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1、1 1（10 分）下面矢量： z x x y z y x 2 ) 2 3 ( 2 2 e e e A + + = 是否可由一个标量函数的梯度表示？是否可用由一个矢量函数的旋度来表示？求出该矢 量的源分布。 分析分析：一个无旋矢量场可用一个标量函数的梯度表示； 一个无散矢量场可用一个矢量函数的旋度表示。 若矢量的散度或旋度不为零，则分别表示了该矢量的源分布。 解：解：在直角坐标系中，A 的散度与旋度分别为： ) 6 2 ( ) 6 2 ( 0 0 ) 2 3 ( ) ( ) 2 ( ) 2 3 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 y x e y x e x y y x
2、 x e z x x y z e x z z y e y A x A e x A z A e z A y A e A z z z y x x y z z x y y z x = + + = + + = + + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 2 0 2 ) 2 ( ) ( ) 2 3 ( 2 2 = + + = + + = + + = z z x y x y x z A y A x A A z y x ? 4 分分 可见，矢量 A 是一个无散有旋场。由于是无散度，因此该矢量可用一个矢量的旋度 可表示，但不能用一个标量函数的梯度可表示。 2 分分 该矢量的源（旋度源）分布为： ) 6
3、 2 ( y x e A z = ? ? 4 分分 2 （10 分）一球壳体的内外半径分别为 a 和 b，壳体中均匀分布着电荷，电荷密度为。试求 离球心为 r 处的电场强度。 厦门大学厦门大学电磁场与电磁波课程试卷 电磁场与电磁波课程试卷 信息学院 信息学院 电子工程系 电子工程系 04 年级 年级 电子工程电子工程专业 专业 主考教师：主考教师：李伟文 李伟文 试卷类型： （A试卷类型： （A 卷）卷） (答 案 及 评 分 标 准)2 解：解：以球壳心为球心，r 为半径作球面（高斯面）S。由对称性和高斯定理得： Q E r S d E S 0 2 1 4 = = ? ? 3 分分 式中 Q
4、 是 S 面所包住的电荷量的代数和。 rb（壳体外） ： ) ( 3 4 3 3 a b Q = ，所以 3 3 3 0 ) ( 3 r r a b E ? ? = 式中r ? 为从球壳心到场点的位矢。 2 分分 3 （10 分）电荷量 q 均匀分布在长为 4l 的一段直线上，在电荷分布不变的情况下，把这段直 线弯成边长为 l 的正方形。试求在正方形轴线上离中心为 r 处的电势。 P r O l l l l a b 3 解：解：P 点的电势为： + + + = = = + + + = + + = 2 2 2 2 ln 4 2 2 4 ln 4 4 4 4 1 4 2 2 2 2 0 2 2 2
5、 0 2 2 2 2 2 0 l l r l l r l q l x l x x x l r l q x l r dx l q U l l 6 分分 由此式也可改写为： + + + = 4 2 2 ln 2 2 2 2 2 0 l r l l r l q U 4 分 分 注：注：用到积分公式： + + + = + c x a x x a dx ) ln( 2 2 2 2 4 （20 分） 平行板电容器的长、 宽分别为 a 和 b， 极板间距离为 d。 电容量的一半厚度 （0d/2） 用介电常数为的电介质填充，如下图所示。板上外加电压为 U0，求板上的自由电荷面密 度、束缚电荷和电容器的电容量。
6、 解：解：设介质中的电场为 E e E z ? ? = ；空气中的电场为 0 0 E e E z ? ? = 由 D =D0，有 0 0 E E = 2 分分 又由 U0 d/2d/2 4 0 0 0 2 2 U d E d E = + 由以上两式可得： d U E d U E ) ( 2 ) ( 2 0 0 0 0 0 0 + = + = 4 分分 故下极板的自由电荷面密度为： d U E ) ( 2 0 0 0 + = = 下 上极板的自由电荷面密度为： d U E ) ( 2 0 0 0 0 0 + = = 上 4 分分 电介质中的极化强度为： d U e E P z ) ( ) ( 2
