)若A A O B 为等边三角形，贝 4NAOB = , 故与角 a 终边相同的角p的集合为/ 4 = 1 + 2 E ，*GZB 级综合应用1 3 .（多选）（ 2021 潍坊质楂）在平面直角坐标系xOy中，角 a 以 Ox为始边，终边经过点P（ 1, /n）（ /i0） , 则下列各式的值一定为负的是（）A. sin a+cos a B. sin a-cos a sin aC. sm acos a D . ：tan am 1

20、解析: 选CD 由已知得r= OP=yltn2+ l , 则 sin a而餐 o m a一五钎。 ,tan = 一 zvO, / .sin a+cos a 的符号不确定， sin a-co s a0, sin acos a0, 7 = cos a0 时，r=5a9 sin +cos g = - g 3 4 1当 “VO 时，r = 5a, sin +cos = 当 a 0 时，sin夕 K，cos 0= 一W0),则 cos(sin 0)*sin(cos )=cos?s i n(-5 ) 0 ;当a 0 .综上，当a 0 时，cos（ sin，） -sin（ cos，）的符号为负

21、；当a +s in ，一 c o s s in 0 2,答案：2重点二诱导公式一二三四五六2kn+a(k Z )n + aJr -a7 T2 a5 + as in a-s in as in as in ac o s ac o s ac o s a一c o s ac o s a-c o s as in a-s in at a n at a n a-t a n a一t a n a 提醒诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限. 奇” ” 偶指的是 & 彳+浜4GZ)” 中的k是奇数还是偶数. “ 变”与 “ 不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若 R为偶数，则函

22、数名称不变. “ 符号看象限”指的是在优WZ)”中，将 a 看成锐角时， “ AT+a(AGZ)” 的终边所在的象限. 逐点清3 . ( 此修4 第 24页例 1 改编) sin 2 490 =cos(号)=解析：sin 2 490 = sin(7X360 30) = sin 30 = g.cos( 一警 = 。晋 =cos|16江+ 加+ I %n 1-co s 3=-2-答案：In4 . （易错题）已知cos|y+aj=2sinHZ,贝！j tan a解析：因为cos|+aj=2sin(a,所以一sin i= -2 c o s ”，则 tan“=2.n答案：2 记结论, 提

23、速度记结论同角三角函数基本关系式的常用变形(l)(sin acos( z)2=l2sin acos a；(sin a+cos a)2+(sin G-cos a)2= 2；(sin a+cos a)2-(sin a-cos a)2=4sin acos a.(2)sin a=tan acos ”(a#/+A 7t, AZ)；. , _sin?”_tan2as ， n a sin2a+ cos2a tan2a +12 _ cos2a_COS a sin2a+cos2 a tan2a + r 提速度1 . 已知 tan a = - 3 , 则 coCz 加 2口= ( )4-5A.B.工 , cos

24、2a - sin2rz 1 - tan2a 1 -9解析：选 B由同角三角函数关系得852。一城1 1 ” = 赤扁忑 =讦而忑 =申45,2 . 若是ABC的一个内角，且 sin cos= 一： ,则 sin 一cos 的值为( )OA . 乎 B . 坐C . 当 D. 坐解析：选 D , 。是ABC的一个内角，且 sin cosO=一： ,OAsin 00, cos VO,Asin cos O =l(sm 6 cos )2= 1 2sin Ocos 0=； = 坐,故选D.考点份一破理解透规律明变化究其本课堂讲练I 考点 _ _ _ _ _ _ _ _ _

25、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , 同角三角函数基本关系式的应用定向精析突破考向 1 “ 知一求二”问题例 1 已知是第二象限角，且 tan“= 一则 sin 】 + cos。的值为. 解析由 tanQ=一得 sin = ge os % 将其代入 sin2 +cos2Q=l,93V15 JIo所以82= 诬，由 a 为第二象限角，易知COSQVO ,所以cos = ，sin a= ；瓦,., 迎故 sin 十cos ”= - 5 答案 - 邛考向 2 sin a, cos a 的齐次式问题例 2 已知二鬻 7 = 1，求下列各式的值：ion u . 1 .sin 一

26、3cns a )sin a+cos a (2)sin2a+sin acos a+2. 解由已知得tana=g.sin 3cos a tan a 3 5sin a+cos a tan a+1 3*(2)sin2a+sin acos a + 2 =sin2a+sin acos atan2( z+tan asin2a+cos2atan2a + l2=135,考向3 sin acos af sin acos a” 之间的关系的应用例 3 已知 x (一兀，0), sin x+ cosx=. 求 sin x-cos x 的值;,、 sin 2x+2sin2x求L ta n x的值. 解由 sin

27、 x+ cos工= 彳平方得 sin2x+2sin xcos x+cos2x = ,24整理得2sin xcos x = 一宠.49: .(sin x-cos x)2= 1 - 2sin xcos x = 运.由 x (一九，0 ) , 知 sinxvO,又 sin x+cos x0,A cos x 0 ,贝 4 sin x-co s x0,7故 sin x-cos x= sin 2x+2sin2x 2sin x(co x+sin x) 1 - tan x Sin xcos x2sin xcos x(cos x+sin x)cos x-sin x7 175,5 规律探求看个性考向 1 是公

28、式的直接应用，即已知sin a, cos a9 tan Q中的一个求另外两个的值. 解决此类问题时，直接套用公式si/a + c o sZ a -l及 ta n a -；段: 即可，但要注意a 的范围，即三角函数值的符号.考向2 的分式中分子与分母是关于sin a, cos 的齐次式，往往转化为关于tana 的式子求解.考向3 是考查sin acos a 与 sin acos Q的关系.对于 sin a+cos a, sin a-cos a9 sin acos a 这三个式子，l2sin acos a9 可以知一求二利用(sin acos a)2=找共性(1)利用siMa+cos2a= 1

29、可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角a 所在象限确定符号；利用黑 : 一tan a可以实现角a 的弦切互化；利用(sin a士 cos l2sin acos a 的关系可实现和积转化；(2)注意方程思想与转化思想的应用跟踪训练1 .已知 sin(7r+G)= 一贝 ! J 值为( )A. 22 B. 2啦C .乎 D. 272解析: 选 D 因为 sin(n+a)= -所以 sin a= J, cos a = 士尊 tan停一 )= ： ? =2啦.故选D.2 .已知 sin a cos G = g ,且g v a V ,则 cos asin a 的值为( )A , 5 B . 巧C

30、 Dv , 4u , 2解析：选 D 因为 sin “cos ”=W，所以(cos a-sin a)2=cos2a_2sin a cos a+sin2a = l2sin a cos cos Q#0=tan = 一； ,. _1_ cos2a+sin2 _l + taiP” 1 + ( 3)，*cos2a+2sin acos a cos2a+2sin acos a l+2tan a . 2 3 *答案：学I WJ 诱导公式的应用师生共研过关例 4 设 / = 2 s g + a ) %网%a) + 2 如用)，则 /( 喇1 + sin2a+ cosr+aj- sin2(y+ a(2)已知c

31、os修- 0)= a , 则 cos + + sin 一。 ) 的值是解析 (1)因为八。 ) =(2sin ) ( 一 cos a)+cos a 2sin acos a+cos al+sin2a+sin a -co s2a 2sin2a+sin acos a(l+2sin a) 1 /_ 2 3 九、 _ _ _ _ _ _1_ 1_ 1_ r-si(1 + 2 s i n ) = 人 . E尸 .(_ 等 )皿 (_知 +|)=靛 =.(2)因为所以 cos管 +。 )+sin管一)= 0 . 答案 dh/3 (2)0 解题技法1 . 学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程也就是： “

32、负化正，大化小，化到锐角就好了. 2 . 常见的互余和互补的角互余的角? - a 与3 + a ； ? + a 与a； ? + a 与日一a 等J o J o 4 4互补的角与竽- ，；今 + 0 与平一0 等诱导公式就是好，负化正后大化小;五的一半整数倍，奇数变化偶不变;函数符号问象限，两个函数看左边. 跟踪训练1 . （多选）（ 2021青岛模拟）已知x G R ,则下列等式恒成立的是（)A. sin(-x)=sin xC. cos-sin xD. cos(xn)= cos x解析：选 CD sin（ x） = sin x , 故 A 不成立;c o s x ,故 B 不成立;si

33、n x , 故 C 成立;C O S( X-7T)= - C O S X, 故 D 成立.2 . Sin(-1 200)cos 1 290=解析：原式= - s in l 200cosl 290= -sin(3 X 360+120)cos(3 X 360+210)= -sin 1200cos 210= -sin(1800-60)cos(1800+30)=sin 60cos 30亚丫亚32 X 2 = 4 -答案：|解析：由题意知,3 . 已知sin2+答案：I号. 也口诱导公式与同角关系的综合应用师生共研过关例 5 (2021湖北宜昌一中质检)已知a 是第三象限角，且 c o s a

34、= - (1)求 tan a 的值；化简并求 / 、的值. 解 (l)：a 是第三象限角，COSQ= :.sin a = -y ll-c o s1a=： tan a =s*n a= 3.v 10 cos a x v cos a cos a 1 4，、 .工工原式= v =； =77 79 由( )知 tan (z = 3 , . . 原式=- 2sin a+cos a 2sin a-cos a 2tan a - I1 _12 X 3 -1=5- 解题技法求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本思路分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式化简要求

35、化简过程是恒等变换；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值跟踪训练1 .已知 a 为锐角，且 2tan（ na）3cos（ + / + 5 = 0 , tan（ 7r+ a） + 6sin（ 7 r +/7） 1 = 0,贝！j sin a=.解析：由已知可得一2tan a+3sin4+ 5= 0.tan a6sin4 一1 = 0 ,解得 tan a=3,又G为锐角，故 sin a = 4 俱.发案 . 岖口采 .1 0, 2 （ Tt ,cos（ a） +3sin（ 7r+a）2 . 已知 tan（ 7r-a） = _ w ，且 6 （一九，一不）

36、，则2、上- - -z= .3 27 cos（ 7ta） +9sm a -解析：由 tan（ 7r-a） = 一得 tan z=,贝q cos（ a） +3sin（ 7r+a） cos a3sin acos（ na） +9sin a -co s a+9sin a1 - 3tana 1 - 2-l+9tan a _ 1 + 65,答案：一看3 已知 sin a+cos a= 1 1 , K ? a n ,贝1- r5 2 sm（ 7r-a） cos（ 7r-a）的值为.1 、 12解析：由 sin Q+COS Q= g平方得 sin “cos a =一运,.n. Tacos 8 , 贝

37、 4 2cos + 4 1 2sin(7t )cos =2cos + d (sin 6cos )2=2COS O+sin cos O=sin +cos 09 故选 A.5 . ( 多选) 在ABC中，下列结论正确的是()A. sin(A + B)=sin CB.B +C Asm - 2-=cosyC.tan(A +B)=_ tanc( 冶 )AcD. cos(A + )=cos C解析：选 ABC 在ABC 中，有 A + B + C =T T, 则 sin(A+3) = sin(7r-C)=siii C; sinB+C2A=cosy; tan(A+ B)= tan(7r- C) = tan

38、cos(A+ B )= cos(nC)= cos C.-3 心 sin a+3cos ” 一一小 = , 一 =6 . ( 多选)(2021泰安模拟) 已知二- - - = 5，下列计算结果正确的是( )3cos asm aA. tan =2 B tan a=213 6C. 2o=g D. sin2a -COS 2a. sin a+3cos a tan a+ 3 . 1 ,解析：选 BC ; = ; = 5 , 解得 tana=2, Acos2a+sin 2a=cos2( z3cos a-sin a 3 - tan a 2cos2a+sin acos a+ s in “cos = si/a+

39、cos2al+tanz 1 + 2 3l+tan2a=l+ 22 = 5,sin2a -co s la = 2sin2a - cos2a =2tan2g1 7tan2a + l 5*7 . 计算：sin亭 + c o * 的值为.解析：原式=sin(2;rg + c o s(37r+. n n 1 1= 一哂一吗 = 一厂 5答案：- 1 . sin(”一 ) + cos(， - 2?r) 18 .若 sin +cos(7r+。 ) = 7 则.=钮H n % sin(7 t-， )+cos(。 - 2九 ) sine + cos， 1 大 sin J+cos(7r+。 ) sin 0

40、 - cos 0 V所以 2(sin 0+ cos， )=sin cos 09所以 sin 0= - 3cos 0 , 所以 tan 0= - 3.答案：一39 .已知 sin a是方程 5x2 7x 6 = 0的根， a是第三象限角，则si n( _ a a)tan2(7ra)=解析：因为方程5X27x6 = 0 的根为xi = 2, X2=I ，由题意知sin = 5，故 cos a4 3s H a - cos ” sin ” tan2az, tan“= 7, 所以原式=- - - -: - - - - - - - - - - -5 4 sm a*cos atan2

41、a = 916,答口来案 - 1610. 化简cos a1 - sin a1+sin a5 $ /(lsin a)2 /(I-cos a)2 1 - sin a 1 - cos a解析：原式= cos、 / cos2a + s i n aV sin2a =cos a而荷+ 而因为 najn9 所以 cos a0, sin v0. 所以原式= (1sin a)(1cos (z)=sin a+cos a答案：sin a+cos a - 21 1 .已知sin(37r+a)=2sin(T+( z ) , 求下列各式的值:sin a-4cos a ) 5sin a+2cos af(2)sin2a+s

42、in 2a.解：由已知得sin a=2cos a.2cos a4cos (1)5X2cos a+2cos a16,h v ， sin2a+2sin acos a原式= 一函片/ 丁? 一sin2( z+sin2a 8sin2a+sin2a 512 .已知舞 a。，tan a一而工3r 求 tan a 的值;的值.i 3 1解：(1)4 tan a = x ,则 x - =一不，整理得 2工 2+3工一 2 = 0 ,解得或 x = 2,因为 VGVTT,所以 tan GV 0 ,故 tan a= - 2.+ ) - cos(n-a)sin a+cos acos atan ”+

43、l = 2 + l = - 1.B 级综合应用13 . (2021 山东肥城级考) 公元前6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为咛工Q 0.618,这一数值也可以表示为m=2sinl8。 .若加 + =4,则T =()A. 4B. 3C. 2D. 1解析：选 C Vm=2sin 1 8 ,且+ = 4,.*.w=4-/w2= 4 -4 sin218=4(l-siii2180)=4cos2180,. 即 2sin 18d4cos218 4sin E cos 18 2cos2271 = cos 54 = sin 36 = 2故忠 c一 L , 1 ta

44、n a14. 已知 sin 0, cos a 0 ,所以 cos asin a0,(W，因为(cos a-sin a)2= l_ 2 sin acos a = l_ 2 X所以 cos a -sin a亚2 9_ Sin a _ 范- 1 - tan a cos a cos a -sin a 2所以- - - - - - -= - - - - ；- - - = - - - - - - - - - - - = - - - - - :1+tan a 工. sin a cos a+sin a i1+ - Tcos a 21 5 .是否存在 “ ( 一 ,丹蚱 ( 。，元 ) ，使等式 in(3

45、;ra)=qicos俘 - “小 cos(一 )= - ， ico sm + 0同时成立？若存在，求出a , 的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在角见夕满足条件. 由已知条件可得sin a=V2sin /?, 、由 C O S Q=/Icos 夕，由2+2 , 得 sin2a+ 3cos2a= 2. Asin2a= 1, ( - , 。Aa=.当 1 = 1 时，由式知cos0 =坐 ,又./G (0, r t),：邛=菅, 此时式成立;当a = 一时，由式知c o s = ，又. . / 仁，7 T ), , “=*此时式不成立，故舍去. , . 存在= , 片点满足条件.

