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1、第 1 页 共 25 页线性代数（理）线性代数（理） 综合复习资料第一章第一章 阶行列式阶行列式n一、选择填空题：一、选择填空题：1、排列的逆序数为_。5421632、行列式中，元素的代数余子式为 。315 412 231 43、设行列式，则 。1112132122233132333aaa aaa aaa 31323321222311121323 23 23aaa aaa aaa 4、设行列式，则 1112132122233132333aaa aaa aaa 313233213122322333111213222 222222 222aaa aaaaaa aaa 。5、个方程、个未知量的齐次线
2、性方程组有非零解的充要条件是 。nn0Ax 6、设均为 3 阶方阵，且，则 。,A B3,2AB 2B AA 7、设均为 3 阶方阵，且，则 。,A B2,3AB 13A B 8、已知多项式，则的最高次数是 。111213212223313233( )axaxax f xaxaxaxaxaxax ( )f x9、设为 3 阶矩阵且行列式，则下列说法正确的是（ ）A0A （1）矩阵中必有一列元素等于 0；A （2）矩阵中必有两列元素对应成比例；A （3）矩阵中必有一列向量是其余列向量的线性组合；A（4）矩阵中任一列向量是其余列向量的线性组合。A10、下列说法错误的是（ ）第 2 页 共 25 页
3、（1）若阶线性方程组的系数矩阵行列式，则该方程组存在唯一解；nAxb 0A （2）若阶线性方程组的系数矩阵行列式，则该方程组只有零解；n0Ax 0A （3）一个行列式交换两列，行列式值不变；（4）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。二、计算下列行列式二、计算下列行列式1、；1534 1312 0211 5133D 2、14916 491625 9162536 16253649D 3、；2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaabbbbDccccdddd 4、；123.103.120.123.0nnn Dn 5、；1
4、22.2 222.2 223.2 . 222.nDn 第 3 页 共 25 页6、；120000 132000 013200. 000032 000013L L LL LnD 7、；11122212 1212nnnnxxxn xxxnDxxxn L L MMMM L8、；nxaa axaDaax L L M MMM L9、；111111222212333123111231nDnnnn LLLM M M OMMLL10、；000000000000000nyxyxyxDyxxy LLLM M M OOMLL第二章第二章 矩阵矩阵一、选择填空题一、选择填空题1、设，则的秩 。1123 1113 11
5、11A A( )r A 第 4 页 共 25 页2、设，则的秩 。2314113332411021A A( )r A 3、设均为 3 阶方阵，且，则 。,A B42,AB 2B AA 4、设，则。12 01 30 12A 410 113 201 134B TA B 5、设，则。122212 221A 1A 6、设和皆为阶方阵，则下面论断错误的是( )ABn（1）； （2）；()TTTABB A 111()ABB A （3），其中为的伴随矩阵；（4）如果，则或。AAA A AABO AO BO 7、设是阶矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为 ，Amn CnArBAC t则下列结论成立的是（
6、 ） 。（1）；（2）；（3）；（4）与 的关系不定。rt rt rt rt8、下面论断错误的是( )。（1）若干个初等阵的乘积必是可逆阵；（2）可逆阵之和未必是可逆阵；（3）两个初等阵的乘积仍是初等阵； （4）可逆阵必是有限个初等阵的乘积。9、设阶实方阵满足关系式，其中为阶单位矩阵，则下列关系式n,A B CABCE En成立的是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）。ACBE CBAE BACE BCAE 10、设，111213212223313233aaa Aaaa aaa 111211132122212331323133aaaa Baaaa aaaa 110 010 001P 则下列等式
7、正确的是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）。PAB APB PBA BPA 第 5 页 共 25 页二、计算证明题二、计算证明题1、设矩阵和满足关系式，且已知，求矩阵。AB2ABAB 301 110 014A B2、已知，其中，求矩阵。AXBX 010 111 101A 11 20 53B X3、设为 3 阶矩阵，为 3 阶单位矩阵，满足关系式，且已知,A BE2ABEAB ，求矩阵。101 020 101A B4、设为阶矩阵，满足， （1）证明可逆；,A BnABAB AE （2）若，求矩阵。101 021 121A B5、设矩阵，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，111 111 111A B1
8、2A BAB A A求矩阵。B6、已知三阶矩阵的逆矩阵为，试求伴随矩阵的逆矩阵。A1111 121 113A A 1()A 7、已知且，其中是三阶单位矩阵，求矩阵。110 011 001A EABA 2EB8、设方阵满足，证明及都可逆，并求及。A220AAE A2AE 1A 1(2)AE 9、已知可逆（其中为单位矩阵） ，试证也可逆，且有EAB EEBA 第 6 页 共 25 页。11()()EBAEB EABA 第三章第三章 向量组的线性相关性和秩向量组的线性相关性和秩一、选择填空题一、选择填空题1、设向量组线性无关，则当_ 时，向量组，123, t 21 32t 线性相关。13 2、已知向
9、量组， 11234 22345 33456 ，则该向量组的秩为 。 44567 3、已知向量组，的秩为 1121 1 2200t 30452 2，则 。t 4、关于最大无关组，下列说法正确的是（ ） （1）秩相同的向量组一定是等价向量组； （2）一个向量组的最大无关组是唯一的； （3）向量组与其最大无关组是等价的； （4）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关。5、设矩阵的秩为，则下列说法错误的是（ ）()ijm nAa r（1）矩阵存在一个阶子式不等于零；Ar （2）矩阵的所有阶子式全等于零；A1r （3）矩阵存在个列向量线性无关；Ar（4）矩阵存在个行向量线性无关。Amr
10、6、对于线性相关和线性无关，下列说法错误的是（ ） （1）所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关； （2）如果一个向量组线性无关，则该向量组中一定不包含零向量； （3）如果一个向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示； （4）如果阶方阵的行列式为零，则该矩阵的列向量组一定线性无关。n7、维向量组线性无关的充要条件是（ ）n123,()Lrrn （1）存在一组不全为零的数，使得；12,Lrk kk11220Lrrkkk （2）中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；12,Lr 第 7 页 共 25 页（3）中任意两个向量都线性无关；12,Lr （4）中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。12,Lr 8、向量组线性无关的充分条件是（ ）12,Lr （1）均不为零向量；12,Lr （2）中任意两个向量的分量不成比例；12,Lr （3）中任意一个向量都不能用其余个向量线性表示；12,Lr 1r （4）中有一部分向量线性无关。12,Lr 9、已知向量组线性无关，则下列说法正确的是( )1234, （1）线性无关；12233441, （2）线性无关；12233441, （3）线性无关；12233441, （4）线性无
