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1、第八章第八章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计 量子统计的建立量子统计的建立 19251925- -19261926年产生了两种量子统计法：年产生了两种量子统计法：玻色统玻色统 计法和费米统计法。计法和费米统计法。 19241924- -19251925年，年，各自独立的发现了自旋为半整数的微观各自独立的发现了自旋为半整数的微观 粒子所服从的统计法则，即粒子所服从的统计法则，即费米费米- -狄拉克统计法。其狄拉克统计法。其 特点是：特点是：不能有一个以上的粒子据有同一个量子态。不能有一个以上的粒子据有同一个量子态。 从此量子统计物理学迅速建立起来。从此量子统计物理学迅速建立起来。 8.1
2、8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 1 1. .从非简并到简并从非简并到简并 玻尔兹曼统计适用的系统：定玻尔兹曼统计适用的系统：定域粒子组成的系统域粒子组成的系统，或者满足，或者满足经典经典 极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统 经典极限经典极限条件条件 ( (非非简并简并条件条件) ) 1ll lae+=单原子理想气体单原子理想气体的配分函数：的配分函数： 3/2 13(2)VZmkTh=3/2 1 23211ZVmkTeNNhn =3 1/3111enn l llae =不满足非简并条件的气体称为不满足非简并条件的气体称为简并气体简并气
3、体, ,需要采取玻色统计或费米需要采取玻色统计或费米 统计的方法来处理。统计的方法来处理。微观粒子全同性原理微观粒子全同性原理决定了二者与玻耳兹曼系决定了二者与玻耳兹曼系 统不同的宏观性质。统不同的宏观性质。 leall=1=+leal l1+=+leal l玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布 玻色分布玻色分布 费米分布费米分布 定域系统和非简并定域系统和非简并 气体气体 由玻色子构成的由玻色子构成的 简并气体简并气体 由费米子构成的由费米子构成的 简并气体简并气体 适用范围适用范围 2.2.玻玻色系统热力学量的统计表达式色系统热力学量的统计表达式 系统系统的平均总粒子的平均总粒子数数 1ll l ll
4、Nae+=1ll lae+引入引入巨配分函数巨配分函数 llllle=1 )1ln(lnlell=其对数为其对数为 lnN= 1lllle e =ln(1)l l le = 内能内能 1lll lll lleUae =lnU= 广义力和物态方程广义力和物态方程 l l lYay=1lnYy= 1lnpV=对于简单对于简单系统系统 1lnZUN= 对比对比玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布: : 1lnZNYy= 对比对比玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布: : ln(1)l l le =1lll l le ye =1ln(1)l l ley = 熵以及参数熵以及参数和和的确定的确定 lnU= 1lnYy= 根据开
5、系的热力学基本方程根据开系的热力学基本方程 这表明这表明 是是 的的积分因子。积分因子。 lnln()dUYdyddyy= +lnN= dyyddd+=lnlnlnln注意注意到到 是是，y的的函数函数，其全微分为其全微分为 lnlnlnlnlndddd= +lnln()dUYdyddyy= +lnlnlnlndddd= + = +lnlnln dNdYdydUlnN= lnln()lndUYdyddd= +这表明这表明 是是 的的积分因子。积分因子。 dUYdydN +1,kT=kT=lnlnlndSkdUYdydNkd=+=比较上两式，可得比较上两式，可得 dSNdYdydUT=)(1ln
6、lnlndUYdydNd+=前面得到：前面得到： ()lnlnlnlnSkkNU=+积分得积分得 玻尔兹曼关系玻尔兹曼关系 (1)! !(1)!ll B E llla a +=对于对于玻色分布，系统的微观状态数：玻色分布，系统的微观状态数： ln()ln()lnlnB Ellllllll lllaaaa=+=lllllaa!ln)!1ln()!1ln(ln1,1lla因为因为 ，利用斯特令公式可得，利用斯特令公式可得 1=+leal l 由玻色分布由玻色分布 lll laa+=+lnlllll aa ael+=+=+1可知可知 +=lllllllllllaaaaakln)ln()ln(ln+=