46、C 级迁移创新1 6 .已知 a, /?6(0,2n)K a / i,若关于 x 的方程(x+sin a) (x+sin “)+ 1 = 0 有实数根,3sinG +a)+cos(J)求代数式一 - 一东r2sin(n - a)cosl-y+)?l的值.解：整理方程(x+sin a)(x+siny?)+l=0 得 x2+x(sin a+sin/?)+sin asin夕 + 1= 0.由题意得 / = (sin a+sin jff)24sin asin 0 4 2 0 , 即(sin a -sin ) ?)2 4 .0因为一i Ws i nlW sin/?W l,所以 sin a -s

47、in 夕 2 ,2 ,从而(sin a-sin 夕产 44.sin a = l,由得s in a -s in /= 2 ,所以，sin /?= 1sin = - 1 ,或 Jsin 0=1.因为 a , p G (0,2兀) 且 a 0的形式，避免出现增、减区间的混淆. 逐点清3 . （兴修 4 笫 45页练习3 题改编）函数y= tan 2x的定义域是（）A. jx xWATt+f, kG Z jB .x工工整 + 会 AZ C. jx x k n + 9 kG Z )D.x x # 亨 + ，RZ )解析：选 D 由2XRAT T+ ，k Z , 得 x # 亨 + / ,

48、k G Z ,所以产 tan 2 x 的定义域为卜卜鬻 +% AGZ .4 . （兴修 4 笫 35页例2（ 2）改编）若函数y = 2 s in 2 x -l的最小正周期为7 , 最大值为A,则（）A. T=jtf 4 = 1B. T=2n9 A = 1C. T =nf A = 2D. T=2it9 A = 2解析：选 A 最小正周期T = = 7 t ,最大值A =21 = 1 . 故选A.5 . （多选）下列关于函数y=4sinx, xG - n , 的单调性的叙述，正确的是（）A . 在一n, 0 上单调递增，在 0, E上单调递减B . 在甘，用上单调递增，

49、在一兀，苫上单调递减C . 在一方手上单调递增，在g, 同上单调递减D . 在g , k 和 -JT, 一手上单调递增，在甘，用上单调递减解析：选 B C 函数y=4sin X在一汗，一和g ，J 上单调递减，在一百，, 上单调递增 . 故选 B、C.6 . （易错题涵数产 cos售一2x）的单调递减区间为 .解析：由尸 cos修 - 2x） =cos（ 2x） ,TT得 2A?tW2x4x争(O0)图象的一个对称中心为M值0), 距离点M 最近的一条对称轴为直线x = 瑞，则 ”=.解析：因为图象的对称中心为距离点、M 最近的一条对称轴为l

50、o答案：32 .已知函数於)=2sin(x+ + ( e 一去却是偶函数，则的值为解析： . 函数A*)为偶函数，7 T 7 T. + = 4 五+ 不，kZ,. . 7t V n n即 0= kn+ 9 又 5 ，2J.,， = 经检验符合题意.考点理解透规律明变化究其本课堂讲练三角函数的定义域基础自学过关题组练透1 .函数y = 嬴上 j 的定义域为 .Idll A Xtan x _ 170,XW+AT T, k GZ,XW+AT T, k Z,即0, fsin x0,1 即、1C O S X -5 7 0 , C O S X 75，2 k n x n + 2 k n

51、 , k GZ,T T 7 Tg+ZEWxWj+ZATr, k GZ,所以 2 k n x+ 2 k n , k e Z,所以函数的定义域为卜2 k n 2 | B . 一宗 3C . 喳啕 D . 一零3(2)函数r)=sin xcos x+sin xcos x 的值域为. 解析 (1)当局 0 , 于时，2 -狂一 *y , sin Q 一耻一 , J故 3sin(2x-授，31，函数於) 的值域为一 31.(2)设 Z=sin xcos x ,则一也WWy fi , t2= sin2x+cos2x2sin xcos x,I-/2贝！1 sin xcos x = ,当 =1 时

52、， / （ X）max= 1 当 f = 一啦时，函数的值域为 6，1 答案 (1)B (2) - 1 - 2 , 1 对点变式1 .(变条件) 若本例中函数/(x)的解析式变为： /(x)=3cos(2xg, 则/(x)在区间 o, f上的值域为.解析：当xG O, 时，2x狂一全周，cos(2 x -1 )e - , 1 ,故 1/(x)=3cos(2x 邛 , 3 .答案：一，32 .(变条件) 若本例(2)中 xG O, n , 则函数/(x)的值域为.解析：设 t=sin x -co sx ,贝 ” /2=sin2x+cos2x_2sin xcos xt即

53、sin xcos x= 2 ，且一1 WfW啦.所以 y= + r + |= 1(/1)2+ 1.当 E=1 时，Jmax=l；当 = 1 时，Jmin= 1.所以函数的值域为 - 1,1 .答案：L L 1 解题技法求三角函数的值域( 最值) 的三种类型及解题思路(1)形如j=asin x+ftcos x + c 的三角函数化为j=Asin(wx+)+A：的形式，再求值域( 最值) ；(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sin 化为关于上的二次函数求值域( 最值) ；(3)形如y=asn xcos x + ( sin xcos x )+ c 的三角函数，可先设Z

54、=sin xcos x , 化为关于 f 的二次函数求值域( 最值) . 跟踪训练1 .已知x （ 0 , 兀），贝（J/（ x） =cos 2x+2sinx的最大值为, 最小值为.解析：因为 x 6 （ 0, n ） ,所以 sin x （ O,l .由大） =cos 2x+2sin x , 得/ （ x） =-ZsiM x+ 2sin x+ l = - 2 （ sinx奈所以於）的最大值为|, 最小值为1.答案：1 12 .已知函数/ （ x） =sin（ x + , 其中冶，a , 若於）的值域是 /1 , 则实数a的取值范围是 .解析: 由一全 4 知

55、 ” +狂一 * + R；x + 江一会同时，1AX）的值域是一3，1 ,由函数的图象（图略）知畀 a + 狂季 . . 卜 a答案：任，兀 .点口 J 三角函数的单调性定向精析突破考向 1求三角函数的单调区间例 2 （ 1）函数y = sin g -2 x ）的单调递减区间为；函数尸 |tan x|的单调递增区间为，单调递减区间为. 解析函数 y=sin-2x） = -s in （ 2x一胃）的单调递减区间是函数尸$ 也（ 2 一m ）的单调递增区间.由2所一太 2% 一太 2府 + 率kG Z ,得所一强士 7 n + 雪，F

56、Z .故所给乙 3 / JL / JL /函数的单调递减区间为*7T77，k n + z , k e z .（ 2）作出函数y = |tan x|的图象，如图.观察图象可知，函数y=|tanx|的单调递增区间为 + ；） , k & Z ;单调递减区间为答案 (1 也一有 kn+2 9 A W Z( 2 TT,兀+ 图, e Z (17t 5, Air , kUZ 对点变式( 变条件) 若本例(1)变为：函数y= 3 sin e 一2x)(xW 0, n )的单调递增区间是 .解析：函数尸 35也 / 2x)= -3sin (2x5 . 令2兀 + 2丫

57、一季 W 2E +芸 A G Z ,求得E + ?xW E+ 知，k&Z ,可得函数的增区间为匕 r+ 全而 + 知，kCZ ,再根据xG O,n , 可得函数的增区间为三，千 .答案 : 多 T 解题技法求三角函数单调区间的2 种方法代换法就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角“ ( 或f ) ,利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间图象法函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间考向2已知三角函数的单调性求参数例 3 若 yu)=cos Xsin

58、x 彳A渭3 nJ 4(2)若/(x)=2sin ftzr(s0)在区间解析(l )f(x)= c o s xsin x = -当 * 一n泡T -n* 7r-|即闻一： ,.时,j= sin fx -;主 a, 是减函数，则的最大值是()B -1D. 7 T一方用上是增函数，则 ”的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _- 6 s in g - g ,，单调递增，则 # x )= Yisin(x)单调递减.工函数f(x)在 a, 是减函数， a, a G d削， OVQ0)的图象如图所示.要使於 ) 在一7 T 7 TF W- 7需生 V 23皿0,即 0xW+2k“(

59、AWZ )得一金十等这x立言+等(A G Z),故 | x)的单调递增区间是n . 2kn2(o con2(o2抬 ft. . 虹冗 2冗 | n . 2knk _ |(M Z ), 由题意一手 _ |Q 森 + k ，斯n +, 2旬kn(GZ, ” 0),ro,从而有7T、2几才于3即 0百. 答案 (DA (0, 对点变式( 变条件) 本例变为：若函数八x)=sin ”x(0)在区间 o , w 上单调递增，在区间会 , 上单调递减，则。=.解析：因为/(x)=sin twx(co0)过原点，所以当O&oxW年，即 0/时， y=sin s 是增函数；当与常，即工

60、式萼/ 乙co 乙乙乙m Z tC O时，y=sin s r 是减函数. 由已知言 = 作，所以= 不,乙C D J 乙答案：2 解题技法已知函数单调性求参数(1)明确一个不同：函数,/U)在区间M 上单调”与 “ 函数人x)的单调区间为N” 两者的含义不同，显然M 是 N 的子集；(2)抓住两种方法. 已知函数在区间初上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M 上的保号性，由此列不等式求解. 跟踪训练1 .函数Hx)=tan(2 x + 的单调递增区间是 .解析：由 AT T T?

61、 2X+ ? ATT+ ? , kWZ,/ /吟 -居 0)在( 一 ,上单调递增，且图象关于直线 = 一五对称，则 0 的值为.解析：因为函数 f(x) = sin(Q ) x+ ) 0 )在( 一 ,图上单调递增，所以n . 江、n_ 产+ 尸n . 7T,7T1产 + 号 5,得 0V / 怠.又函数H x)=sin(x+g(” ：0)的图象关于直线x = 一几对称，所以-7r” +=A;r+亲A G Z ),得 ”=-A； ( F Z ) , 又 0V” W； , 所以 =； .答案：I 定向精析突破考向 1三角函数的周期性1手点1三角函数的周期性奇偶性

63、in(o x9因为加）在一? ，上单调递减，所以一取 8 一干且黑/ 4 ,3解得sW,又 ft0,3-23 . 已知函数/U ） =sin（ ttxr+0）（ O, 1 研 1 D.解析：选 B 令 2A;r枭 + .2 + ? , k & Z,得 xG 4A4A+g , G Z ,又 xs - i , i , 所以/U )在 -L i上的单调递增区间为 - 1 , 1.4 . 若函数/(x)=2sinzx(0gl)在区间 o , 第上的最大值为1 , 则 j “ =( )AA . 41 BD - 3iC. | D . 申解析：选 C 因为0I,0WxW冬所以OWu：q, 所以

64、Hx)在区间o, 1 上单调递增，则 Hx)max=_/d)=2sin等 =l , 即 sin等 = ； . 又因为所以等=/,解得=； .5 . ( 多选)(2021郑州市高三联考) 以下函数在区间(0, 9 上为单调递增函数的有 ( )A. j=sin x+cos xB. j=sin x -co sxC. v=sin xcos x D. y = s ,n xJ J C O S X解析：选 BD 对于 A 选项，j=sin x+ cosx= /2sin r+ ,当 x (0, 时，工十但如W 4 J9所以，函数y= sin x+ cosx在区间(0, 号上不单调；对于B

65、选项， j= sin x cosx=ylsin(xg ) , 当 x (0, 1)时， * ( , 所以，函数产 sin x-cosx 在区间(0 , 彳) 上单调递增；对于C 选项，j=sin xcos x=sin l x , 当xG (0, 时，2xG(0, n ) ,所以，函数 7=5也*8 5 * 在区间(0 , 今上不单调；对于D 选项，当xG (0, 时，y = = ta n x ,所以，函数尸襄三在区间(0 , 统上单调递增. 故选B、D.cos X /1/6 . ( 多选诺函数犬x)=cosx+|cosx|, x G R ,则函数/U)( )A . 最小正周期为T TB

66、. 是区间 0,1 上的减函数C . 图象关于点(An, 0)(AGZ)对称D . 是周期函数且图象有无数条对称轴T T 7 T2cos x, 5+2471 Wx W+ZAT T,解析：选 B D 八x)= 0, +2kn Wx W学 + 2也(A Z ),对应图象如图. 由图象知函数八x)的最小正周期为2兀，故 A 错误；函数式X)在 o , 手上为减函数，故 B 正确;函数八x)的图象关于直线x= 2七 r(Z)对称，故 C 错误；函数八x)的图象有无数条对称轴，7 . 函数 y=tan且周期是2兀，故 D 正确.的图象的对称中心是.解析：由;+ = ? (A Z ),得工= 阮一平(

67、A Z ),即其对称中心为( 而一聋，0), kGZ .答案：( 而一革 0), k w z8 . (2021扬州中学高三模拟) 已知_/U)=sin囹 + 川一 5coW(x + l ) , 则於) 的最小正周期为, 1 )+ 八2 )+ + 八2 020) =.解析：依题意可得_/U)=2sin j x , 其最小正周期T = 6 ,且JU)+八2 )+ + 八6 ) = 0 ,故犬1)+八2 )+ + 犬2 020)=犬1)+犬2)+八3)+犬4)=巾.答案：6小9 .已知函数八*)=2或 1 1 (3 ： 5 + 1 ( * 2 的图象的一条对称轴为直线*= 兀，其中g为常数，且

68、。G (l,2 ),则函数人工 ) 的最小正周期为 .解析：由函数八x)=2sin(“ x + l(x G R )的图象的一条对称轴为直线x = k ,可得07r7 = + ? , k eZ,O /,2 5； (o = k + ,又 g (l,2 ), .co = y/ . 函数/U )的最小正周期为: = 专.3答案：.10.(2021 河北锚中原名校联盟联考) 若函数fix)= 3sinx+Y02 在区间卷，4 上单调递减，则实数。的最大值是.解析：法一：令 2A7T+ /WX+W 2E+苧，k G Z,即 2 E + 普 WxW2E+V，kZ,所以函数人X)在区间

69、誓,W 上单调递减，所以Q的最大值为法二：因为印, 所以与 + 专 0)的最小正周期为n.求函数y=f(x)图象的对称轴方程；讨论函数人x)在。，引上的单调性.解：(l)；/(x) = sin cos ftzx=qisinQ”x J, 且 T = n9，“二？ . 于是，f(x)= y f2sin(2xJ . 令 2x =ATT+ 宗A Z ),得 x = + ,( A Z ) ,即函数 r )图象的对称轴方程为E 1 3 n . r 、X= 5 + W ( AZ)G Z ).注意到xG 0 , 所以令A = 0 ,得函数人x)在 o , 1 上的单调递增区间为0, y ；同理，其

70、单调递减区间为半，.12. (2021山东泰安模拟) 在函数4 r ： ) 为奇函数；当x = g 时，f(x)= 小 ;华是函数/ ( X)的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知函数八x)=2sin(“ x + 9 )(M0, 09靖，1Ax)的图象相邻两条对称轴间的距离为兀，.(1)求函数/(x)的解析式；(2)求函数人x)在 0,2n 上的单调递增区间.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：函数/(x)的图象相邻对称轴间的距离为i t , ； . T= 2?r, CO=1, .*./(x):=2siii(x+。 ) .选条件.一夕=2si

71、n g+ 为奇函数，工力一兀 ,kez,解得e = g + 左加,k e z .n i t ( , T C(1) 9 = 予 f(x)=2sinLr+T.由1 + 2A7rx+Ww/+2后 r, k GZ,得一， +2ATTX 亳 + 2加，k GZ,I.令 & = 0 , 得一平士 q，令 k = l ,得, 等，函数於) 在 0,2n 上的单调递增区间为。，， 1 2九选条件.近2 ，倒 =2sin+ , :. sin + )=：.(p=2kn, AWZ 或 s= g + 2 笈, kZ ,(1)V 0V。 4 ， :. tp=： , A/(x)= 2sinx+j.由