7、 ) ( 0 0 0 0 0 + = = ? ? ? 2 分分 故下表面上的束缚电荷面密度为 d U P e z P ) ( ) ( 2 0 0 0 0 + = = ? ? 下 上表面的束缚电荷面密度为 d U P e z P ) ( ) ( 2 0 0 0 0 + = = ? ? 上 4 分分 由极板上带电量为 ab d U S Q ) ( 2 0 0 0 + = = 2 分分 故电容器的电容量为 d ab U Q C ) ( 2 0 0 + = = 2 分分 5 （10 分）两平行板金属板，面积都是 ab，相距为 d，其间充满电容率为的均匀介质， 两极板接到电压为 U 的电源上；现在将这介
8、质沿平行于 b 边抽出一段，如图所示。略去5 边缘效应，试求电场把介质拉回去的力。 解法解法 1：把电容器与电源作为一个系统，这时计算力时求偏导前要加负号。把电容器与电源作为一个系统，这时计算力时求偏导前要加负号。 设抽出的一段介质长为 x，这时电容器的电容为 d x b a d x b a d ax C x ) ( ) ( 0 0 = + = 3 分分 所蓄的电荷量为 U d x b a U C Q x ) ( 0 = = 2 分分 当 x 增加 dx 时，电荷量的增量为 dx d aU dQ ) ( 0 = dQa，d2a，如下图。试求此导线对地的单位长 度电容。 分析分析：单位长度导线对
9、地的电容为 l C = 0 ，即单位长度的电荷与导线对地电位的比值。 线架在墙角附近，墙和地面上都有感应电荷，其影响可用三个镜像线电荷代替。 由于 d1a，d2a，导线电轴和几何轴可看着重合。 一线电荷在空中任意一点的电位为（可由高斯定理确定电场，然后对电场进行积分， 注意不能以无穷远处为参考电位） c r l + = 1 ln 2 0 d1 d2 墙 地7 解：解：设导体单位长度的电荷量为l，三个镜像电荷的大小和位置分别为 ) , ( , ) , ( , ) , ( , 2 1 3 2 1 2 2 1 1 d d d d d d l l l l l l = = = 位于 位于 位于 8 分分
10、 导线的线电荷l（在其轴线上）以及镜像电荷在导线表面上产生的电位为 + = + + = + + + = 2 2 2 1 2 1 0 2 2 1 1 0 3 2 1 0 2 ln 2 2 1 ln 4 4 1 ln 2 1 ln 1 ln 2 d d a d d d d d d a l l 6 分分 故导线对地单位长电容为 2 2 2 1 2 1 0 0 2 ln 2 d d a d d U C l l + = = = 6 分分 7 （20 分）两块半无限大平行导体板的电位为 0，与之垂直的地面电位为 x 0 （ ， ） ，如下图， 求此半无限槽中的电位，其中 = a x a a x U x 2
11、 0 2 0 ) 0 , ( 0 解：解：由于 z 方向为无限，故电位只是关于 x，y 的函数。 其边界条件为： a a/2 0 x y =0 =0 =0 =U0 8 = = = = a x a a x U x x y a y 2 0 2 0 ) 0 , ( ) 4 ( 0 ) , ( ) 3 ( 0 ) , ( ) 2 ( 0 ) , 0 ( ) 1 ( 0 3 分分 令 ( ) ( ) ( ) y g x f y x = , ，由边界条件（1）和（2）式，可知 f(x)应取 ) sin( x k x 形式，其中 a n k x = 。 由 0 2 2 = + y x k k ，故 ky 虚
12、数，因此 g(y)应取指数形式，进一步由边界条件（3） ，g(y)应 取负指数 y a n e 形式。 故(x, y)的通解形式为 ( ) = = 1 sin , n y a n n x a n e C y x 代入边界条件（4） ，应用 = = a x a a x U x a n C n n 2 0 2 0 sin 0 1 7 分分 对上式两边同乘 sin(mx/a)，并对 x 在（0, a）范围积分，由正弦函数的正交性，得 = a a m dx x a m U dx x a m C 0 2 0 0 2 sin sin 即有 ) 2 cos 1 ( cos 2 0 0 m U m a a x m U m a a C m = = 6 分分 得 ) 2 cos 1 ( 2 0 m m U C m = 则得半无限槽的电位分布为 ( ) = = x a n e n n U y x y a n n sin ) 2 cos 1 ( 2 , 1 0 4 分分
