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1、习题 881 求函数 f(x y)4(xy)x2y2的极值解 解方程组 求得驻点为(22). 024),(024),( yyxfxyxfyxfxx2 fxy0 fyy2 在驻点(22)处 因为fxx fyyfxy2(2)(2)040 fxx20 所以在点(2 2)处 函数取得极大值 极大值为 f(2 2)82 求函数 f(x y)(6xx2)(4yy2)的极值解 解方程组 0)24)(6(),(0)4)(26(),( 22 yxxyxfyyxyxfyx得驻点(0 0) (0 4) (3 2) (6 0) (64)函数的二阶偏导数为fxx(x y)2(4yy2) fxy(x y)4(3x)(2y
2、) fyy(x y)2(6xx2)在点(0 0)处 因为fxxfyyfxy2002422420 所以 f(0 0)不是极值 在点(0 4)处 因为fxxfyyfxy200(24)22420 所以 f (0 4)不是极值 在点(3 2)处 因为fxxfyyfxy2(8)(18)028180 fxx80所以 f(3 2)36 是函数的极大值 在点(6 0)处 因为fxxfyyfxy200(24)22420 所以 f(6 0)不是极值 在点(6 4)处 因为fxxfyyfxy2002422420 所以 f(6 4)不是极值 综上所述 函数只有一个极值 这个极值是极大值 f(3 2)36 3 求函数
3、f(x y)e2x(xy22y)的极值解 解方程组 得驻点 0) 22(),(0) 1422(),( 222 yeyxfyyxeyxf x yx x) 1 ,21(fxx(x y)4e2x(xy 22y1) fxy(x y)4e2x(y1) fyy(x y)2e2x 在驻点处 因为) 1 ,21(fxxfyyfxy22e2e024e20 fxx2e0 所以是函数的极小值 2) 1 ,21(ef4 求函数 zxy 在适合附加条件 xy1 下的极大值解 由 xy1 得 y1x 代入 zxy 则问题化为求 zx(1x)的无条件极值 xdxdz21222dxzd令 得驻点 因为 所以为极, 0dxdz
4、 21x022122 xdxzd 21x大值点 极大值为 41)211 (21z5 从斜边之长为 l 的一切直角三角形中 求有最大周界的直角三角形解 设直角三角形的两直角边之长分别为 x y 则周长Sxyl(0xl 0yl) 因此 本题是在 x2+y2l2下的条件极值问题 作函数F(x y)xyl+(x2+y2l2) 解方程组 222021021lyxyFxFyx得唯一可能的极值点 根据问题性质可知这种最大周界2lyx的直角三角形一定存在 所以斜边之长为 l 的一切直角三角形中 周界最大的是等腰直角三角形6 要造一个容积等于定数 k 的长方体无盖水池 应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小解 设
5、水池的长为 x 宽为 y 高为 z 则水池的表面积为Sxy2xz2yz(x0 y0 z0) 本题是在条件 xyzk 下 求 S 的最大值作函数F(x y z)xy2xz2yz(xyzk) 解方程组 kxyzxyyxFxzzxFyzzyFzyx0220202得唯一可能的极值点 由问题本身可知 S 一定)221,2 ,2(333kkk有最小值 所以表面积最小的水池的长和宽都应为高为.23k3221k7 在平面 xOy 上求一点 使它到 x0 y0 及 x2y160 三直线距离平方之和为最小解 设所求点为(x y) 则此点到 x0 的距离为|y| 到 y0 的距离为|x| 到 x2y160 的距离为
6、 而距离平方之和为221|162| yx222)162(51yxyxz解方程组 即 0)162(5420)162(522yxyyzyxxxz03292083 yxyx得唯一的驻点 根据问题的性质可知 到三直线的距离平)516,58(方之和最小的点一定存在 故即为所求)516,58(8 将周长为 2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体 问矩形的边长各为多少时 才可使圆柱体的体积为最大？解 设矩形的一边为 x 则另一边为(px) 假设矩形绕 px 旋转 则旋转所成圆柱体的体积为 Vx2(px) 由 求得唯一驻点0)32()(22xpxxxpxdxdVpx32由于驻点唯一 由题意又可知这种圆柱体
7、一定有最大值 所以当矩形的边长为和时 绕短边旋转所得圆柱体体积最大32p 3p9 求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体解 设球面方程为 x2+y2z2a2 (x y z)是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点 则此长方体的长宽高分别为 2x 2y 2z 体积为V2x2y2z8xyz 令 F(x y z)8xyz(x2y2z2a2) 解方程组 即 2222028028028azyxzxyFyxzFxyzFzyx2222040404azyxzxyyxzxyz得唯一驻点 )3,3,3(aaa由题意可知这种长方体必有最大体积 所以当长方体的长、宽、高都为时其体积最大32a10 抛物面 zx2+y2被平面 xyz1 截成一椭圆 求原点到这椭圆的最长与最短距离解 设椭圆上点的坐标(x y z) 则原点到椭圆上这一点的距离平方为d2x2+y2+z2 其中 x y z 要同时满足 zx2y2和 xyz1 令 F(x y z)x2y2z21(zx2y2)2(xyz1) 解方程组 02022022212121zFyyFxxFzyx得驻点 它们是可能的两个极值点 由题231 yx32mz意这种距离的最大值和最小值一定存在 所以距离的最大值和最小值在两点处取得 因为在驻点处 359)32()231( 2222222mmzyxd所以为最长距离为最短距离 3591d3592d