72、一T+ 24兀 W x+T/T+247r, keZ,得一， +2ATT2kn, kGZ ,，令 4= 0 , 得一平WxW也令k = l , 得 , WxWI%. . . 函数| x）在 O,2n 上的单调递增区间为 o, , 12T T .2选条件铲是函数ZU）的一个零点，， /停7r)=2sin侪 + ) = 0 , ，9=7T竽 , k e z .(1) V 02 故 B 错误；当x G V ，o)时, 2 x(g , 0),此时一4sin 2 x _ 1 G (-1,3),. / (x)有正有负，贝x)在 (一去 0)上不单调，故 C 错误；当 xW(0, 时，2xG(0

73、, D ，此时一4sin2x-lW (5, -1 ), f (x)V0 恒成立，1Ax)在(0，J 单调递减，故 D 正确.14. (2021石家庄市质量检测) 己知函数“ r ) = s i n 小 cos gx30), xi，必为函数图象与“轴的两个交点的横坐标，若同一Ml的最小值为枭贝()( )A ./ ) 在 (一系上单调递增B. /U )在(一用，与上单调递减C .八x)在(一驾，曲上单调递增D .爪灯在(志亨) 上单调递减解析：选 C因为大x )= 2 sin (e x + g ),且triX2I的最小值为方所以#x)的最小正周期为兀，即金 = 肛所以 = 2 ,

74、所以大x)=2sin(2 x + 3 ，所以人x)在区间(一驾，自上单调递增，故选C.1 5 .已知函数八x)=sin 2x-/5cos 2x, xR .求/(x)的最小正周期；(2)若 M x)=/(x+f)的图象关于点(一去0)对称，且 fC (0 ,兀 ) ，求，的值; 当，毛，, 时，不等式心) 一诩3恒成立，求实数，的取值范围.解：(1)因为 /(x) = sin 2x一小 cos 2x令2X故/U ）的最小正周期为丁= 铝= 加0 ）由知Mx） =2sin（ 2x+2f一个得 f= 铝 + ? A e Z ),又/ e(0, n ),故， = : 或， =

75、知. 当 xw : , j 时， 2xy ,所以/(x ) L 2 .又 / (%) m |v3,即兀r)3v， 0, s 0 , , 区的图象离原点最近的对称轴为直线x = x o ,若满足扁14去则称 / （ X）为 “ 近轴函数”. 若函数 J=2sin（ 2x0）是 “ 近轴函数”，求的取值范围.解：函数y=2sin 2x的图象离原点最近的对称轴是直线x = ，函数 =25口 12Q：一满足IxolW，当 0 时，4-6 2 4+6,即狂。这，又.w , . , 谭ww ；当夕V 0 时，一尹 KW，即一系Wpw-/ 又miw ,g w一表综上所述，夕的取值

76、范围是甘，u 会，升第四节函数y=Asin（ Q ） x + e ）的图象及应用备考领航课程标准解读关联考点核心素养L了解y=Asin（ ftxr+）的实际意义；能借助图象理解参数ev，A 的意义，了解参数的变化对函数图象变化的影响.2. 会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期1 . “ 五点法”作图及图象变换.2 . 求函数 y=Asin（（ yx+ ）的解析式.3 . 三角函数图象与性质的综1 . 直观想象.2 . 数学建模.3 . 数学运算变化的数学模型合问题知识重点准逐点清结论要牢记课前自修重点准逐点清重点一函数 y=A

77、sin（ tt;x+9）的图象1 . 函数y=Asin（ s x + ）的有关概念y=Asin(ct)x +(/)(40, 0)振幅周期频率相位初相AF 27rT =C Df= L = / 一厂 27ra)x + s92 . 用五点法画y=Asin（ e x + 0 ）（ 4 O ,，。 0）一（周期内的简图用五点法画y=Asin（ x+9）（ A0, （））一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x + 0n2n3元T2nX_ 幺(Dn _(p2co coi t -(pC D3n2(f) C D2 .一0coy=Asin(tt)x+9)0A0一40 逐点清1

78、. （强修4 笫 56页球习3 题改编）函数y=2sin（ 2x+ f）的振幅、频率和初相分别为（）A ，匹 R 匹A- 2，兀，4 L , In 4九九C , 2 , n, 8 D 2 , lit _ 8解析：选 A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y=2sin（ 2 x + g 的振幅为2 , 频率为: ，初相为2 . （必修 4 第 53页例 1 改编）用 “ 五点法”作函数？ =3（ 4% 一习在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是（）A . 电 0） B . （一需 , 1）C . 管 ,1） D . （碧，0）解析：选 A 令 4x一菅= 竽，得

79、 x = 需. 所以该点坐标为管，0） .重点二由函数 y=sin x 的图象通过变换得到y=Asin（ 3 x + ）（ A 0 ,。0）的图象的两种方法法一国骤1骤2骤3骤4法二画出片s i n Z的图象 H H画出y= s i n 4的图象向左（夕0 ）或向右（卬0 ）平移1 （p 1个单位长度横坐标变为原来的心倍| 得到 .s i n （ z+ p ）的图象 * 得到片s i n 3式的图象 |横坐标变为原来的古倍向左（中 0 ）或向右（皆0 ）平移向个单位3长度|得到片s i n （ 3 , + p ）的图象T 得到广s i n （ 3/）

80、的图象|纵坐标变为原来的八倍纵坐标变为原来的八倍| 得到 .A s i n （ 3 4 + （p ）的图象卜提醒（ 1）两种变换的区别 “得到y= A s i n （ 3 4 + M的图象|先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是刷个单位长度；先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是1（（））个单位长度.（ 2）变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x 而言的，即图象变换要看“自变量x” 发生多大变化，而不是看角“ s x+e”的变化. 逐点清3 . （兴修 4 第 5 7 页 A 组 1（ 2）短改编）为了得到y=3cos（ 3x+1

81、）的图象，只需把y=3（ * + 目图象上的所有点的（）A . 纵坐标伸长到原来的3 倍，横坐标不变B . 横坐标伸长到原来的3 倍，纵坐标不变c . 纵坐标缩短到原来的; ，横坐标不变D . 横坐标缩短到原来的; ，纵坐标不变解析：选 D 因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y=3cosg+W )图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的; ，即可得到函数y=3cos(3 x + J 的图象.4 . ( 易错明为了得到函数y=2sin(2 x - 的图象，可以将函数y=2sin 2x的图象( )A . 向右平移亳个单位长度B . 向右平移1个单位长度C . 向左平移子个单位长度

82、D . 向左平移; 个单位长度解析：选 A 因为y=2sin 2x=2sin2(x+)T ，所以将y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度可得y=2sin(2x图的图象.5 . ( 兴传4 第 58页 A 组 3 整改编) 已知简谐运动4 x)=2singx+9)(l9l词的图象经过点(0 ,1 ),则该简谐运动的初相(), 0)的变换：向左平移个单位长度而非(p个单位长度. 提速度已知函数以x)=2sin(2 x - , 将 y=/(x)的图象向左平移菅个单位长度，再向上平移1 个单位长度得到函数y=g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为 .解析：将尸危

83、) 的图象向左平移衿单位长度，可得 y=2sin(2x+年一9 = 2 sin 2x 的图象，再向上平移1 个单位长度得到函数y=g(x)=2sin 2 x + l的图象，则丁= 5 = 兀答案：加考点理解透规律明变化究其本课堂讲练1号点-1“ 五点法”作图及图象变换师生共研过关例 1 已知函数,/(x)=2sin(2x+。(1)作出/U )在 0, n 上的图象；(2)函数y=/(x)的图象可由函数 =311的图象经过怎样的变换得到？解因为xG 0, n,所以2 x + G , 等 .列表如下：2X+T0n6n2n3北T2n13元VX0n657r122nT11

84、7T12nAx)120- 201描点、连线得图象，如图:(2)O, 3 。）的图象常用的两种方法（ 1）五点法作图，用 “ 五点法”作 y=Asin（ “x + ）的简图，主要是通过变量代换，设 zjr 彳（ox+ 0 ,一g衿习的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2、 ”，且过点(2, 一, 则函数/U)=. 解析 (1)由题图可知，函数的最小正周期T =2X 俘一3 = 加，新= 冗， e = 2 . 当g= 2 时，y = sin (2 x + ),将点电 0)代入得，sin2X +=0,.2义会 + e = 2E+7T, kG Z ,即 9=24冗+ 半，k

85、 GZ,故y=sin(2x+用 . 由于 y=sin(2x+= 嫌1 1 九一(2x+资U =sin停-2 x ) ,故选项B 正确；J=sin|1 停一2 x )= co lg 2 j =cos(2 x + ,选项C 正确；对于选项A , 当工= 时,n . 2 n $ 也。+ / ) = 1工0 , 错误；对于选项D , 当x=9 2 ，=居时 , 侬管一 2义招)=1W 1 , 错误；当(0 = 2时，y=sin(2 x + ) ,将电 0)代入，得 sin(2 * 看+ ) = 0 , 结合函数图象，知一2X亳 + 0 = 兀+ 2兀，kG Z ,得 9 = 爷 + 2加，

86、kG Z ,. 力= $ 加(- 2x+专) ，但当x= 0 时，y = sin (-2 x + T )= 一乎=1,= sin x+(p ,由于该函数图象过点(2,因此 in(7r+9)= 即 sin 9= ： ,7 T ， . ， - 兀 / 7 T /v .而故0 = 不JU) = sin 答案 (1)BC (2)sin(jx+ 解题技法确定y=Asin3x+9)+3(A0, Q0)的解析式的步骤(1)求 A, B,确定函数的最大值M 和最小值小，则 4 = 土片，B= ；(2)求 3,确定函数的周期T ,则 =半；(3)求附常用方法有以下2 种跟踪训练代入法把图象上的一个已

87、知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上) 或把图象的最高点或最低点代入五点法确定9 值时，往往以寻找“ 五点法”中的特殊点作为突破口1 . ( 多选) 已知_/U)=Asin(“ x + )+ B (3 0 , ” 0 , 刷的部分图象如图，则, 八* ) 图象的对称中心是 ( )A管 ,- 1 )C . 偌 T)解析：选 A B 由题图得住 - 1 ) 为/U )图象的一个对称中心，A T =7r,从而Ax)图象的对称中心为R + 亨，-1)(A G Z ),当A = 1时，为管，- 1 ) , 故选A、B.2. 如图，函数y = g ta n

88、 (2 x + 3 的部分图象与坐标轴分别交于点。， E, 架 /F ,则OEF的面积为 ( ) / / r/E O / Fxn c 兀 A- 4B- 2C. n D. In解析：选 A 在 y=45tan(2 x + g 中，令 x = ( ) ,可得y = l , 所以。 (0,1);令 y = 0 , 解得 * = 竽一今 ( F Z ) , 故一云，0), 兄第，0).所以/ / 的面积为京密 + 古卜 1= 全I 点口 J 三角函数图象与性质的综合问题定向精析突破考向 1三角函数性质的综合问题例3( 多选 )(2021山东高三模拟 ) 函

89、数八 x) = Asin(“x + ”0)(40, 3 0 , |。用的部分图象如图所示，将函数的的图象向左平移仔个单位长度后得到y=g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A . 函数g(x)为奇函数B . 函数g(x)的最小正周期为7 TC . 函数g(x)的图象的对称轴为直线 * = 妹 + OD . 函数g(x)的单调递增区间为碧 + 而，合 +An (GZ) 解析由图象可知 4 = 3 , ： 7 = * 普=需一(一； . = 2 ,则/(_r)=3sin(2x+0).将点 ( 含 3)代入/(x)=3sin(2x+0)中，整理得sin(2X碧 + 夕

90、 ) = 1,. . 2X + 0 = 2A 7T+T，kGZ,即 9=21兀一牛士 Z . 又|p|y, = %/./lx)= 3sin(2x . 将函数八x)的图象向左平移1个单位长度后得到y=g(x)的图象,Ag(x)=3si，g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故 A 错误;.,.g（ x）的最小正周期7 = 亏 = 凡故 B 正确；令 2 1 + 1 = /+ 4 九，kez,解得工 = 盍 + 萼，k Z.则函数g（ x）图象的对称轴为直线x = j + y , AZ. 故C 错误；由 2AT T247r+ 与，kW Z ,可得女五一雪在工在七: 十击，k e Z

91、,二函数g（ x）的单调递增区间为我汗碧，&n+言，AGZ.故 D 正确 . 故选 B、D. 答案 BD考向2函数零点（方程根）问题例 4 已知关于x的方程5sin 2x+cos 2xm = 0在住，上有两个不同的实数根,则m的取值范围是 . 解析方程转化为/n=cos 2 x+ y i s i n 2 x=2sin（ 2 x + g ,荣仁俘九） .设 2x+，-一停等） ,所以题目条件可转化为三=sinf, fG管，等）有两个不同的实数根.所以7 = 三和7=5加f, f e 管，学的图象有两个不同交点，如图，r厂、、 7 片s i n i/ 百7

92、 T 2九 / 一a N 7匹-0_ my -2由图象观察知，5 的取值范围是（一1, 一; ） ,故 wi的取值范围是（一2, 1） . 答案（一2, - 1 ）考向3三角函数的实际应用例 5 如图，某大风车的半径为2 米，每 12秒旋转一周，它的最低厂户点 0 离地面1 米，点。在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点0开始，逆时针方向旋转4 0 秒后到达尸点，则点 P 到地面的距离是米.A地面解析如图，以圆心01为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，因为大风车的半径为2 米，圆上最低点。离地面1 米，12秒旋转一

93、周，设N 0 0 iP = 仇运动f 秒后与地面的距离为, 凡) ，又周期7 ( ,= 1 2 ,所以0 = 4 -2 = 3 ，可 S 面fit)= 3 + 2sin(。一今=3- 2cos会 0),当 f=40 时，式。=32:05岱 * 40)=4(米) . 答案 4 规律探求看个性考向 1 三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用；考向2 函数零点( 方程根) 问题：即三角函数图象与x 轴( 或y=a)的交点，考查数形之间的转化问题；考向3 三角函数的实际应用：即三角函数模型的构建与求解找共性(1)求解函数解析式 0,0 90)满足式0 )=

94、 / (1)，且函数在0, j 上有且只有一个零点，则AW的最小正周期为 .解析：因为朋 = / 侪，所以* = 看是人X)图象的一条对称轴，所以/ 仅) = 1,所以也。 + % = ? + 小 k e Z ,O O X所以 = 6+ 2, kWZ,T T所以 7 = 藐石 *G Z ).又/U )在 0, W上有且只有一个零点，*1*、 . 五 7一兀加 * 、 , 2几 4T T所以彳句与 - 不所以1v 7子所以亨W4 全产普 (A G Z),所以一击又因为 G Z ,所以A = 0 ,所以” = 2 , 所以 T =T T.答案：K微专题

95、( 九) 拓展视野三角函数中有关”的求解在三角函数的图象与性质中，的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂,涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.类型一三角函数的单调性与”的关系典例 1 已知函数/(x) = sin(”x + 3 (0O)在区间一 , 用上单调递增，则 3的取值范围为( )A . (0, | B . (0，3C人 , 口2 , 831J D . 铲3 2J_ 解析法一：由题意得con . 7 T、兀 1 -T一丁 +z ，彳+ 2&加，k e Z ,4 O ZICD Tt , 7 T 7 7 T . , r + T + 2kn, kGZ,I J o Z，

