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1、第一讲平衡问题一、特别提示 解平衡问题几种常见方法 1、力的合成、分解法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三力等大反向”的关系， 借助三角函数、 相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上， 得到这两个分力必与另外两个力等大、反向； 对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。2、力汇交原理：如果一个物体受三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必有共点力。 3、正交分解法：将各力分解到x 轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件)00(yxFF多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。值得注意的是，对x 、y方向选择时，尽可能使落
2、在x、y轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力。4、矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法求得未知力。5、 对称法：利用物理学中存在的各种对称关系分析问题和处理问题的方法叫做对称法。在静力学中所研究对象有些具有对称性，模型的对称往往反映出物体或系统受力的对称性。解题中注意到这一点，会使解题过程简化。6、正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。7、相似三角形法：利用力的三角形和线段三角形相似。二、典型例题1、力学中的平衡：运动状态未发生改变
3、，即0a。表现：静止或匀速直线运动（1）在重力、弹力、摩擦力作用下的平衡 例 1质量为 m 的物体置于动摩擦因数为的水平面上， 现对它施加一个拉力，使它做匀速直线运动，问拉力与水平方向成多大夹角时这个力最小？ 解析取物体为研究对象，物体受到重力mg， 地面的支持力N，摩擦力f及拉力 T 四个力作用，如图1-1 所示。由于物体在水平面上滑动，则Nf，将f和 N 合成，得到合力F，由图知 F 与f的夹角：arcctg Nf arcctg不管拉力T 方向如何变化，F 与水平方向的夹角不变，即F 为一个方向不发生改变的变力。这显然属于三力平衡中的动态平衡问题，由前面讨论知，当T 与 F 互相垂直时，
4、T有最小值，即当拉力与水平方向的夹角arctgarcctg90时，使物体做匀速运动的拉力 T 最小。（2）摩擦力在平衡问题中的表现这类问题是指平衡的物体受到了包括摩擦力在内的力的作用。在共点力平衡中，当物体虽然静止但有运动趋势时，属于静摩擦力； 当物体滑动时， 属于动摩擦力。由于摩擦力的方向要随运动或运动趋势的方向的改变而改变，静摩擦力大小还可在一定范围内变动，因此包括摩擦力在内的平衡问题常常需要多讨论几种情况，要复杂一些。 因此做这类题目时要注意两点由于静摩擦力的大小和方向都要随运动趋势的改变而改变，因此维持物体静止状态所需的外力允许有一定范围；又由于存在着最大静摩擦力，所以使物体起动所需要
5、的力应大于某一最小的力。总之， 包含摩擦力在内的平衡问题，物体维持静止或起动需要的动力的大小是允许在一定范围内的，只有当维持匀速运动时，外力才需确定的数值。由于滑动摩擦力F=NF，要特别注意题目中正压力的大小的分析和计算，防止出现错误。例 2重力为 G 的物体 A 受到与竖直方向成角的外力F 后，静止在竖直墙面上，如图1-2 所示，试求墙对物体A 的静摩擦力。分析与解答这是物体在静摩擦力作用下平衡问题。首先确定研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力图。A 受竖直向下的重力 G，外力F，墙对A 水平向右的支持力（弹力）N，以及还可能有静摩擦力f。这里对静摩擦力的有无及方向的判断是极其重要的。
6、物体之间有相对运动趋势时，它们之间就有静摩擦力；物体间没有相对运动趋势时，它们之间就没有静摩擦力。可以假设接触面是光滑的，若不会相对运动，物体将不受静摩擦力，若有相对运动就有静摩擦力。（注意： 这种假设的方法在研究物理问题时是常用方法，也是很重要的方法。）具体到这个题目，在竖直方向物体A 受重力G 以及外力F 的竖直分量，即cos2FF。当接触面光滑，cosFG时，物体能保持静止；当cosFG时，物体 A 有向下运动的趋势，那么A 应受到向上的静摩擦力；当cosFG时，物体A 则有向上运动的趋势，受到的静摩擦力的方向向下，因此应分三种情况说明。从这里可以看出，由于静摩擦力方向能够改变，数值也有