7、lllllllllaaaaklnln)ln()(lnB ESk=于是可于是可得得玻耳兹曼关系：玻耳兹曼关系： (ln)SkNU=+)()1ln(+=lll lllllaaaklnlnlll ll lllllakaaa+=+ln(1)l llll lllkeaa =+由统计力学的熵公式由统计力学的熵公式 因为因为 是是 （简单系统即简单系统即 ）的函数，以）的函数，以 为自然变量的特性函数是巨热力学势：为自然变量的特性函数是巨热力学势： JFNUTSN=VT,y，lnVT,巨热力学势巨热力学势 lnlnlnlnlnkT= +lnlnlnlnlnkT = +lnkT= =lnkTJ3 3. .费米
8、系统费米系统热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 费米费米狄拉克（最概然）分布：狄拉克（最概然）分布： 1ll l llNae+=+1ll lae+=+ 系统的总粒子数是所有能级上的粒子数之和系统的总粒子数是所有能级上的粒子数之和 引入费米系统的巨配分函数，定义引入费米系统的巨配分函数，定义 llllle1 +=lnln(1)l l le =+则费米系统热力学量的统计表达式与玻色系统热力学量的统计则费米系统热力学量的统计表达式与玻色系统热力学量的统计 表达式表达式完全相同完全相同。 平均总分子平均总分子数：数： lnN= 总总内能：内能： lnU= 广义力：广义力： 1ln,Yy= 1ln
9、pV=lnlnlnSk=lnF DSk=lnkTJ熵：熵： 玻耳兹曼关系：玻耳兹曼关系： 巨热力学势：巨热力学势： 例如：例如： lnN= lnln(1)l l le =+1lll le e =+1llle+=+l la=lnU= 1lll l le e =+1ll l le =+ll la=首先首先通过量子力学的理论计算，或者分析通过量子力学的理论计算，或者分析有关实验有关实验的光谱数据，的光谱数据， 获取热力学系统的能级表达式获取热力学系统的能级表达式和能级和能级简并度，由此计算配分函简并度，由此计算配分函 数，最后用热力学数，最后用热力学量的量的统计表达式通过配分函数计算热力学量，统计表
10、达式通过配分函数计算热力学量， 从而确从而确 定定系统的全部平衡性质。系统的全部平衡性质。 ll,（玻色和费米分布）巨配分函数（玻尔兹曼分布）配分函数1Z , ,U p S热力学量4.4.量子统计物理学处理热力学系统的一般方法量子统计物理学处理热力学系统的一般方法 8.28.2弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体 注意：这里注意：这里谈到的简并与我们以前说过的简并度是不同的谈到的简并与我们以前说过的简并度是不同的，以以 前简并度主要指一个能级上所有可能的量子态数前简并度主要指一个能级上所有可能的量子态数，现在的简并主现在的简并主 要指处理方法要指处理方法。 1.1.基本概念
11、：简并和简并度基本概念：简并和简并度 弱简并气体： e3n 或 虽小但不可忽略的玻色和费米气体 在体积在体积V 内，在内，在 pp+dp 的动量范围内，分子可能的微观状态数的动量范围内，分子可能的微观状态数 为，为， ?=1ll lae += ?l=约定约定：上面上面( (下面下面) )符号适用于符号适用于 费米费米( (玻色玻色) )气体气体 以单原子分子理想气体为例，不考虑分子的内部结构以单原子分子理想气体为例，不考虑分子的内部结构, ,分子只有平分子只有平 动自由度动自由度, , 其能量表达为其能量表达为 2221()2xyzpppm=+2 34 Vp dph在体积在体积V 内，在内，在
12、 +d 的能量范围内，分子可能的微观状态数的能量范围内，分子可能的微观状态数 为，为， 其中其中g =2S+1是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度。是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度。 3/21/2 32( )(2 )VDdgmdh2.2.从从分布的角度（不考虑配分函数分布的角度（不考虑配分函数 ）求内能和总粒子数）求内能和总粒子数 根据玻色（费米）分布，在体积根据玻色（费米）分布，在体积V 内，在内，在 +d 的能量范围内的能量范围内 分布的分子数为分布的分子数为 11)(=+edDdN考虑到平动自由度的能级是连续的，当温度不太低时，求和可以考虑到平动自由度的能级是连续的，当温度不太低时，求和可以 用积分来近似，于是系统的用积分来近似，于是系统的总分子数总分子数为为 1ll l llNae +=1lll ll llUae +=系统的系统的内能内能为为 引入变量引入变量 x =，将上两式改写为：将上两式改写为： 1 2 3 2 3 02(2),1xVxNgmkTdxhe+=dxexkTmkThVgUx+