96、88A, k R Z,则” W+3A, k e Z,又 ” o , 所以 0 , k wZ,1+ 3* 0, k GZ,、 /所以无= 0 , 则 OVtwW； , 故选B.乙法二: 取 3 = 1 ,则 / （ x） = s in G + g ,令予+ 2版, AG乙得W+24nWxW专+ 2 k n , k G Z ,当& =0时，函数x）在区间层，竽上单调递减，与函数/ （x）在区间一第上单调递增矛盾，故结合四个选项可知选 B. 答案 B 点评根据正弦函数的单调递减区间，确定函数八丫）的单调递减区间，根据函数式用= sin（ ”x + 3 （ “ 0）在

97、区间一会用上单调递增，建立不等式，即可求”的取值范围.类型二三角函数的对称性与0 的关系典例 2 已知函数_Ax） =cos（ x + （ 30）的一条对称轴为直线x= 1, 一个对称中心为点他，），则 0 有（）A . 最小值2 B . 最大值2C . 最小值1 D . 最大值1T T 解析 . 函数的中心到对称轴的最短距离是: ，两条对称轴间的最短距离是东. . 对2 n称中心倍，0）到对称轴丫= 轲的距离用周期可表示为卜言又, = V ，. , . 詈g ,J / 0 0 J L 4 C .C z r T.0 2 2 , 有最小值2 , 故选A. 答案 A 点评

98、三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“ 水平间隔”为, ，相邻的对称轴和对称中心之间的“ 水平间隔”为匕这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值 .类型三三角函数的最值与3的关系典例 3 已知函数/ （ x） =2sin x在区间一去上的最小值为一 2 , 则 “的取值范围是. 解析由题意显然“ W0.若切 0 ,当一全，时，一前 /0在射，因为函数/(x)=2siii cox在区间一去 4上的最小值为一2 , 所以一% 在一去解得口出.若 “ v 0 ,当x 一鼻，时，的助运一如

99、，因为函数/(x)=2sinv在区间一早 4jr TT上的最小值为- 2 , 所以 “ W一不，解得sW 2.综上所述，符合条件的实数。的取值范围是( 一 8 , - 2 U |, + 8 ) 答案 ( - 8 , -2JU 1, + 8 ) 点评利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于” 的不等式，进而求出。的值或取值范围. 跟踪训练1 . 为了使函数y=sin ” x(0)在区间 0,1 上至少有5 0 个最大值，则 ” 的最小值为( )197A. 987r B. 7t199C. y7r D. IOOT T解析: 选B由题意，至少有50个最大值即至少需要4耳个周期

100、，所以誓 7 = 苧等 Wl,197所以a)? F F .2 . 已知“ r)=sin tor-cos 若函数/U )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间m，i n ) ,则的值取范围是 ( 结果用区间表示 ) .解析： /(x) = sin cor-cos cx=/isin(x-令 s r g=/+A 7r(& Z ),解得工 = 羽 + 萼 (&Z).当* = 0 时，居 W n ,即号式”,当无= 1 时，招 +公 2兀，3 7综上，4 o答案: 3 714 i 课时过关检测A 级- - -基础达标1 .函数ksin(2x 在区间一

101、去 n 上的简图是( )解析：选 A令工= 0 得 7=111(一 = 半，排除B、D 项，由/ ( 一号) = 。， / ) = 0 ,排除 C 项，故选A.2 . 函数/U)=tan ”x(0)的图象的相邻两支截直线y = 2 所得线段长为宏则 / e) 的值是( )A. - yfi B.C. 1D .小解析：选 D由题意可知该函数的周期为亨，二方耳，(0=2, /(x)=tan lx.:,于M = ta n 1小.3. (2021安徽安庆模拟) 函数,/(x)=Asin(x+9)(其中A 0, o 0 , MIVK)的图象如图所示，贝！1( )C. 0=6, 0 = _ D

102、. (0 = 69 (/)= 解析：选 A由题图可得A = l, 4*7=124,解得刃= 3 . 所以/U )=sin(3x+9),因为Ax)=sin(3x+0)的图象过点 0)1 ,所以O=sin,+，因为| 刎北，所以夕= .故选A.4. (2021黄冈中学高三楔拟) 将函数/(x)=sin(2x+9) G |0)满足 / 。 = / ( 系) = 0 , 写出一个满足要求的函数1A x)的解析式.解析：函数/(x)=sin(x+o)(0)满足/6 ) = / ( 年 ) = 0 , 则一产竺，AWZ,不妨设A = l ,则普一解得 7 = 竽，所以O= 爷= ：

103、 ,所以 f(x)= sin1x+(p ,由 / 。 = 0 可得9廿 9 = 而，k GZ,不妨取左= 1 , 代入可得= 普，所以 A x)= sin gt+ 芝) .答案：加= s in + 到答案不唯一)8 .已知曲线Ci： j= cosx, C2： j= sin(2 x + y ) ,则为了得到曲线G , 首先要把C2上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移个单位长度. ( 本题所填数字要求为正数)解析：因为曲线 Ci： j=cosx=sinx+=sin2-x+所以先将。 2上各点的横坐标变为原来的：= ； = 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线y2

104、=sin(2 % + 专) 向右平移于个单位长度.答案：2 19. (2021福州市适应性考试) 已知函数0)的图象关于直线 = 会对称，且当 9 取最小值时，存在x e (0, 3, 使得/(x o )= a ,则 a 的取值范围是 .解析：， .函数/(x)=2sin(2x+9)(00)的图象关于直线*= 强对称，. , . y + 0, . , . 当夕取最小值时，夕= : ， /tr)=2sin(2 x + ； xoG(0, .,.2x0+ jG ( J , 普) ，. . . 一小V/(xo)W 2,即 a 的取值范围是( 一小，2.答案：( 一审，21 1 . 已

105、知函数Hx)=Asin(tux+9) G0, ” 0 ,阳噂的图象过点府 0), 图象上与点尸最近的一个最高点是焉，5)(1)求函数/(x)的解析式；(2)求函数/U )的单调递增区间.解：依题意得A=5,周期 r= 4( j .,.ro=Y =2.故 f(x)=5sin(2x+9),又图象过点0), 5sinr+J=0,由已知可得2+8=471, k eZ,；|9巧，产一去 .7/(x)=5sin(2 L 。由一2Ar7t2x2kn, & W乙得一点kGZ ,故函数人外的单调递增区间为布hr+W (*SZ ).12.设函数 r)= sin(e x -6)+ s i n

106、VC O X 2 ) 其中 0。 3 , 且/ ( g=0. 求 M；(2)将函数y=/(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍( 纵坐标不变) ，再将得到的图象向左平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，求鼠 ) 在 -个上的最小值.4解：(1)因为/(x)=sin|( x -g + sin (c o x -9 ,所以 7(x)=-sin e x-cos car-cos(ox条 Wx -|c o s .对sin 3X*cos ”x=V5sin(x-因为/ ( 3 = 0 , 所以 (on n.- =71, keZ.故 ” =6A+2, kRZ .又 0“ O ,。。图的部分图

107、象，将函数兀0 的图象向右平移方个单位长度得到函数y=g:(x)的图象，则下列选项正确的是( )A. y=g(x)是奇函数B . 函数g(x)的图象的对称轴是直线* = 也+ 称优62)C . 函数g(x)的图象的对称中心是华，O )(AGZ)D . 函数g(x)的单调递减区间为也 + 去 E + 苧卜 GZ)解析：选 AD 依题意可得 4 = 2, / = 彳 + 彳 = ，故T=n, = 2/(一 =2sin2X(j)+ 0 =2sin( + ) = 0 ,因为 0 夕 0 )部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角,若 4 , 8 之间的空间距离为，而，则 “=_ _ _ _

108、 _ _ _ _ ，八-1)=解析：由题设并结合图形可知AB= y j（小） 2+ R（币） 2 + （ 3 _ 2= 7 6 + % = ,得方= 4 , 则 ”= : ,l U J IU J所以函数 4 x )= V 5 sin & + ),所以八- 1 )= 小 s in (-T + )= ， 5si 吟奇.答案了 !15. (2021衡阳市第一中学高三月号) 在x)的图象关于直线* = 半对称；/(x)的图象关于点仁江，0)对称；/U)在一：，上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正实数。存在，求出a 的值；若 “不存在，说明理由.已知函数./U

109、 )=4sin(x+5+a(G N *)的最小正周期不小于; ，且,是否存在正实数” ，使得函数八 ) 在，制上有最大值3?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：由于函数/ (X)的最小正周期不小于三，所以藉2 至所以” WN*.若选择，即/U )的图象关于直线工= 答对称，则有誓4+， =A7r+W(%GZ),解得 / = :O O O JL 32R + g(A Z ),由于 1W0W6, co GN*, k G Z,所以 A=3, co=4.此时， /(x)=4sin(4 x + + a .由丫电，制，得 4x+狂仁，,，因此当4x+卷 = 1 ，即 *

110、= 去时， /(x)取得最大值4+ ，令 4 +Q= 3 , 解得 =1 , 不符合题意.故不存在正实数a , 使得函数人x)在(0 , 会上有最大值3;若选择，即加) 的图象关于点既，0)对称，则有济 + = E (Y Z ),18 3解得切= g A W (4 Z ) ,由于 16 , 口 N “，k G Z,所以 A =l, = 3.此时， /lx)=4sin(3 x + + .由制，得忒 + 狂 , 割，因此当3门吟 = 含即x = 会时，犬X)取得最大值4sin + a = y6 + y2 + a9令 %+也 +。 = 3 ,解得a = 3一木一也 ,不符合题

111、意.故不存在正实数a , 使得函数x)在 0 , 会上有最大值3;con .穴、 7 r7t 7rl彳 + / 2 我吁手若选择，即Ax)在一加 7 上单调递增，则有 (AGZ),L e 支1 (on . 7rlc, . nb r + 蜉 2也 + 于L 8W 84+歹解得 44上+ 阳(Ae Z),由于 1WW6, GN*, k G Z,所以 = 0 ,(o = l.此时， x)=4sinG+a由xw o , 制，得 x + 狂 ,彳因此当x + = g ，即 * =金时， /U )取得最大值班+ a , 令 2 & + 。 = 3 ,解得a = 3 2、R, 符合题

112、意.故存在正实数”= 3 2 5 ，使得函数人x)在。，会上有最大值3.C 级迁移创新16.(2021广州市阶段训练) 如图，圆 0 的半径为1, A, B 是圆上的定点， O B L O A ,尸是圆上的动点，点尸关于直线。 8 的对称点为P , 角 x 的始刀一边为射线OA,终边为射线。尸，将万芳一中表示为x 的函数兀% 则 j r o=1/( x) 在 o, e上的图象大致为 ( )解析: 选A 根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则 P(cos x,sin x), P1 (cos x9 sin x ) ,所以 OP =(cosx, sin x), 6

113、P = (cos x,sin x ),所以市一而 =(2cosx,0),所以人幻 =| 而一而 |=|2cosx9所以犬x） =sin acos a=y2sn2 .常用拆角、拼角技巧a B aB2a= (a+ 4)+ (/?)； a = (a + 4)一P = (Q- / ? ) + 夕；f i = , = (a+2/?)(+)?)； a-/? = (a y)+(y/?)； 15=4530； aj. 提速度1 .已知 sin 2a= ： ,贝 !I cos2(a + /)= ( )A- 6B- 3C , 2D , 3su 心上/ l+cos(2 a + i) - s in

114、2 a 1-3 1 匹解析：选 A 由倍角公式可得，cos-(a+公1= =T ,故选A.2. tan 100+tan 50+由tan 100tan 50=.解析：原式=tan 60(l-tan 10tan 50)+小tan l()tan 50 = 小一季tan 10tan 50。 +4tan 10tan 50=小.答案：小第一课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点理解透规律明变化究其本课堂讲练一点 I _. 和差倍角公式的简单应用基础自学过关题组练透1. (202()全国绻1 )已知 aG(O, it ) ,且 3cos 2 a -8 c o s

115、a = 5 ,贝！Jsina=( )A . 坐 B. 1C. | D . 坐解析：选 A V3cos 2a_8cos a=5,/ 3(2cos2a _ 1)8cos a=5, A6cos2a_8cos a-8=0,A3cos2a_4cos a4=0,、2解得cos a=2(舍去) 或cos Q=一亍,: a (0, n), :. sin a = .l-c o s 2 a = 乎 .故选A.2. (2020全国卷田) 已知 sin， +sin(， +W)= l , 则 s in 0 + /= ( )A. TB .当c 2 D近J 32解析：选 B V sin 。 +011(0 + 三) = m

116、加。 + 坐 cos e =V3sin(0 + * )= l, .,.sin(0 + * )=乎 , 故选 B.3 . 已知sin a= ： + c o s G 且 a (0 , 图，则的值为_ _ _ _ _ _ _ _ . s in (a + /解析：因为 sin a = ； +cos a,即 sin a-cos Q=： ,“ ，cos la cos2a -sin2a所以 -7-n-T Tsinfa+j sin acos+cos asing(cos a -sin a)(cos a+sin a)_ 3 _ 啦=0 . 工、= 正= - 32 (s ,n +cos a) 2. 2t

117、an a 2X (-3 ) 3- 3 , .tan 2a= _tan2a= (_3)2=不3答案：5 练后悟通三角函数公式的应用策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律. 例如两角差的余弦公式可简记为： “ 同名相乘，符号反”；(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.1号点.1三角函数公式的逆用与变形用师生共研过关例 1 (1)在A3C 中，若 tan Atan 3 = tan A+ tan 3 + 1 , 则 cos C=；sin 10 1 - V5tan 10 解析由 tan Atan B=tan A + tan B

118、+ l,tan A+tan B1tan Atan B即 ta n (A + 8 )= -l,又因为 A + 5 (0 , n),所以A + 3 = , ，则。 =% cos。 = 乎 .sin 10_ sin 10cos 1。 1V5tan 10 cos 10。一小 sin 10_ 2sin 100cos 10 _ sin 20 _1一7 小 V 4sin(30o-10)-4*4kcos 10-sin 10l ) 答案 ( 呼(2)1 解题技法两角和差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和、差角公式变形：sin ( 1

119、Ttan a,tan /?).(3)倍角公式变形：降界公式. 提醒 tan atan p, tan a+tan ” ( 或 tan atan P), tan(a+4)(或 tan(a。 ) ) 三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题. 跟踪训练(1+tan 20)(l+tan 25) =.解析：(1 + tan 20)(l+tan 25)=l+tan 20+tan 25+tan 20tan 25= l+tan(20+25)(l-tan 20tan 25)+tan 20tan 25=2.答案：21号点：角的变换与名的变换定向精析突破考向 1三角公式中角的变换例 2 (

120、1)已知 cosg贝 11cos x + co sg ； )= ( )A . 乎 B . 由C. | D. 平/ J (2021甘肃、青海、宁夏联考改编) 若tan(a+2/0 = 2, tan 4 = 一3 , 贝 ! J tan(a+/?)(2)V tan(a+ 2fi)= 2, tan少 =-3,/.tan(a+/?)=tan(a+2/？ /?)=tan(a+20-tan 01 + tan(a+ 2/?)tan p2十3)1+2X (- 3)tan a=tan(a+/?/?)=- 1 - ( - 3 ) _11+( - 1)X(3)= 5 答案(1)D (2)-1 1 解题技法三角公式求

121、值中变角的解题思路(1)当 “已知角”有两个时， “ 所求角” 一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当 “已知角”有一个时，此时应着眼于“ 所求角”与 “已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“ 所求角”变成 “已知角”.考向2三角公式中函数名的变换例 3已知 cos(0+)= , 舒，则 sin(2一=.( 、l+cos(2+?J 4 解析由题意可得- =而，侬侬 + 当二一sin 2。 =g ,即sin 20=-=.因为 C O sG +gnX ), G(0, 3 )，所以 Ov咐，20G(O, 9 ，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2= ,由两角差

122、的正弦公式，可得sin(20-*n nsin 2 cos cos 2Osin =4X1 _ 3X3=4 Z 35 2 5 2 10 ，43小答案解题技法三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦. 跟踪训练1 .已知 tan， +温方= 4 ,贝！|c o s(， + ? = ( )A- 2B , 31415解析：选 CL1 , sin 。, cos 0 . 一si/O+cos2。由 tan 夕 +T Z=% 彳寻 n 7=4, 即 , -=4tan 0 cos 0 sin 0 9 sin Ocos

123、0:.sin cos 01 . / / 姑 l+cos(2 + z ) J -sjn 20 12sin /9cos 0 2X 1= 4, .c o s +5J = - - 2= -2-=二-= 72 . 已知 sin( z = 金墨 2寅，若羽襄 = 2 则 tan( +/ ?) =.4解析：.sin an -g, a又 Sin(a+/Q cos。 L； sin(a+ 夕 ) = 2cos (a+ 0 )以 .展开并整理，得/cos(a+ /?)= 3in(G+/0,Atan（ a+y?） = .答案续课时过关检测 3A 级-基础达标1. （ 2020全国卷H ）已知 2tan，

124、一tan（， + E ） = 7 , 则 tan， = （A. - 2 B. 1C. 1D. 2解析：选 D由已知得2tan 一詈”士 = 7 ,得 tan 0=2.1tan。2. tan 180+tan 12+tan 18tan 12 = ( )A. V3 B. y2C. 半 D .当解析：选 D Vtan 30=tan(18+12)=：an J : 理 A tan 18+tan 12=1tan 18 tan 12 3理 ( 1 - tan 18tan 1 2 ),；原式= 乎.3 . 已心知 t a(nn( j. +Aa ) = - 2 ,封则 J -丁sin 2 a2 a= ()A.

