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1、因式分解 概述 把一个多项式化为几个整式的积的形式， 定义 ： 把一个多项式化为几个整式的积的形式 ， 这种变形叫做把这个 多项式因式分解， 也叫作分解因式。 多项式因式分解 ， 也叫作分解因式 。 意义 ： 它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初 等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活， 技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而 且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作 用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好 它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析 和解
2、决问题的能力。分解因式与整式乘法互为逆变形。 因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法 、 提公因式法、 因式分解没有普遍的方法 提公因式法 公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法， 公式法 待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法， 求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正 （ 例如 ： -3x 2 +x=-x(3x-1)） 最后结果中多项式首项系数为正（ 例如： ） 基本方法 提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项
3、的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将 多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 提公因式法。 提公因式法 具体方法： 具体方法 ： 当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最 大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的； 取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的 系数成为正数。提出 号时 ， 多项式的各项都要变号 。 提出“-”号时 多项式的各项都要变号。 号时， 提出 找准公因式， 一次要提净； 全家都搬走， 把家守； 口诀 ： 找准公因式 ，
4、 一次要提净 ； 全家都搬走 ， 留 1 把家守 ； 提负要 变号， 变形看奇偶。 变号 ， 变形看奇偶 。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把 2a2 +1/2 变成 2(a2 +1/4)不叫提公因式 公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫 公式法。平方差公式：a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)； 平方差公式 完全平方公式：a2 2abb 2 (ab) 2 ； 完全平方公式注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有 两项能写成两个数(或式)
5、的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的 2 倍。立方和公式：a3 +b 3 =(a+b)(a2 -ab+b 2 )； 立方和公式 立方差公式：a3 -b 3 =(a-b)(a2 +ab+b 2 )； 立方差公式 完全立方公式：a3 3a2 b3ab 2 b 3=(ab) 3 完全立方公式 公式：a3 +b 3 +c 3 +3abc=(a+b+c)(a2 +b 2 +c2 -ab-bc-ca) 例如：a2 +4ab+4b 2 =(a+2b) 2 。（3）分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： 等式左边必须是多项式； 分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
6、； 每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的 次数； 分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式 两个方面考虑。 3.提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： 第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； 第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用 原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用 公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； 提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。竞赛用到的方法 分组分解法
7、 分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式： 二二分法，三一分法。 比如：ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)我们把 ax 和 ay 分一组，bx 和 by 分一组，利用乘法分配律，两两相配， 立即解除了困难。 同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)几道例题：1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把 5ax
8、 和 5bx 看成整体，把 3ay 和 3by 看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2. x 3 -x 2 +x-1 解法：=(x 3 -x 2 )+(x-1) =x 2 (x-1)+(x-1) =(x-1)(x 2 +1)利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。3. x 2 -x-y2 -y解法：=(x 2 -y2 )-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法 a -b =(a+b)(a-b) ，然后相合解决。 十字相乘法 这种方法有两种情况。 x +(p+q)x+pq 型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二
9、次项的系数是 1；常数项是两个数的积； 一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系 数是 1 的二次三项式因式分解 ：x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 2 2 2 2kx 2 +mx+n 型的式子的因式分解 如果有 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m 时，那么 kx 2 +mx+n=(ax +b)(cx+d)所以 7x -19x-6=(7x+2)(x-3) 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中求根公式法：如果 ax 2 + bx + c = 0( a 0), 有两个根 X1，X2，那么ax 2 + bx + c = a( x x1 )( x x
10、 2 ).2拆项、 拆项 、 添项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几 项） ，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要 注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)习题 ：1. 因式分解：x3-x= ） B、 ( xy ) 2 = xy 2 C、 ( x 2 ) 3 = x 6 D、 x +
11、 x = x2 2 42、下列运算正确的是（ A、 x x = x2 23若 x + y = 3 ， xy = 1 ，则 x 2 + y 2 = 。 4因式分解：2mx24mx2m 5下列运算正确的是( ) A a a = a2 2 2 2B ( ab) 3 = ab 3C ( a 2 ) 3 = a 6 D a10 a2 = a56. 若 m n = 6 ，且 m n = 3 ，则 m + n = 7 已知 x 1 =3 ，求代数式 ( x + 1) 2 4( x + 1) + 4 的值8 计算 （3a) 2 的结果是()9 把代数式 mx 2 6mx + 9m 分解因式10因式分解：9x2
12、y24y411 把代数式 3 x 3 6 x 2 y + 3 xy 2 分解因式12 m 由 （a+b+c） =ma+mb+mc， 可得： （a+b） 2ab+b2） 3a2b+ab2+a2bab2+b3=a3+b3， （a =a 2 2 3 3 即（a+b） ab+b ）=a +b （a 我们把等式叫做多项式乘法的立方公式。 下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是 不正确 （A） （x+4y） 24xy+16y2）=x3+64y3 （x （B） （2x+y） 22xy+y2）=8x3+y3 （4x （C） （a+1） 2a+1）=a3+1 （a 3 （D）x +27=（x+3） 23x+9
13、） （x13已知 P = A. P Q7 8 m 1, Q = m 2 m （m 为任意实数） ，则 P、Q 的大小关系为（ 15 15B. P = Q C. P 0),其中一边长为 2x1,则另为 。 2 4把 a a6 分解因式，正确的是( ) (A)a(a1)6 (B)(a2)(a3) (C)(a2)(a3) (D)(a1)(a6) 1 2 2 2 2 2 2 2 5多项式 a 4ab2b ,a 4ab16b ,a a ,9a 12ab4b 中，能用完全平方公式分 4 解因式的有( ) (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 6设(xy)(x2y)150,则 xy
14、 的值是（ ） (A)-5 或 3 (B) -3 或 5 (C)3 (D)5 2 7关于的二次三项式 x 4xc 能分解成两个整系数的一次的积式，那么 c 可取下面四个 值中的（ ） (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 2 8若 x mxn(x4)(x3) 则 m,n 的值为（ ） (A) m1, n12 (B)m1,n12 (C) m1,n12 (D) m1,n12. 25 2 9代数式 y my 是一个完全平方式，则 m 的值是 4 10已知 2x 3xyy 0（x,y 均不为零） ，则 11分解因式: 2 (1).x (yz)81(zy) 3).ab(c d )cd(a b ) (5).x 4y4 4 2 2 2 2 2 2。 。x y 的值为 y x2(2).9m 6m2nn (4).a 3a 44 22(6).a 2abb 2a2b12212实数范围内因式分解 2 2 （2）4 81 （1） 24（3）2 4