7、一定的变动范围，滑动摩擦力虽有确定数值，但方向则随相对滑动的方向而改变，因此， 讨论使物体维持某一状态所需的外力 F 的许可范围和大小是很重要的。何时用等号，何时用不等号，必须十分注意。（3）弹性力作用下的平衡问题 例 3如图 1-3 所示，一个重力为mg的小环套在竖直的半径为r的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然长度为L（Lt2B、t1=t2 C、 t1R2），在图中，EUU21的关系很难表示出来，如果，将 R2的伏安特性曲线的横轴反向，即 U 轴向左，如（ b）图，再把a 、b 两图按EUU21的关系画在（ 2）图中，那末电流、电压关系就非常直观了。特别是可变电阻R2 改变一定量时（如增大
8、为2R）UUUUUUU111222；电流变为I，增大III，如图（C）所示，显然，满足。IUIUIUIUR211 1故正确选项是BCD 题 3把一个“ 10V、5W”的用电器B（纯电阻）接到这一电源上，A 消耗的功率是2W；换另一个“10V、5W”的用电器B（纯电阻）接到这一电源上，B 实际消耗的功率可能小于 2W 吗？若有可能则条件是什么？解析 ：用电器A、B 的电阻分别为502AAPUR202BBPUR由于ABRR，所以 B 接入电路时，电压VU10，PB2r （2）其中Av、Bv为两球间距离最小时，A、 B 球的速度； sA、sB为两球间距离从L 变至最小的过程中， A、 B 球通过的路
9、程。设0v为 A 球的初速度，由动量守恒定律得：BAmvmvmv20（3）由动能定律得2202121AsmvmvFA（4）2)2( 21BsvmFB（5）联立解得： mrLFv)2(30评析本题的关键是正确找出两球“不接触”的临界状态，为BAvv且此时rx2题 3如图 12-4 所示， 一带电质点， 质量为 m ，电量为q，以平行于Ox轴的速度 v 从y轴上的 a 点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度 v 射出，可在适当的地方加一 个垂直于xy平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。 若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计
10、。解析质点在磁场中作半径为R 的圆周运动，RvmqBv2，得 qBmvR（ 1）根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R 的圆上的1/4 圆弧，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。过 a 点作平行于x 轴的直线， 过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R 的 O为圆心、 R 为半径的圆（圆中虚线圆）上的圆弧MN ，M 点和 N 点应在所求圆形磁场区域的边界上。在通过 M、N 两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN 连线为直径的圆周。所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为qBmvRRRMNr 2222212122（2）所求磁场区域如图12-5 中实线圆所示。评析临界值可能以
11、极值形式出现，也可能是边界值（即最大值和最小值）此题中最小值是利用几何知识判断而得到的。A、 B 两点及 AB 圆弧分别是磁场的边界点和磁场内的一段弧，是寻找最小圆形磁场区域的依据。题 4圆筒形的薄壁玻璃容器中，盛满某种液体，容器底部外面有光源S，试问液体折射率至少为多少时，才不能通过容器壁在筒外看到光源S（壁厚不计）。解析要在容器外空间看不到光源S，即要求光源S 进入液体后，射向容器壁光线的入射角C（临界角），如图所示，由折射定律可知Cn sin90sinnC1s i n（1）由图可知90，C，C90（ 2）在 A 点入射处，由折射定律有CCinmmcos1)90sin(90sinsinsin所以 nC1cos（3）由（ 1）（ 3）两式可知45C，2 cos1Cn由（ 2）式可知：越小越好，临界角C 也是越小越好：由 nC1sin可知， n 越大，C 越小；而由 sinsin in可知，当i一定时， n 越大，小。所以液体的折射率2n评析本题临界条件有两个，当折射角为90时的入射角为临界角C 和当入射角为 90时最大。一般几何光学中习题涉及前一个临界条件的较多，涉及后一个临界条件的较少。而求出折射率的临界值为2 ，还要进一步利用（3）式进行讨论n 的范围。该题的分析方法是从结果利用临界值C，采取倒推的方法来求解。一般来讲， 凡是求范围的物理问题都会涉及临界条件。