125、 21 2C. - 2D- - 2解析：选 D由题意得1211号 + ”1+tan al-ta n a= 2 .所以，1 - sin2 (sin a -co s。 ) ？ cos a-sin a 1 - tana j_cos 2a cos2a -sin2acos a+sin a 1+tan a2,4 . （ 2021 湖南岳阳一中月考）黄金三角形就是一个等腰三角形，其顶角为36。，底角为7 2 ,底与腰的长度比值约为0.618,这一数值也可以表示为/i=2cos 72。 . 若 = cos 36cos72cos 144,则卯z = (A.B- 8c- 4D. 1解析：选 C V/H= 2C

126、OS 72, n=cos 36cos 72cos 1440,mn=2cos 72cos 36cos 72cos 144=2sin 180cos 36 cos 72cos 144sin 36cos 36cos 720cos 144cos 18sin 720cos 72 cos 1440 sin 144cos 1442cos 184cos 18sin 288 sinQ80+270) cos 188cos 188cos 188cos 181即 /n = - d 故选C.o5 . （多选）下列各式中，值为;的是（A. cos哈 sin哈B.tan 22.5l-ta n222.5C. 2sin 19

127、5cos 195D.1+COSTo-2-解析：选 BC 选项 A, cos2 sin2j=cos|(2 X12)=C,SW= 2，错误;z = n tan 22.5 1 2tan 22.5。 1 1 干以选项也 1 - tan222.50 =2*l- tan222.5=?311 4 5 =V 正确;选项 C,2sin 195cos 1950=2sin(1800+150)cos(1800+15)=2sin 15cos 15=sin 30T正确;选项D,故选B、C.26 . （多选）（ 2021山东泰安一棋）已知sin， = 一 , 且 cos， 0 ,贝 ! ! （）4A. tan C.

128、 sin2 0cos20_ 2 / 4、后 2诋解析：选 AB 因为 sin。 = 一且 cos。 0 ,所以 cos 0 = 、/1= 方展所以 tan。 =-Y -,4 4 4 5故 A 项正确；tan2 =M ,故 B 项正确；sin2=, cos2 = ,所以 siMOvcos2。，故 C 项不4、后正确；sin 2， =2sin cos， = 9 2a + 以 ) 2” = 19所以C O S2= 齐,所以 cos 2a = 2cos2G 1 = zr.(2)因为a, p 为锐角，所以a + “ G(0, JT).又因为cos(a+/?) = 一当，_ 2 i所以 sin

129、(a+/J )=AJ1cos2(a+/?)= 5 ,所以 tan(a+y? )= -2 .4因为tan a = y所以 tan 2a2tan a1 - tan2a24所以 tan(ay? )=tan2a(a+P)tan2atan(a+/) _ 21+tan 2atan(a+/?) 11,B 级综合应用13.若 a 为第一象限角，且 sin 2a=sin（（z3： 0（九+” ） , 则也 cos（ 2“一）的值为（A. - 1 B. 1C. 1 D . 一（)解析：选 B由 sin 2a= sina- Jcos(7r+ a),得 2sin acos a=cos2 a.为第一象限角

130、，.cosaWO, ，tana=5 啦COS(2G? =/i(cos 2acos+sin 2asin ?=cos 2a+sin 2a= cos2a- sin2a+ 2sin acos a1 - tan2a+2tan a1+tan2a拉选 B.1 + (1 4 .设 z, 0, n , 且满足 sin acos 少一cos asin/?=L 则 sin(2a一夕 )+sin( - 2/0的取值范围为.解析：由 sin acos f i- cos asin 0= 1,得 sin（ a一夕） = 1,又。，夕 W0, n,: .- 7tW（Z冗, .1一” = 全OWIWTT,0WA=G一

131、畀花 ,即与 WQWTT,:.sin(2a 一4)+ sin(a2p)= sin(2a-a+ )+ sin(a-2a+ n)=cos a+sin a = s in (a + ?：. 。近亢，. . . 普W a+：近苧, - 2 s inVa +4y 2 J工lW */isin(a+gl,即 sin(2aj?)+sin(a2。 ) 的取值范围为1,1.答案：一LI1 5 .在钝角三角形A 8C 中，已知C 为钝角，A, 8 都是锐角，试探究P=sin(4+B),0=sin A+sin B, K=cos A+cos 8 的大小，并把P, Q, K 按从小到大的顺序排列起来.(1)当A=

132、30。，5= 30。时，求尸，Q, K 的值，并比较它们的大小；(2)当 A=30。，3= 45。时，求 P, Q, / ? 的值，并比较它们的大小；(3)由(1), (2)你能得到什么结论，并证明你的结论；(4)若将钝角三角形改为锐角三角形，P, Q, K 的大小又如何？A, 2cos vA/(5)已知A, B, C是ABC的三个内角，y=tan 5 + - - -*彳，若任意交换两sin 5 + cos - 2-个角的位置，y 的值是否变化？证明你的结论.解：当 4=30, 8 = 3 解时,P=sin(30+30)=sin 6 0 = * ,e =sin 300+sin

133、30=2sin 30=1,R=cos 300+cos 30=2cos 30=巾 ,A PQR.(2)当 2=30, 5= 45。时,P=sin(30o+45)=sin 30cos 45+cos 30sin 45_ lv & 近 v V2 V6+V2- 2X 2 十 2 “ 2 - 4 2=sin 30O+sin 45=； + 坐R=co 30+cos 45A/3 j/2 V3+V2= 2 十 2 = 2置 + 也 + 也木一取一2 0 一0 一 4 一 2 4 0 ,:PQ,；Q -R =1 + 6 _ 小 + 也 1小2 - 2 = 2 01 QR,：.PQR.(3)由，(2)猜想Pv

134、QvK.证明如下:V C 为钝角，04+靖 ,3, Bcos = sin B9cos A c o sg -A )=sin A,.RQ=cos A+cos Bsin A -sin Bsin B+sin Asin A -sin 3 = 0 , 即 RQ.V P - Q= sin(A+ B)- sin A- sin B=sin Acos B+cos Asin 6 - sin A -sin B=sln A(cos l)+sin B(cos A-1)0,：.PQ.综上可得PvQvR.(4)由知PQ.V P7?=sin(A+B)cos Acos B=sin Acos B+cos Asin cos A -c

135、os B= (sin A -l)co s B+(sn B -l)cos A0,:PR.A 3C 为锐角三角形，乙乙乙.R -Q =cos A+cos B -sin A -sin cos A+cos B -sin ( -B )-sin (j-A=cos A+cos B -COS B -cos 4 = 0 ,v。,综上，P R 2sin(加一a)+sin 2 2sin +2sin acos ac o s2(1+cos a)2sin a(l+cos a)= -: =4sin a.2(l+cos a)“ 1 - cos la 原式 = 一一1 - cos 2P 1+cos 22 + 21+co

136、s 2P 12 2cos 2(zcos 2fi =1 - cos cos 2a+cos 2acos IB . 1+cos 2/?+cos 2a+cos 2acos 2Z ? 1 1 , 1- - - 2COS 2acos 2夕 = 5 + 5cos 2acos 2/?cos 2acos 24 = ； . 解题技法三角函数式的化简要遵循“3 看”原则_ _ _j通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的一看角1拆分，从而正确使用公式二看函看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式,数名称常见的有“ 切化弦”三看结构特征:分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“ 遇-i到分式要通分”“ 整式因式分

137、解”“ 二次式配：方”等考向2三角函数恒等式的证明例 2 求证：sin(a+) ?)cos qgsin(2a+。 )一sin j3=sin 证明 Vsin(2a+y)= sin(a+ a +y)= sin acos(a+)+cos asin( z+ 夕 ),sin(a+/?)cos a - |sin(2a+ p)-sin p =sin(a+4)cos apin acos(a+0-2cos a sin(a+/)+pin fi=gcos asin(+/?)sin acos(a+/?)+pin 0=1sin(a+y?-a)+|sin /?=pin y?+pin 0=sin p.故原式成立. 解题技

138、法证明三角函数恒等式的三种方法(1)如果要证的三角函数恒等式中只含同角三角函数，则可以从变化函数入手，即尽量把等式中所含三角函数都化为正弦和余弦或全部化为某一函数；(2)如果要证的三角函数恒等式中含有不同角的三角函数，则宜从角的简化入手，尽量化复角为单角，或者减少不同角，以便能使用某一公式进行变形；(3)在证明三角函数恒等式中，“1”出现的频率较高，则可把“1”代换为 sin2+cos2a 或tan 45。等. 跟踪训练I sin(18()+2a). cos2a 竺丁 ,1+cos 2a cos(900+a)A. sin a B. cos aC. sin aD. cos aeL a .

139、 E V - sin 2a*cos2a - 2sin acos ae cos解析：选 D 原式=2cos2a(sina)= 2cos2a(sin a) =csa.2 .化简:2cos4x_ 2cos2x+22tanQxjsin2 + xl(4cos4x_ 4cos2x +1)解析：原式=2Xcos(2cos2%-l)2x Icoscos22xCO22X 1=2cos 2x=2c o s 2K答案：； cos 2x三角函数式的求值定向精析突破考向1给角求值例3计算:2cos 10。一2 小 cos(100。 )/1-sin 10 解析2cos l(T -2 S co s(-

140、1 0 0。 )/1-sin 102cos 10+2由 sin 1。 /1-sin 1010。 +乎sin 104cos 50 /l-2sin 5cos 5 cos 5-sin 5_4cos 50P怎cos 5。一坐sin 54cos 50 r-= 50。 =2 c 答案272考向2给值求值例4已知 ta n (a + g = 5且一VGVO,人,2匚sinE2a+sin= 2a()A . 菩B-嗜J 10 哈 tan a+1 1 1 解析 rta n (a + 7 = _tan .= 5 , A tan = 一?0 sin a 1 .91 9 n J. tan a = = _ z,

141、sinza-rcosza = l, a 彳, Ucos a 3 I 2 ,. . ._Vio sin a 0 . ZsiMa+sin 2a 2sin a(sin a+cos a) 答案 A考向3给值求角例 5 若 sin 2a=害，sin( - a ) = , 且兀 ,蚱兀，芟，则 a + P 的值是. 解析 V a e . n , .,.2aG 1, In ,又 sin 2a= ；, 2 a G ,兀 ) ，. g 2a- 挛,D且 aGI(/712)1又, . , 成必一 0 = 嚅，蚱 at, y , finJ, .COS(/a)3 M10 -cos(a+fi)=cos(fla

142、)+ 2a=cos(/?-a)cos 2a-sin(/?a)sin 2a= ( - 嚼x(- 嚼嘲爬邛.又 a + 昨传，2北 ) ，.a + /? = , 答案 y 规律探求看个性考向 1 “ 给角求值” 一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题.考向2 “ 给值求值”即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“ 变角”，使相关角相同或具有某种关系.考向3 ” 给值求角”实质上可转化为“ 给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角( 注意角的范围) . 在选取函数时，遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选正切

143、函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数. 若角的范围是(0 , 习，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0, n ) ,选余弦函数；若角的范围为( 一去。选正弦函数；(3)谨记 “ 给值求角问题口诀：求角大小象限定，函数转化标准型研究三角函数式的求值问题，解题的关键都是找出条件中的角与结论中找共性的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解跟踪训练1 . 求值:cos 20cos 35A/l-sin 20A. 1C .小B. 2D . 小解析：选 0原式 =侬35。卜禽二。s Wcos210-siiPlO。cos 100+sin 10cos 35(cos 1

144、0-sin 10)cos 35Vycos 10+ sn 1。 )cos 35_缶0式 45。 - 10。 ) _版0 35。 _ r-一 cos 35 = cos 35 =炉 2 . (2021 湖北八校第一次联考) 若确一， ) = 看则 s in + 2 ,= ( )s i n为因法D2425725-死以2425725所( :0( 2但一, = 1 Zsilr2修-4 = 1 2X 2=卷故选 D.法二：因为加伫一) = ( : 。 / _ 隹 _ ， ) = 0 ) + ) = , , 所以 cos管 + 2 0 = 2 。 21 = 一. 因为 cosR +点 + 2 , = -

145、s in 0 + 2 。所以 30岱 + 2 0 = , 故选 D.3 . 已知 a, P 为锐角， cos a=-9 sin fl= 3 ,贝！J cos 2a=, 2a/J=.解析：因为cos = 邛 ,所以 cos 2a= 2cos2a1= y.又见少为锐角，sin fl= 39所以sin a =吗工 cosy?=修，4小因此 sin 2a=2sin acos a= j ,所缶以力 sins(2 ay叭? )=逑-丫-X 13 -1V3A/3 V3因为为锐角，所以02Z 0 ,所以 02a?,又夕为锐角，所以一/v2a一夕 V ，又 sin(2所以 2a/?=?.乙j答案 .

