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1、第一单元映射与函数第一单元映射与函数一、本单元的基本要点一、本单元的基本要点1.集合的一般概念：集合的表示法；集合的基本运算；集合的一般概念：集合的表示法；集合的基本运算；常见的几类实数集合；区间、邻域、去心邻域、平面上常见的几类实数集合；区间、邻域、去心邻域、平面上矩形区域的乘积表示法矩形区域的乘积表示法2.映射的概念及满射、单射、一一映射、逆映射和复合映射的概念及满射、单射、一一映射、逆映射和复合映射映射3.函数的概念；函数的几种特性、反函数和复合函数、函数的概念；函数的几种特性、反函数和复合函数、反函数存在的一个充分条件反函数存在的一个充分条件4.函数的四则运算；初等函数；双曲函数函数的
2、四则运算；初等函数；双曲函数二、本单元的教学要求二、本单元的教学要求1.理解函数概念及函数的几种特性：有界性、单调性、理解函数概念及函数的几种特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性奇偶性、周期性2.理解复合函数的概念，了解反函数的概念理解复合函数的概念，了解反函数的概念3.掌握基本初等函数的性质及图形，理解初等函数的概掌握基本初等函数的性质及图形，理解初等函数的概念念4.会建立简单实际问题中的函数关系式会建立简单实际问题中的函数关系式三、本单元教学的重点与难点三、本单元教学的重点与难点1.重点：函数的几种特性、复合函数、初等函数；重点：函数的几种特性、复合函数、初等函数；2.难点：几类映射的概念
3、；难点：几类映射的概念；3.课时安排：课时安排：24课时课时(若讲微积分简介作为本课程的引若讲微积分简介作为本课程的引言，则需言，则需4课时课时)引言何谓微积分引言何谓微积分微积分：以变量为研究对象，以极限方法为基本研究对微积分：以变量为研究对象，以极限方法为基本研究对象的教学学科象的教学学科初等数学向微积分的发展：自然界中有很多量仅靠有限初等数学向微积分的发展：自然界中有很多量仅靠有限次的基本算术运算是无法计算出来次的基本算术运算是无法计算出来(或确定下来或确定下来)的，而的，而必须分析一个变化过程的变化趋势才能求出来必须分析一个变化过程的变化趋势才能求出来(或确定或确定下来下来)典型问题一
4、曲边图形的面积计算典型问题一曲边图形的面积计算极限概念的起源可追溯到极限概念的起源可追溯到2500年前的古希腊那时的年前的古希腊那时的希腊人为计算由曲线围成的平面图形而引用了极限的思希腊人为计算由曲线围成的平面图形而引用了极限的思想而阿基米德是杰出代表想而阿基米德是杰出代表我们以阿基米德曾经计算过的我们以阿基米德曾经计算过的一个问题来说明这种方法一个问题来说明这种方法y=x2yx1o如图，曲线如图，曲线y=x2, 与与x轴、直轴、直线线x=1围成平面图形，求此曲围成平面图形，求此曲边三角形的面积边三角形的面积121n nnn在区间在区间0, 1中插入中插入n-1个分点小区间的高度为，从而小矩形
5、的面积之和为个分点小区间的高度为，从而小矩形的面积之和为1 21, ,n n nn?2i n()() ()222222 33112111112112116 11112,6nnSnnnnnnnn nnnnnn =+ =+=?y=x2yx1o121n nnn当当n时，从几何上时，从几何上看，矩形将填满看，矩形将填满(“穷竭穷竭”)曲边三角形，从代数上看，因此认为曲边三角形的面积曲边三角形，从代数上看，因此认为曲边三角形的面积1 6nS 1lim.6nnSS =“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无
6、所失矣”割圆术：刘徽刘徽我国魏晋时代的数学家刘徽我国魏晋时代的数学家刘徽用圆的内接正多边形来逼近圆用圆的内接正多边形来逼近圆的方法的方法割圆术，来计算圆割圆术，来计算圆周率的值周率的值若以若以Sn表示正圆内正表示正圆内正6n边形的面积，则有边形的面积，则有12nSSS?且，当且，当n时，正多边形的面积与圆的面积时，正多边形的面积与圆的面积“充分充分”接近，即有接近，即有 lim.nnSS =注用极限方法于曲边图形面积注用极限方法于曲边图形面积的计算的计算(微小量的无穷累计问题微小量的无穷累计问题)产生了积分学产生了积分学典型问题二自由落体瞬时速度的计算典型问题二自由落体瞬时速度的计算速度用于刻
7、画运动质点在各时刻运动速度用于刻画运动质点在各时刻运动“快慢快慢”的程度的程度设质点沿直线设质点沿直线OS运动，位移函数运动，位移函数s=s(t)情形匀速直线运动情形匀速直线运动:路程路程时间时间=常数常数匀速运动匀速运动即，若在时刻即，若在时刻t1及及t2时，质点的位置分别为时，质点的位置分别为s(t1), s(t2), 则则质点的运动速度为质点的运动速度为 ( )( )2121.s ts tvCtt=情形变速直线运动：情形变速直线运动：在时刻区间在时刻区间t1, t2中，质点从中，质点从s(t1)运动到运动到s(t2)，平均速，平均速度为度为ss(t1)s(t2)( )( )2121.s
8、ts tvtt=则，在时刻则，在时刻t1的瞬时速度为的瞬时速度为 ( )( )21212121limlim. tttts ts tvvtt=例如，对自由落体运动，位移函数为，求时刻例如，对自由落体运动，位移函数为，求时刻t=2时的速度在时的速度在2，t内的平均速度为内的平均速度为( )21 2s tgt=( )( )()22222 ,2222s tsg tgvttt=+v当当t2时， 时， ()2222gg+=注用极限方法用于计算瞬时速度等变化率问题产生了注用极限方法用于计算瞬时速度等变化率问题产生了数学上的一个重要分支数学上的一个重要分支微分学微分学微分学与积分学的内在联系微分学与积分学的内