146、1 -口 7 3国工_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. 三角恒等变换与三角函数的综合应用师生共研过关例 6 已知函数/(x)=(2cos2x l)sin 2x+lcos 4x.(1)求函数式x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若 aG(O, n), 且雅 d ) 著求 ta n (a + 的值. 解 (l)V/(x)=(2cos2x -l)sin 2x+|cos 4x=cos 2Msin 2x+cos 4x=(sin 4x+cos 4x)= 东加 ( 4*+胃函数人x)的最小正周期r= 7.令 2A7r+/W4x+fW247r+季 keZ,吟+云X吟+需

147、,k e z.，函数Ax)的单调递减区间为竽 +金，与 + 需 kGZ. M 抬 )=等 ,，sin(a- 3 = 1 .C L /八、加 7 1 3 7 r . 7 T 7 T 37r又 QW(O, n ) , 4 仪- .a - 4 = r 故 a = l 3n , nE d ( ta nT+ t a n3 1 + - r-因此ta n (a + J = 4不甫= 2 - 巾 .1tan-ytanj v 解题技法三角恒等变换综合应用的解题思路将大幻化为asinx+bcosx的形式；构造大x尸产R (口看 sin x + = c o s xj;(3)和角公式逆用，得/U )= d

148、P P sin (x+ 9)(其中为辅助角) ;(4)利用。) = , 2+=2加( % + 勿) 研究三角函数的性质;反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.1. 跟踪训练(2021-四合，、校双数研联考次x)=sin 2xl- 2 s in - 1X(14-/3tan x)的最小正周期为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _解析： yu)=sin 2x1 - cosl X ,1 -2 X -;S in 2 x X(l+V3tanx)2sinxcosx、， cosx+班 sinx ，厂.、， .，兀、 f =一而 X cosx =2(cosx+V 3sinx)=4sm

149、|x+J,则最小正周期 ,= 2 九答案：27r2 . 设函数 / )=sinx, x G R ,则函数尸 “+初2+ / ( “+ 孙的值域为解析：尸 /(x + 初2+ f(x + 圳 2=sin2fr+jV j+sin2fr + 7 )因此，所求函数的值域是 1 一坐，1答案： 1- 乎，1+坐课时过关检测A 级- - -基础达标1 . 若 sin(a+4)=38in(7ta+ 夕 ) ，a , “ (0 , 金，则 = ()A. 212B.C. 313D.解析：选 A Vsin(a+/?)=3sin(na+/?),A sin QCOS /?=2cos asin /?,

150、A tan a=2tan /?,- tan a 一 -,即ta n /? = 2 ,故选 A.、、但 1cos210 百十2 . 计算：- - - - - - -1 等于(cos 80 W 1cos 20)A.12B.D.2皿L L 上 1 - cos210解析：选 A -/ Jcos 80A/ 1 -COS 20sin210sin 10、/ l-(l-2 sin 2 1 0。 )sin210 A/2一色加210。 - 2 ,2cos2 +3 . 若cos住 + 2”)则 tan(2a+ g)= (12A.C. ID.1315解析：选 C2cos2a+ cosj+ 2a) 1cos 2一s

151、in 2a 1 tan 2asin 2a+ cos 2a 1+tan 2aAtan(2 a + ()=1 + tan 2a1 tan 2a=： . 故选C.4 . （ 2021 安徽省部分重点学校职考）已知sin a = - , 加（。一4） = 一 % - , a ,夕均为锐角，则夕=（）B . 鼻D.7 T6解析:选 C 法一:因为 0V V：所以一,V a 一户W ，X sin a = :, sin（ a/ / / / 3。）=一；, 所以 cos a = l- s iiP a n s , cos（（z - fl ） = y j l sin2（ a - fl ） =则 si

152、n 4=sinot-（ a - 0 ） =sin acos（ a一夕） -cos a sin一4） = 害申，则 pJ J.U 3 J.U J /=,故选C.法二：因为 OVaV4, 0/?T, 所以一/? V 4 ,又 sin a = 害， sin（（ z一4） = 一坐? ,所以 cos a= y 1 -s i n 2acos（ a一4） = 1 - siM8 _ 4）则 cos/= cosa-（ a - 0 ） =cos QCOS（Q- 0 + sin asin（ z一夕雪X（乎，则夕 = ? , 故选 C.3 1 v * 1U J 4_ 45 . （多选）己知sin

153、 a = -g , 1800a2700, 则下列选项正确的是（）. 24 . a 2 r A. sin 2a元 B. sin 5 一 1c a y fs aC. cos 5 = - 5 D. tan 5 = - 2解析：选 BCD V1800a270, Acos a = - ,（-5）X（_1）=25- 故 A 错误.Asin 2a=2sin acos a=2Xa smZTtan r/ = -（-X.-=-2,故 B、C、D 均正确.cos 56 .（多选）（ 2021 河北石家庄第二中学模拟）已知0v v,若 sin 2。 =%cos 20= ，且施则下列选项中与ta n 俘一0）

154、恒相等的有（）c. 1+/1 , 1 + 17 1mD1 - m解A F 析i 一：选j AD .sin2， = ，， cos20= ，. . . 苏+. 2 = i, . 1-. 丁tn ; 言n.,ta n1 - tan。 cos。一 sin。 (cos 8 - sin 9)(cos。 - sin 9) 1 - sin2。 1 -m 1+tan 0 cos 0+sin 0 (cos +sin )(cos 一 sin ) cos 20 n 1+rn 、Dsin 20sin 4007 -,cos 20cos 402cos-解析：原式=- - - - - - 2sin20+40 20-

155、4020+40 20-402-sin -22-sin -22cos 30。 011(一10。 )-2sin 30sin(-10)- 上- 布.2答案：一审8 .已知 co s(a + g sin 贝 ! sin(+ 与。 =.解析：由 cos( a + g - s in = c o s -s i a = c o sa -z sin a = yf3c)= 小 cos(a+ 3 = 小 & n / - =噜,得 s in /一。 )=4=5f察nas in ( 党Sinjar-(a+ )= - s in 6 - a ) =45,答案：一3 19 .已知 a , 夕均为锐角，且 cos(a4

156、) =M，co s(a + 4 )= g ,贝！I tan a tan 夕=,解析：由题意知，cos-y?)=cos cos/?+sin Q sin/?=g,cos(a+/?)=cos acos 夕 -sin asin 0= , 2I由得，cos acos 0 = g sin asin 0 = gayc sin asin11员 V tan atan 尸6 = cos acos p= 72答案：1 0 . 已知 a (0, 且 2sin2a sin acos a - 3cos2a = 0则sin(), 2sin a=3cos a923又 sin2a+cos2q=i, Acos sinsinuz

157、+孚 (sin a+cos a)*sin 2a+ cos 2a+ l (sin a+cos a)2+ (cos2asin2a)g 264cos a8 答案 : 孽11. (2021昆明市高考三诊一楼) 已知 sin(a+/?)=； , sin(a-)=1.(1)求证：sin a cos /?=5cos a sin 夕 ;(2)若已知 0V ”+ /? v , OVa一夕 4 ，求 cos 2a 的值.解：(1)证明：Vsin(a+/?)=sin acos/?+cos asin /?=,sin(a-y?)=sin acos cos asin 夕 = ,： 2sin acos y?+2cos a

158、sin 0 = 1 , 3sin acos /? -3cos asin fl= 1 , 得 sin acos夕一5cos asin 0= 0,则 sin acos y?=5cos asin 夕 .(2)V sin(a+/)=l, sin(a/?)=T, 0 a+/?, 0 a /?2c o s B- 2ac ；a2-Fb2e2c o s C- lab 逐点清1 . （必修5 第 4 页练习1慈改缁）已知4 8 C 中，4 = 今，a = l , 则。等于（）A. 2B. 1C. /3D. y/2解析：选 D由正弦定理而 = 熹，得 =六，s iy sin壶，； .

159、 / = & -2 22 . （兴修 5 笫 10页习题A 组 4 雁改编）在3 c 中， AB=5, AC=3, B C = 7 ,则NA 4c= ( )7 T6B.A.n3解析：选 C 因为在A 6C 中，设 A 6= c= 5, A C =h=39 B C = a = 7 ,所以由余弦定2 _ “2 942549 1理得cosZ BAC=-rr-=云- - - =一弓，因为Z BAC为ZkABC的内角，所以Z BACZ iD C JU /= . 故选C.3 . （易错题）在A 8C 中，若 A=60, a=4小,b=4巾,则 8=.解析：由正弦定理 W= 磊，bsinA 巾

160、义学也则 sin B- - = 2 .又 Q瓦则 A 8 ,所以8 为锐角，故 8=45.答案：45。重点二三角形的面积公式1. SAABC= 儿（儿为边a 上的高） .2. SAABC2asn C=hcsm A =acsin B.3. S = ； r（ a + 5 + c）（ r 为三角形的内切圆半径） . 逐点清4 . （兴修5 第 3 页例 1 改编）在A5C中，4=60, AC=4, BC=2yi , 则?18 c 的面积等于.解析：设A 8C 中，角A, B, C 对应的边分别为a, b, c.方 2-1 灯 202a 2 1由题意及余弦定理得cos A = -T7-解得

161、C=2.乙DC / 入q入c /所以 S=|fe csin A =1x4X 2X sin 60=23.答案：2小记结论提速度记结论1 . 在A5C中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A B a b sin A sin 30cos AtanB”的()A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件解析：选 C 在锐角A 8C 中，根据正弦定理丁7 = 丁不，知 sinAsin 3 0 a 6 0 4sin A sin a B , 而正切函数y= tan x在(0, ? 上单调递增，所以A 80 tan Atan B . 故选C.2 .已知ABC

162、的内角4 , B, C 的对边分别为a, b, c , 若 25cos 8=acos C+ccos A,则 B=.解析：因为 acos C+ccos A = b ,则 26cos B=b,.cos 3 = 弓, 又 OV6V九 ,答案：f考点分破理解透规律明变化究其本课堂讲练1琴点T利用正、余弦定理解三角形定向精析突破考向 1求边长例 1 （ 2020新高考全国卷I ）在ac=5，csin A = 3 ,c = 0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在4 5 C ,它的内角A,

163、 B, C 的对边分别为a, b, c, K sinA=V3sinB,注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解选条件.由 c 4 和余弦定理得笔士 =乎.o Lao 2由 sin A=d3sin B 及正弦定理得a=y3b.工于 b是2+ b2-苧c2 近, 由此可得6 = ， .由a c = 2+“2万 2 +。 2 02 1c2+ b c ,整理得庐十。 2一层= 加，于是cos A = = 2 ，所以A = 6 0 ,故选A.(2) +=上 +7A s in A+sin g =sin Acos A sin Bcos tan A tan B sin A sin

164、BAcos A=cos 3 sin B , 所以(sin A -cos A)2=(cos 3 sin B)2=sin 2A=sin 2 B ,所以在三角形 ABC 中, A =B 或 A + 3 = 1 当 A =B 时，则 2sin A=2cos 4=A =B =,所以 A + 6 = ， ,所以0 = 去当A+3=W 时，C =1 综上，C = 5 选 D. 答案 (DA (2)D 解题技法1 . 已知aA B C 中某些条件求角时，可用以下公式sin 4 = 经乎，sin 8 = 姆产，sin Ce sin A b2+ c2- a2 a2+ c2- b2 a2+ft2-

165、c2COSA = - , cos 8 = 2 c , c o s C = lab2 .已知ABC的外接圆半径R 及边，可用公式sin A =费，sin 8 = 4 ，sin C =会. 提醒 (1)注意三角形内角和定理(A + 8 + C =K)的应用；解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式. 跟踪训练1. ABC的内角4, B, C 的对边分别为a , 。，c , 若从=ac, c = 2 a ,贝 U cos C =（）近44C.34D.解析：选 B由题意得，b2=ac=2a2,即 b=y2a,a2+ b2- c2 a2+2a2-4 a2COS C= 2ab = 2ax亚4 ,2

166、. （ 2021 深圳亦统一测试）在中，角 A, B, C 的对边分别为m 儿 c , 若（ + m（ sinA -sin B） = （ - c ） sin C, b = 2 ,则的外接圆直径为.解析：利用正弦定理将已知等式转化为（ a+b）（ -Z 0 = （一c） c , 即 a2+ c2b2= ac9所以由余弦定理得cos B = - = 2 ，所以8=60.设AZJC的外接圆半径为K ,则由正弦定理知，2&=舟 =友 =柏 .答案：卑3. （ 2020全国卷 U） ZABC 中，sin2A -sin2B -sin2C=sin Bsin C. 求 A;（ 2）若 5 c = 3

167、 , 求ABC周长的最大值.解：（ 1）由正弦定理和已知条件得BC?-AC-ABACAB.由余弦定理得8 c2=AC2+A 炉一2AC A8cosA.由，得 cos A = T因为A，，所以4 = 季24c AB BC(2)由正弦定理及(1)得-: D=r= 7=2小 ,从而 AC= 2/3sin B, AB=2/3sin(nsin a sm c sin A B)=3cos B一小sin B.故 BC+AC+AB=3+yf3sin B+3cos B= 3 + 2由 sin(B + 又 0 0 ,贝 ! AbC 是锐角三角形B . 若 acos A=ftcos B9则是等腰三角

168、形C . 若cos C+ccos 则ABC是等腰三角形D - 若云=焉=.，则4S C 是等边三角形解析 V tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C0,：.A9 B , 。均为锐角，选项A 正确；由 acos A=Zcos B 及正弦定理，可得 sin 2A=sin 2B,*.A = B 或 A +B =?,.4 8 C 是等腰三角形或直角三角形，二选项B 错误；由 bcos C+ccos B = b 及正弦定理，可知 sin Bcos C+sin Ce os B=sin B,Asin A= sin B,：.A =B , .I选项C 正确；由已知和正弦定理

169、，易知tan A= tan B=tan C,选项D 正确. 答案 ACD 解题技法1 . 判断三角形形状的2 种常用途径2 . 判断三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件. 另外，在变形过程中要注意角4 , B, C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 跟踪训练1. （ 2021W庆六校联考）在A 3C 中，cos27 = -y （ a, b, c 分别为角A, B, C 的对边） ,则ZkABC的形状为（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 等腰三角形D . 等腰三角形或直角三角形解

170、析：选 A 已知等式变形得cos 6 + 1 = ? + 1 ,即 cos 8 = 孩 . 由余弦定理得cos 8 =。 2 +。 2 -。 2 +。 2 - 7 - -, 代入得一7 - -= 7 , 整理得 + 2 = c 2 ,即 C 为直角，则ABC为直角三rc/c /ac c角形.A . _ , sin A+sin C b+c 、4rz2 . 在ABC 中，己知一而下一 = - y 且还满足。 (sin A -sin 3)= (c力(sin C+sinB)；)cosA +acosB=csinC 中的一个条件，试判断ABC的形状，并写出推理过程.解：由sin A+sin

171、C b+cac+a2=b2-bc9 Aa2 -Z 2+ acZc=O,，( 一 ) ( + + c)=0, :.a=b.若选4A B C 为等边三角形.由 (sin A -sin B)=(c-Z)(sin C+sin B)及正弦定理，得。 (ab)=(c )(c+ ) ，即 a2+b2- c2=ab.又 CG(0, n ) ,所以 C = $.,.A 5 c 为等边三角形.若选aA B C 为等腰直角三角形,因 bcos A+acos B=b +aa2+ c2-b2 2c2=c=csin C,.*.sin C=l, .*.C =90o, .45C 为等腰直角三角形.三角形的面积问题师生共研

172、过关例 4 (2020北京高考) 在A3C中，a + Z = ll,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(D a的值；(2)sin C 和 SAABC 的面积.条件：c=7, cosA = ；1 9条件：cos 4 =Q, cos B=T7.o 10注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分. 解选条件.(1)由余弦定理 02=b2+。 22 ccos A, b = ll a9 c=7, cos A = 得 a2= ( ll-a )2+ 4 9 -2 (ll-a )X 7 X (- )fl=8.(2) V cos A = A 6(0, n), .sinA=4.由正弦定理二

173、区了二一7 ，sin A sin C徨 . csinA 7 亚得 s m C - F - = = 2 ，由知 =n 。 =3,，SA A B C=%加in C =： X8X3X乎 =6小.选条件.(1)V cos A = l,o0, 2J, sin A=358 .(2)sin C= sin(nA B)= sin(A+ B )= sin Acos B+cos Asin B =亍.a + b = , a=6, .b=5.8c=a加in C =QX6X54 解题技法1 . 求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角( 角的大小或该角的正、余弦值) ，及其该角的两边，代入公式求面积；(2)若已知三角

174、形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积. 总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.2 . 已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边( 或两边) 有关联的角，利用面积公式列方程求解. 跟踪训练(2021广州市阶段训绘) 已知a, b , c分别是ABC的内角A, B , C的对边， sin2A+sin2C2一gsin Asin C=sin2B. 求 sin B 的值；(2)若 6=2, ZUBC的面积为吸，求ABC的周长.解：因为 sin2A+sin2C_sin Asin C=s

175、in2B,2所以根据正弦定理得a2+ c2- ac = b2,2a2 + c2-b2 / 1则 cs B= 而 = 启 = 亍因为 O V B V n,所以 sin B =cos2B=(2)因为ABC的面积为也，L 1 1 2s所以N2=3 csin ac.得 c=3.因为 b = 2 ,所以 2+。 2： = 4 , 则居 + 。 2=6.所以 a2+ c2+ 2 ac = b + 2 ac = 1 2f 即(a+c)2=12,因为 Q+C ( ) ,所以 a+ c = 2 / 3 .所以?13 c 的周长为。 +8+ c= 2 + 2 ， I 课时过关检测A 级- - -基础达标21.

176、ABC的内角A, B , C 的对边分别为a, b , c.已知a = 小，c = 2 , cosA =y则 A. V2B .3C. 2 D. 3解析：选 D 由余弦定理，得 5 = + 222X/X2X： , 解得分= 3(8 = 一；舍去)2. ZVIBC 中，角 4, B , C 的对边分别为 a, b , c.已知力= c, a2= 2 b2(l - s i n A ) ,则 A= ( )A苧B.n3n4C.D.n6解析：选 C 由余弦定理得 a2= b2+ c2-2bccos A=2b2-2 b2cos A , 所以 2*2(l-sin A)=2ft2（ l-c o s A） ,

177、所以 sin A = co sA ,即 t a n A = l,又 OVAVTT, 所以 A=.3 . （ 2021江西赣州月考）在A 3C 中，角A, B , 。所对应的边分别为a, b, c.若角A,B , 。依次成等差数列，且。 = 1 , 则 SMBC= （）A. 72 B. y3C .坐 D. 2解析：选 C 因为A, Bf C依次成等差数列，所以5 = 6 0 ,所以由余弦定理得方2=层+ c22ACCOS B9得。 = 2 , 所以由正弦定理得S%c=； csin 3 = 半，故选C.4. （ 2021合肥模拟）在A 5C 中，A=60, A B = 2 ,且4 5

178、C 的面积为彳，则 5 c 的长为（）A.B .小C. 25 D. 2解析：选 B 因为S=% A CsinA=： X2X坐 4。 = 乎，所以A C = 1 ,所以+ 4 0 -2 4 3 /0 :0 5 4 = 3 . 所以 3C =巾.5 . （多选）（ 2021育山市高三模拟）在4 5 C 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）A. b=7, c=3, C=3（） B. b=5, c=4, B=45C. a=6, b=34, 8= 60。 D. a=20, b=30, A=30解析：选 BC 对于A , 因为5=7, c=3, C = 3 0 ,所以由正弦定理可得sin

179、 8 = 姆斗7 x 1.- - = 1 ,无解；对于 B ,因为b=5, c=4, 8= 45。，所以由正弦定理可得sin :4 X也4 X 2 2 历5 =等 a ,所以8 有两个值，有两解.6 . 在A 8C 中，已知力=40, c=20, C = 6 0 ,则此三角形的解的情况是( )A . 有一解 B . 有两解C . 无解 D . 有解但解的个数不确定解析：选 C由正弦是理得卷=氤,. . 加inC 4()X 率 .sm B= = 2() =31. , . 角8 不存在，即满足条件的三角形不存在.7. (2021福州市道应性考试) A5C的内角A, B , C 的对边分别

180、为a, b , c ,若 acos 8+方 cos A =l ac,贝！j a=.解析：由题设及正弦定理得 sin Acos B + s i n Bcos A = 2asin C ,所以 sin(A + B) = 2asinC,又 A + 5 + C =T T, 所以 sin C = 2asin C ,又 sin C # 0 ,所以 a = ； .答案：|8 . 设ABC 的内角 A, B , C 的对边分别为 a, b , c ,且 a=2, cos C = -1 , 3sinA =2sin B9 则 c=.解析：V3sinA = 2 sin B ,，3。 =2反又 Z = 2 , ： .

181、 b = 3 .由余弦定理可知c2= a2+ b22 ab c o s C ,. * .C2= 22+ 32- 2 X 2 X 3 X ( - = 1 6 , ：.C=4.答案：49. (2021搞速备质量检测) /XABC的内角A, B , C的对边分别为a, h , c , a= 7 . 若 ( ? 的面积为今旦则其周长是 .解析：由面积公式可得SzkAsc=50csin A=W c , 又由题意知S/M6C=一,得儿=15.根据余弦定理，得层 = 2+。 2+儿，可得s+ c)2 尻 = 42,由a=7, b c = 5 ,解得S+c)2=6 4 ,即 5+ c =

182、 8 ,所以周长为a+b+c=15.答案：151 0 .在AbC 中，A C = y 3,且 cos2C cos2A- sin2B = /2sin B sin C,贝 ! J C=, BC=.解析：由 cos?。 - COMA- sin2b=- 也 sin Bsin C , 可得 1 - siiP。一（ 1 - siiPA） sin2b=一也sin Bsin C ,即 sin2A -sin2Csin2B = /2sin Bsin C .结合正弦定理得 BOA B Z A C2= 一 6 4 。4 5 所以cos A =孚，因为A （ 0, &r） , 所以4 = 9 ,则 C=;rA3

183、= 碧由; 4 /y4Sill I J= 而 7, 解得叱 = 答案：得小11. （ 2020全国卷n ） ZA8C的内角A, B , C 的对边分别为a, b, c ,已知cos2e +A） +5cos 4 = 不求 A；若 1=冬 , 证明：8 c 是直角三角形.解：（ 1）由已知得 sin2A +cos4=* 即 cos2?!cos A + ； =0.所以（ cos A - 2 = 0 , cos A = ； . 由于故 A = ?（ 2）证明：由正弦定理及已知条件可得sin B- sin C理 4= 2 S ln y*由知3 + C = 亨，所以sin 5 sin

184、一5）= 3 sin ?即: sin 3 一坐cos B =z, sin（ B? ） =； .由于故=与.从而5 c 是直角三角形.12. （ 2021武电宏达学校模拟）在ABC中，a= y f2, c = M ，（补充条件） .（ 1）求ABC的面积；求 sin（ A +B） .从力= 4 , c o s 8 = - g , sin A = 曙这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：选择.(1)在A8C 中，因为。 =g，c=V?b, b=4,由余弦定理得a2+ b2 c2 (V2)2+ 42(A/10)2 也cos C= 2

185、ab = 2XV2X4 = 2 ,_ 打因为 CW (0, 7 T ), 所以 sin C=yj 1cos2C= 2 所以 S = 5 加in C =： X iX 4 X 乎 =2.(2)在ABC 中，A + B = n -C .” . y2所以 sin(A+B)=sin C= .选择.(1)因为 co s6 = 一坐， e(0, n),_ 2 i所以 sin B = yllcos2B = ,因为=&,所以S=|acsin B = ccos A ,1 _ y 5-l2cos 36 - 2/. cos 36=又；sin 1 314=sin(3X360+234)=sin 234=sin(180+5

186、4)= -sin 54得(6)2 = + ( 痂 ) 2 2乂师父奇俱。，解得b = 2或= 4.(1)当 5=2 时，S = ； %sin A =； X2X屈X烝=1.乙乙 J L v当 6=4 时，S = ； bcsin A =；X 4 X /I5X = 2 .由 a= V i, c = s i n A= , s i n A=sin c，得 sin C =乎，历在。中，A + B = n C , sin(A+B)=sin C = .B 级综合应用13. （ 2021北京人大附中月考） 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过： “ 几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一

187、个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿. ”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为 36。的等腰三角形（另一种是顶角为108。的等腰三角形） .例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中,B C 45-1A C 2.根据这些信息,可得 sinl314=( )4+y 5B. - g2小一1C.一 4 D.5+1一 4解析：选 D在A B C ,由正弦定理可知5C_ sinN8AC_ sin 36AC=sin ZABC=sin 72sin 362sin 36cos

188、 361_ +l后= 4= -sin (90-36)= -cos 3 6 = - 4 .故选D .1 4 .在ABC中，角 A, B, C 的对边分别为a, b, c , 且+ 2小加 = 2 + c2 -a 2 小 be 小员 “ 8 s 4 = 荻 = 2儿 = 2 因为O V A V n,所以4 = 菅，由儿= 小层及正弦定理，得 sin Bsin C=y/3sin2A =y/3 x 4 = 4 ,即 4sin(7r-C-A)sin C=y/3,即 4sin(C+A)sin C=4sin(c+*)sin C =6，整理得小cos 2C=sin 2 C ,则 tan 2C=小 ,又 0

189、V2CV争，it . 47r yr v 27r即2 c = 或y,即。 =7或.答案：春或515. (2021沈阳市教学质监测) ZkA3c的内角4, B, C 的对边分别为a, b, c , 已知acos B+ bcos A = a c , sin 2A=sin A. 求A及(2)若分一c = 2 ,求 5 c 边上的高.解：(l)Vacos B+bcos A =-ac,s* .由正弦定理得 sin Acos B+sin Bcos A = ya sin C,.sin(A+8)=冬sin C , 又 A + B = it-C ,木A sin C=yasin C , 又 sin 0 0

190、,a=y7 ,Vsin 2A=sin A, A2sin Acos A=sin A , 又 sin A0,Acos A = 1,V A e (O, it), .*.4=.(2)由(1)及余弦定理 a2= b2-c22bccos A ,得 b2+ c1bc= 7.将力= c + 2 ,代入) 2+c2一 %= 7 , 得 c2+2c3=0,解得c = l 或 c = 3(舍去) ，.力= 3. . a c . csin A 721 sinA -sinC ， sm C _ a - 1 4 ,设BC边上的高为h ,则h= hsin C = .C 级迁移创新16. (2021山东省高三一楼) 在A 8C

191、中，a, 6, c 分别为内角A , B , C的对边，2加= (Z 2+ c2- a2)(l-tan A). 求角 C；(2)若 c=2师，。为 8 c 的中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度 .条件：ABC的面积S = 4 且 BA；条件：COS8 = .注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.解：(1)在ABC中，由余弦定理知庐+c2-q2=2bccosA,所以 2b2= 2bccos A(l -tan A ) ,所以 ft=c(cos A -sin A ).- - 、 4F L 力 sin B又由正弦定理” = 而下，得 sin B = sin C(cos A

192、 -sin A),所以 sin(A + O =sin C(cos A -sin A),即 sin Acos C+cos Asin C=sin Ce os A -sin Csin A,所以 sin Acos C = -sin Csin A.因为 s in A # 0 ,所以 cos C = -sin C ,所以 tanC= - 1,又因为0C7T,所以。 = 学(2)选择条件：A5C的面积S = 4 ,且因为加in C , 由可得ab= 8y /2,再由余弦定理可得c2= a2+ b22abcos C ,所以 a2+ b2= 24, ab= S y f2,解方程组a2+ b2= 24,解得1。

193、=4,力=2收(a= 2y l2,或1U=4.(a= 2y i,又因所以力 a ,所以， b= 4.所以 CD=BD=在ACD 中, A D2= C A2+ CD2- 2 C A C D cos C= 1 6 + 2 -2 X 4 X 2 XCOS 点 =26,所以选择条件：COS5 = &因为cos 3 = 整 5 , 所以sin 3 = 害.因为 sin A=sin(B+C)=sin 3cos C+sin Ce os- - 、 A c a c s i n A 一二由正弦 A 理知 T, 所以 Q = 77= 2y l2,sin C sin A sin C 丫所以 C D = B

194、D = 2,在ABD中，由余弦定理知AD1=AB2+BD2-2AB BD COS B ,解得AO= 丞.第七节解三角形应用举例备考领航重点准逐点清结论要牢记课程标准解读关联考点核心素养能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1 .解三角形的实际应用.2 .正、余弦定理在平面几何中的应用.3 .解三角形与三角函数的综合问题1.数学建模.2.直观想象.3.数学运算知识逐点兖羽课前自修重点准逐点清重点实际问题中的常用角1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图） .铅垂线线平线水视京

195、2 .方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图） .3 . 方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东a ,即由指北方向顺时针旋转a 到达目标方向（如图）；（ 2）北偏西a , 即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；（ 3）南偏西等其他方向角类似.4 . 坡角与坡度（ 1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角，为坡角）；（ 2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，i 为坡度） .坡度又称为坡比. 提醒（ 1）仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的；（ 2） “ 方位角”与 “ 方向角”的区别：方位角大小

196、的范围是 0,2n），方向角大小的范围是逐点清1.（兴修5 第 11页例 1 改编）如图，设点A, 8 在河的两岸，一测量者在 A 的同侧所在的河岸边选定一点C ,测出A, C 两点间的距离为50m,Z A C B = 45, ZCAB= 105 ,则 A, 5 两点间的距离为（）A . ”即 m B. 25y 2 mC. 502 m D. 5( h/3 m解析：选 C 在ABC 中，ZABC=30,由正弦定理得焉 = ,所 50 A B即豆2 2所以 AB=5(h/5(m ),故选 C.2.（兴修5 第 13页例 10改编）如图所示，D , C , 8 三点在地

197、面的同一条直线上，DC=a ,从 C ,。两点测得A 点的仰角分别为60。，30。，则 A 点离地面的高度AB=解析：由已知得NZMC=30, AADC为等腰三角形，4 0 = 巾a ,所以在R t A A D B1 S中，A B= A D= 2 a.答案： a43 . （易错题）若点A 在点 C 的北偏东30。，点 B 在点 C 的南偏东60。，且 A C = B C ,则点A在点B的方向上.解析：如图所示，ZACB=90,又 AC=BC,二 N C B A =45,而 “ =30,.,.=90o-4 5o-3 0o=15. . . 点A 在点3 的北偏西15.答案：北

198、偏西15考点理解透规律明变化究其本课堂讲练11点 T解三角形的实际应用定向精析突破考向 1测量距离问题例 1 （ 2021 武汉模拟）如图，一艘海轮从4 处出发，以每小时 24海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30 分钟后到达B处，在 C 处有一座灯塔，海轮在4 处观察灯塔时，其方向是南偏东 70。，在 8 处观察灯塔时，其方向是北偏东65。，那么 8, C两点间的距离是（）A. 6 6 海里 B. 65海里C. 8小海里 D. 8小海里解析过点C 向正南方向作一条射线。，如图所示.由题意可知，ZZ?AC=70-4 0 =30, ZACD=110

199、,所以 Z A C B = 110-65=450.48=24X 0.5=12（海里） .在A 8C 中，由正弦定理得汗集 = 百嚼，即黄=半，所以BC=6 i （海里） . 故选2 2A. 答案 A 解题技法测量距离问题的2 个求解策略（ 1）选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；（ 2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.考向2测量高度问题例 2 （ 2021开封模拟）国庆阅兵上举行升国旗仪式，在坡度为15。的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个

200、垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60。和 30。，第一排和最后一排的距离为24.5 m ,如图所示，则旗杆的高度约为（）A. 17 mC. 30 mD. 35 m 解析如图所示，依题意知NAEC=45。，ZACE=180-60o-1 5o=105, /. Z EAC= 18。。 -45。 -1。 5。 =3 % 由正弦定理由正 = 后正，可得 4C = 蠹X sin 45= & m ） ,. . 在中，AB=AC-sinZ ACB=挈.60。 =挈 X 焊噌=30(m). 答案c 解题技法测量物体高度的求解策略高度也是两点之

201、间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度( 某线段的长度) 纳入到一个三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.考向3测量角度问题例 3 游客从某旅游景区的景点4 处至景点C 处有两条线路. 线路 1 是从A 沿直线步行到C , 线路2 是先从A 沿直线步行到景点B 处，一 c然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的号倍，甲走线路2 , 乙走线路1 , 最后他们同时到达C 处. 经测量，48= 1 040m,BC=500 m ,则 sinZ BAC 等于. 解析依题意，设乙的速度为xm/s