9、在联系17世纪，牛顿，莱布尼茨分别建立了微分与积分之间世纪，牛顿，莱布尼茨分别建立了微分与积分之间的联系的联系微积分基本公式从而微分学与积分学形成微积分基本公式从而微分学与积分学形成了一个整体了一个整体微积分学它是解决科学技术问题的重微积分学它是解决科学技术问题的重要数学工具，也是工科学生最重要的数学基础课；大学要数学工具，也是工科学生最重要的数学基础课；大学生素质培养生素质培养(思维素质思维素质)的重要载体的重要载体集合集合1.集合的概念、记号、表示法集合的概念、记号、表示法集合所谓集合集合所谓集合是指具有某种特定性质的事物的全是指具有某种特定性质的事物的全体，组成该集合的事物的全体称为集合
10、的元素体，组成该集合的事物的全体称为集合的元素通常用大写的拉丁字母通常用大写的拉丁字母A, B, C, , 表示集合，用小表示集合，用小写的拉丁字母写的拉丁字母a, b, c, , 表示集合中的元素如果表示集合中的元素如果a是是集合集合A中的元素，则记为中的元素，则记为a A, 否则记为否则记为a A含有有含有有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集集合的表示法集合的表示法列举法将集合中的元素按一定的次序罗列出来列举法将集合中的元素按一定的次序罗列出来12,nAa aa=?有限集有限集12,nAa aa=?无限集无限集性质法用集合中的元素所满足的某种性
11、质来表示性质法用集合中的元素所满足的某种性质来表示A= x | x 具有性质具有性质P 例例1 12,4,6,8,10A =有限集有限集20,Ax xx=为实数无限集无限集常用数集常用数集 0,1,2,3,N =? 0, 1, 2,Z = ?自然数集自然数集整数集整数集,0, ,pQp qZ qp qq=互质有理数集有理数集R实数集实数集C复数集复数集对数集对数集A，以，以A*表示由该集合中的正数所构成的集合表示由该集合中的正数所构成的集合*1,2,3,N=?2.集合的运算集合的运算设设A，B是两个集合，按如下法则定义下列集合：是两个集合，按如下法则定义下列集合：ABx xAxB=交集交集AB
12、x xAxB=并集并集A Bx xAxB=集合的差集合的差集合的运算满足如下运算率：集合的运算满足如下运算率：交换率：交换率：,ABBA ABBA=结合率：结合率：()(),ABCABC=()()ABCABC=分配率：分配率：()()(),ABCACBC=()()().ABCACBC=集合的直积设集合的直积设A, B是两个集合，在是两个集合，在 A中任取元中任取元 a，在，在B中任取元中任取元 b，由，由a, b构成有序对构成有序对(x, y)，由所有的这种有，由所有的这种有序对构成的集合，称为集合序对构成的集合，称为集合A与与B的直积，记为的直积，记为AB即即(),.ABx y xAyB=
13、例例2 A=1, 2, 3, B=4, 5, 6，则，则(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5)(2,6),(3,4),(3,5),(3,6).AB=例例3 若若A是是 x 轴，轴，B是是 y 轴，则轴，则AB为为 xoy 平面平面3.区间和邻域区间和邻域设设a,b 是实数，且是实数，且a 0，则定义点，则定义点a 的的d邻域，记邻域，记作作U(a, d)为集合：为集合： ( ,),U ax xa= = = 0，使得对任意，使得对任意的的x Df, 总有总有|f (x)| M，则称函数，则称函数y= f 在定义域在定义域Df 上上有界有界 注注1 函数的有界与函数的定义域相关
14、函数的有界与函数的定义域相关例函数例函数() 1,2yxx=有界函数有界函数例函数例函数() 0,yxx=+无界函数无界函数注注2 函数函数y=f (x)有界有界M1, M2, x Df , 有有M1 f (x) M2在上式中，在上式中， M1称为上界，称为上界， M2称为下界，由此可知：函称为下界，由此可知：函数有界函数既有上界，又有下界数有界函数既有上界，又有下界对函数对函数()10,1yxx=易知函数有下界易知函数有下界M1=1，但函数无上界，因而函数无 界 由定义，可知如何说明函数在定义域上无界，但函数无上界，因而函数无 界 由定义，可知如何说明函数在定义域上无界例例9 证明函数证明函
15、数 11( )sinf xxx=在点在点 x = 0处无界处无界证： 证： M0, 令令x=1/(2n + /2), 其中其中n是一个比是一个比M 大的自大的自然数，则然数，则( )2sin2222f xnnM=+=+所以所以 f (x) 在点在点 x = 0 处无界处无界gg下图从几何上说明了该函数在下图从几何上说明了该函数在 x = 0处的无界性处的无界性: 当当 x趋近于趋近于0 时，曲线在1/时，曲线在1/x之间震荡，因而函数无界之间震荡，因而函数无界0.020.040.060.080.1-150-100-505010015011( )sinf xxx=单调性设函数单调性设函数f (x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果，如果对区间中任意两点对区间中任意两点x1及及x2，当，当x1则称函数则称函数 f (x)在区间在区间I