202、,则甲的速度为& m /s,因为 AB= 1 040 m, 8 c =500 m, ,AC 1 040+500所以丁= - H解得 AC=1 260 m.在ABC中，由余弦定理得，,4 炉 + 4 一8 。1 ()4伊 + 1 26()2-5002 口cos Z BAC= 2ABAC = 2X1 040X1 260 =13,所以 sin N B 4 C = y i-COS2N5AC= 1 【答案n 解题技法测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解. 跟

203、踪训练1 . 甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60。的方向，相距a 海里的8 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的小倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东方向前进,则 3 =( )A. 15 B. 30C. 45D. 60解析：选 B 如图，设两船在C 处相遇，则由题意得NA8C=180-60A C = 120 ,且由正弦定理得A C sin 120 C=sinZ B A C=所以 sinNB4C=又因为 0N5AC0,所以 x=/51 , 所以 cosN80C=/51. 解题技法与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据

204、化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 跟踪训练JT . D如图，在四边形 ABC。中，ZDAB=y A D ： A B = 2 ： 3, B D = y j7,A B A .B C ./ cA B(1)求 sinZABD 的值；(2)若N3C D=空，求 CD的长.解：(1)因为AO ： AB=2 ： 3 , 所以可设AO=2,AB=3k, k0. 又 B D = Z DAB=,所以由余弦定理，得( 由)

205、2=(3Jt)2+(2A)2-2X3A=3 厂,所以 sm N 08C= 7 , 所以sinN8C0=sinNBC所以但 = 喳21号点 1解三角形与三角函数的综合问题师生共研过关例 5 已知函数/U) = cos2尤 + ， sin(7 T X)COS(T T + X)(1)求函数/U )在 0, E上的单调递减区间；(2)在锐角ABC中，内角A, B , 。的对边分别为，b, c , 已知人4 )= 一1, a=2,bsin C=asin A , 求AbC 的面积. 解 (1 )f(x)= cos2x- /3sin xcos x-X- s in 2 x - = sin(2xjr jr

206、jr令 24江 5W2%/ 辽2% 元+ 5 ， kGZ ,得 AT：一会kGZ ,又 x 0, n ,函数Ax)在 0, E上的单调递减区间为 o , 用和愕， .(2)由( 1)知 Ax)= sin(2x一,)= sin(2A )= 1,jr：ABC为锐角三角形，.OvAq,. 冗 c , 冗57r 几加加 4 n.-7 2 A -7 0时，f= 1 时，y 取最小值，ymi n = a.即 a=3.当aWO时， = 1 时，y 取最小值，ymi n = a.即= 一3. 答案一3 或 3 点评可化为y= /(sin 力( 或y=#cos % ) ) 型三角函数的最值或值域可

207、通过换元法转为其他函数的最值或值域.类型二三角形中的最值方法 1转化为三角函数利用三角函数的有界性求解典例 3 在A5C 中，a2+ c2= b2+ y f2 ac . 求 5 的大小；求， icos A+cos C的最大值. 解 (1)由余弦定理和已知条件可得y 2 ac y 2l ac - 2 又因为O V bV jr,所以3 = 全(2)由(1)知 A + C =苧，所以， ico s4 + co s。 = 也( : 0 4 + ( :0鲁 - A)=/2cos A _ 2 c o s 2 sn A= c o s A + 坐 sin A= cos(A - 因为0 A C ,故NCD

208、A为锐角，所以NCZM=60, D 正确，C 错误.5 . ( 多选) 在ABC中，a, b, c 分别是角A, B, C 的对边，C 为钝角，且 c-Z=2ZcosA , 则下列结论中正确的是 ( )A. a2=b(b+c) B. A=2BC. 0 co sA | D. 0=2bcosA ,所以由余弦定理得c一6=25 , 因此c(c6)=62+ c2a2, 整理得Q2=)S+C) , 故 A 选项正确；因为c5=2Acos A , 所以由正弦定理得 sin Csin B=2sin Bcos A, 即 sin(A+B)sin b=2sin Bcos A, 所以 sin Ac

209、os 8 - sinBcos A=sin B , 所以 sin(A-B)=sin 3 , 由于 C 是钝角，所以 A - B = B ,即 A = 2 8 ,故 B选项正确；由于 A = 2 6 ,且 0 9 0 , 所以 0VAV60, 0 B COSA ； , 0sin B C=45。 ,则 BD=.解析：如图，易知sinNC=： ,“ 3cos N C =M.在8D C 中，由正弦定理可得BD _ BCsin Z sin Z B D CBCsinZCA B D = sin Z BDC3 X5 122一啦一 5 -2答案 : 喈BD10 .已知ABC 中，AC=4, B C = 2

210、S，ZBAC=60, ADBC 于点 D , 则而的值为 .解析：在ABC中，由余弦定理可得B G u A G + A 4- 2AC/5COSN 3A C ,即 28=16, ， 28+36-16 2由+AB2 4 A B ,解得 A B = 6(A 3= -2 舍去) ，则 cosNAAC= 2义奇xg = 十B D= AB c o sZ ABC=6义平C D = B C -B D = 2 S - =半,所以卷 =6.答案：611 . 在ABC中，内角A, B, C 的对边a, b, c 成公差为2 的等差数列，C=120.（ 1）求边长a；求 AB边上的高CD的长.解：（ 1）

211、由题意得，b = a + 29 c= a+ 4,层+ 严一/由余弦定理cos C =-7-7-,得 cos 120=。2 + ( + 2 )2 -(0 + 4)22a(a+2)即2a6 = 0 , 所以a = 3 或 a = - 2（舍去） . 所以。 = 3.法一：由知a=3, b=5, c=7,由三角形的面积公式得lafe sin ZACB=zcX CD,W AX近absinN4cB 3X5X 2 1 5 s所以 C D - 0 - 7 - 14 *即4 3 边上的高C D = .法二：由(1)知 a=3, b=5, c=7,3 7 7由正弦定理得二 / 4- 二 / .r!? =

212、1 1sin NA sin NACS sm 120即 sin N A = 4,在 RtZkAC。中，CO=ACsinN4=5X喏即A 8 边上的高。 =号.12. （ 2021西山市高三第二次模考）某海域的东西方向上分别有 XA, 3 两个观测点（如图），它们相距5（ 3 + 5）海里. 现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45。，B / /点北偏西60。，这时，位于 3 点南偏西60。且与 8 点相距2所海里的C 点有一救援船，其航行速度为30海里J、时.（ 1）求 8 点到。点的距离B D ；（ 2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求

213、该救援船到达I ）点需要的时间.解：（ 1）由题意知4 8 = 5 （ 3 + 巾）（海里），ZDBA=90-6 0 =30, NZM 8=90-45=45,所以 NAO8=180（ 45+30） =105,在ZM3中，由正弦定理得s nZ D A B sin Z A D B9A5 sinNO45 5(3+小 /加 45所以0 3 =sin Z A D B5(3+V5sin 45。sin 45cos 600+cos 45sin 605啊小+ 1 ）皿舟通电、6+1 -丽（海里）（ 2）在OBC 中，Z D B C = Z D B A + ZABC=30+（ 90-60

214、） =60, 3 。 = 2即（海里） ,由余弦定理得 ZDBC=300+1 2 0 0 -2 X 10V3X2（ h /3 x |=900,所以CO=3（）（海里），则需要的时间， = 瑞 = 1（小时） .因此救援船到达O 点需要1 小时.B 级综合应用1 3 .在A8C 中，内角 A, B , C 对应的边分别为 a, b, c, A, sin C+sin(B-A)= ， is in 2 4 ,则角A 的取值范围为()A . (0, 1 B . (0, 九冗 7 T 九一C g 3 D . 俗 3j解析：选 B 在ABC 中，C = n (A + B ),所以 sin(

215、A +B)+sin(5-A )=disin 2 4 ,即2sin Bcos A=2y2sin Acos A , 因为 AW4，所以 cosAW O,所以 sin B = g sin A , 由正弦定理得，b = y2 a ,所以A 为锐角. 又因为sin 5 = ， isin AG（ 0 ,l ,所以sinAG （ 0 , 坐 ,所以AG（ 0 , 富1 4 .（多选）已知四边形A5CO内接于圆O, AB=CD=5, 4 0 = 3 , Z B C D =60,下列结论正确的有（）A . 四边形A5CD为梯形B . 圆。的直径为7C . 四边形A3。的面积为挈D. A3。三边的

216、长度可以构成一个等差数列解析：选 ACD ：AB=CD=5, AD=3, ZBCD=60, A ZBAD= 120,可证8A。 CDA, NBAO=NCZM = 120, A Z BCD+ Z CD A = 180, ：.B C /D A ,显然 AB 不平行于C D ,故四边形A5C为梯形，A 正确；在BA。中，由余弦定理可得切二人中+AD1-2AB-ADcos N8AO=52+322X5X3Xcos 120= 49,，8O =7, . . 圆 O 的直径不可能是7 ,故 B 错误；在5CZ)中，由余弦定理可得2cBNBCD,/.72=CB2+52-2X5XCBXC O S 60,解得

217、 C8=8 或。 8 = 3(舍去) ， ,54切0 = 占 4 4 0 节加12()=gx5X3X坐SABc/=|cB-CD-sin 60o= 1 x 5 X 8 X = l( h/3, AS 0逆形A BCD= SABCT+SAB4D= + 1OV 3 = ,故 C 正确；在ABO 中， AO=3, AB=5, 8 0 = 7 ,满足AO+8O=2A8, .4 8 0 三边的长度可以构成一个等差数列，故 D 正确 . 故选 A、C、D.15. （ 2021福州市质量检测）在CD=4。，s in /B A C = ,AC=平这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答.

218、已知四边形4BCD为圆的内接四边形，, 4 3 = 1 , B D = A D = 2 ,求 5 c 的长.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：由题意作出图形，如图所示,：AB=l, B D = AD=2,由余弦定理得4炉 +4。2BDcos N BAD= 2ABAD1+4-7 1= -4-=V又, . ( ) sin C=ch,“ , absin C 433、 , 3、， 5 4335所以/ , =1 - = 正义 5 义丽 = 号选择条件，(1)(28Q)COS C =CCOSA9由正弦定理得(2sin B -sin A)cos C=sin Ce os A,所以 2

219、sin Bcos C=sin(A + O =sin B,因为 5 (0, 7 t),所以 sin BW O,所以 cosC=g.又 C (0 ,九) , 所以C4，所以sin C=(2)由正弦定理得c= 2X 斗 Win j= 4 ,由余弦定理得c2= a2+ b2-2abcos 胃= ( + ) 23。 5=16,( 。 +6)216所以 ab= ,得 Q5=3.于是ABC的面积S = ；。加in C=ch,3X坐所以h=absin C3 s8 .二、探索条件型典例 2 甲、乙两同学在复习数列时发现曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列 % 的前项

220、和为&,已知.(1)判断 Si, S2, S3的关系;(2)若见一“ 3 = 3 ,设瓦产今即记瓦的前项和为 7“，证明：甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比g 的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是Si, S3, S2成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题. 解由S i, S3, S 2成等差数列得S1 + S2 = 2S3.ai+ 3i+ aig)= 23i+ aiq+aig2),由题知i #0,故 2 q 2 + g = ().又qWO, ； q =一以上各步均可逆推，该题缺少的条件是g = -

221、g .本题解答如下：(1) . = 一;, c 1 1 C 1 I 1 3 8 2 = 4 1 - 5 4 1 = 5 0 1 , 5 3 =淤1 + 41 =心1又 Si=ai, /.2S3=SI+S2.(2)证明：由已知可得由一 1 (一； =3. 访 = 4 , 斯= 4 ( 一 ? 一 1.，瓦=3.2 _0.,.7=美 +打扛 +岛 ) , % =鉴 +W +次+ 工) 一得;T=1(I+T+/+册芳). T _ % 2 尸 4 2+ 1 4 * 7=史 2厂 3予 = _ 3 F7与点评 (1)结构不良型试题类型很多，常见的有选择条件型和探索条件型两类，它们都属于题干条件不充分

222、，需选择某条件补充完整或探索某条件补充完整；(2)在解决该类问题时，首先要确定问题是否存在，其次认真分析问题的背景信息，把握问题的实质，不同的选择可能导致不同结论. 跟踪训练在平面直角坐标系xOy中，已知点。 ( 小，0 ) , 直线/ ： x = 2 事 ,动点P 满足到点。的距离与到直线/ 的距离的比值为半，已知点”( 一小，0), G 是圆 E：产+ 产一2小 X一2 1 = 0上的一个动点，线段4 G 的垂直平分线交GE于点 P , 点 S, 7 分别在x 轴， y 轴上运动，且|S T |= 3 ,动点尸满足市 = 坐凉 + 小涛 .(1)在，这三个条件中任选一个，

223、求动点尸的轨迹C 的方程；(2)设圆O ： x2+ y2=2上任意一点A处的切线交轨迹C 于 M, N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：若选，设 P(x, ) ,根据题意得叱言翳=坐，桔+ 9 = 1 ,所以动点尸的轨迹C 的方程为 + = 1 .o J若选，由 E: *2+y2-25 * - 2 1 = 0 得(x - 5)2+y2=24,由题意得|P|=|PG|,所以 | 印 + P E = P G + P E = EG = 246 HE = 2y j3,所以点尸的轨迹C 是以H

224、, E 为焦点的椭圆，设其方程为a + g = l(a 5 0 ),则 a = 祈，c = 4 ,所以6 = 小，所以动点P的轨迹C 的方程为5 + 4 = 1 .o J若选，设 P(x, y ), S (x , 0), T(0, y ) , 则 x 2 + ( 2 = 9 ,(*)因为加 = 当水 + 坐后 ,所以即 x = 2 x ,V = 同 ,Jf2 y2代入( * ) , 得了+、=1,2 V2所以动点P 的轨迹C 的方程为 + = 1 .o 3(2)当过点A 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，切线方程为x =巾或x= 小.当切线方程为x = g 时，不妨设6 )，

225、N(币,- 2 ),则以 M N 为直径的圆的方程为( 工一6 )2 + 产 = 2, ( i)当切线方程为了= 一地时，不妨设”( 一也，6 )，N(一也，一也) ，则以 M N 为直径的圆的方程为(* + g )2 + 炉 = 2, (u )由(i) ( ii) 联立，可得交点为(0,0).当过点A 且与圆。相切的切线斜率存在时，设切线方程为y=Ax+n,即 , 序 = 2%2+1).(y= kx+ m9联立切线方程与椭圆。的方程，得彳 + 且 _ 消去y , 得(1 + 2依 ) / + 4 / 九 x+ 2 帆26=0,则 =1642吸24(1 + 242)(2M26

226、)= 8(加26 23 )= -8 (2 炉 + 26公 - 3) = 8(42+1)0.设 M(X1, J i) , N(X29 J2),. 4km 2m26则处 + %2 = - + 2 4 2 , X I M= + 2士2因为 O M =(X1, J i) , O N = (X 2 , 72),所以 O A f ON =xix2iyiy2xx2-(kx+m )(kx2+m )=(l+k2)xx2+km(xi+x2)i-in2.i 2w2- 6 ,= (I+A)H j印 + 痴 - 4 kml+ 2 k2m23m2 - 6 - 6k2 3X2(R2+1)6 - 6公= -1 + 2 -2 -= i+ 2 k2 = 所以 O M J - O N ,所以以M N 为直径的圆过原点(0,0).综上可知，以 M N 为直径的圆过定点(0,0).

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数学第四章 三角函数、解三角形

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