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1、2 0 1 1 年 1 2月 高等学校 计算数学 学报 第 3 3卷第 4期 含有权参数的二次代数双曲B样条曲线 谢进 ( 合肥学院数学与物理系， 合肥 2 3 0 6 0 1 ) 檀结庆 李声锋 ( 合肥工业大学计算机与信息学院， 合肥 2 3 0 0 0 9 ) QUADRATI C AL GEBRAI C HYP ERBOL I C B- SPLI N E CURV ES W I TH W EI G HT PARAM ETERS Xi e J i n ( D e p a r t m e n t o f Ma t h e m a t i c s a n d P h y s i c s ，H
2、 e f e i U n iv e r s i t y , H e f e i 2 3 0 6 0 1 ) Ta n J i e q i n g Li S h e n g f e n g f S c h o o l o f C o mp u t e r I n f o r ma t i o n ， H e f e i Un i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ,H e f e i 2 3 0 0 0 9 ) Abs t r a c t A me t h o d o f g e n e r a t i n g q u a d r a t i c s p
3、 l i n e c u r v e s b a s e d o n t h e we i g h t e d a l g e b r a i c a n d h y pe r bo l i c po l yn o m i a l i s pr e s e n t e d i n t h i s pa p e r ， wh i c h s h a r e s m a ny i mp or t a n t p r o pe r t i e s o f q ua d r a t i c n on - uni f o r m B s pl i n e s He r e t h e we i g h
4、t c o e ffi c i e nt s ar e a l s o s ha p e p a r a me t e r s， whi c h a r e c a l l e d a s we i g h t pa r a me t e r s The i n t e r - v a l O ，1 1 o f t h e w e i g h t p a r a m e t e r v a l u e s c a n b e e x t e n d e d t o 【一 1 2 1 9 8 6 ， 1 2 6 o 6 1 T a k i n g d i ff e r e n t v a l u
5、 e s o f t h e w e i g h t p a r a me t e r s ， o n e c a n n o t o n l y t o t a l l y o r l o c a l l y a d j u s t t h e s h a pe o f t h e c u r v e s a n d c a n c ha ng e t he t ype o f s ome s e g me n t s o f a c u r v e a mo ng t h e a l g e b r a i c or h yp e r b o l i c f u nc t i o n s
6、as we l 1 Le t t i ng o n e o r s o me we i g h t pa r a me - t e r s b e一 1 2 1 9 8 6 t h e c ur v e c a n i nt e r po l a t e c e r t a i n e o nt r o l po i n t s o r c o n t r o l p o l y g o n e d g e di r e c t l y K ey wor ds a l g e br a i c h yp e r b ol i c B s pl i ne c u r v e ， we i g h
7、t pa r a me t e r ， t o t a l o r l oc a l a d j u s t ， l o c a l i n t e r p o l a t i o n ， h y p e r b o l a ， C j o i n t AMS ( 2 0 0 0 ) s u b j e c t c l a s s i fi c a t i o n s 6 5 D， 4 1 A 6 3 中图法分类号T P 3 9 1 4 1 国家自 然科学基金资助项目 ( 6 1 0 7 0 2 2 7 ) ； 教育部博士点基金 ( 2 0 0 7 0 3 5 9 0 1 4 ) ； 安徽省教
8、育厅教研重点项目 ( 2 0 1 0 0 9 3 5 ) ； 合肥学院科研重点项目 ( 1 l K Y 0 2 Z D ) 收稿日期： 2 0 0 9 - 0 3 - 0 1 3 3 8 谢进等：含有权参数的二次代数双曲 B样条曲线 第 4期 l 引 言 二次非均匀 B样条曲线， 由于结构简单， 因而非常方便用于曲线曲面造型 f1 1 但当控 制多边形和节点向量给定后， 曲线的形状是固定的 如果要调整 曲线的形状， 可以调整相 应的控制顶点或节点向量， 这意味着再一次计算 曲线方程， 计算量也随之增大 此外， 二次 非均匀 B样条曲线不能表示除抛物线以外的圆锥曲线 有理形式的二次非均匀 B样条
9、曲 线虽然可以表示一些圆锥 曲线， 权因子也具有调整曲线形状的作用， 但权因子几何意义不 明显， 这对使用者来说是不方便的 为此， 人们引入不同类型的非多项式、 非有理形式 的样条 如 c 一 曲线 【3 - 4 ， T 曲线 【5 - 8 ， H 一 曲线 【9 1 ， 它们能够精确地表示一些二次曲线及超 越曲线 此外， 一些作者研究可转换类型的混合形式样条曲线： 张纪文找到了 C 一 曲线和 H 一 曲线的相似性， 构造了F 一 曲线 【1 0 1 1 】 ， F 一 曲线提供了新的形状参数 C 来取代 c 一 曲线和 H 一 曲线的形状参数 O t C 为 1 时， 是多项式曲线， C
10、为其他值时， 为 H 一 曲线， 这样 F 曲线 找到了多项式曲线， C 曲线和 H 曲线之间的联系， 而且权因子也有一定的几何意义 然 而，F 曲线的计算公式比较复杂 汪国昭等在混合空间上构建了一种 一 样条曲线 【1 2 1 3 1 ， 该样条通过频率 i 实现了三种类型样条曲线的转换， 然而频率 的几何意义不明显 董 克等在混合空间构造了三种不同类型的二次混合样条 1 4 1 ， 它们具有二次均匀 B样条曲 线类似性质， 并且曲线可以在不同类型曲线段之间进行转换， 但不能实现局部插值 本文给出了一种基于代数与双曲多项式加权的二次样条曲线， 它具有二次非均匀 B 样条曲线绝大多数重要性质
11、加权系数就象开关一样， 能使曲线段在不同类型之间自由地 转换 这里的加权系数具有形状参数特性， 故称之为权参数， 它的取值能够整体或局部地 调控曲线的形状， 它的取值范围可以从 f0 ， 1 】 扩大到 - 1 2 1 9 8 6 ， 1 2 6 0 6 1 ， 进一步提高了曲线 的调控能力 此外， 只要令某个或某些权参数取 一 1 2 1 9 8 6 ， 曲线就能直接插值于控制点甚 至于控制边由此产生的 c 连续的曲线可以将代数多项式曲线段与双 曲多项式曲线段 有机地结合在一起， 为几何造型系统提供一种新的有用的工具 2 1 基函数的构造 2 二次代数双曲 B 样条基函数 定义 1 任给节点
12、 it 0 0 3 4 0 谢进等： 含有权参数的二次代数双曲 B样条曲线 第 4期 这样，f ( t ) 在 【0 ,1 】 上的最大值为 f ( O ) f ( 1 ) =1 引理 1 得证 定理 l 公式 ( 1 ) 所定义的基函数具有以下性质： ( i ) 局部支撑性 ：当 “ t u t t i + 3时， b i ( “ ) O ： 当 一t t O 2 - ul“ i ， “ 件3_“ 十 3时 b i ( u ) 7 - 0 礼 ( i i ) 权 1 生 ： 当U 2 u t tn + b 。 = 1 i =0 ( i i i ) 连续性 ：当节点 l t Ot t 1 t
13、i n + 3时， 基函数 b i ( u ) C ( 一 ， + 。 。 ) 证明( i )d ( O ， )=0 ， d ( 1 ， )=1 ， 由参数 的取值范围， 当 0 t 1时， ( 1 ， z ) = = 2 + 0 ， 即 d ( t ， 0 所以， 当 u t“ + 1时，由 的定义，知 d ( t ， ) 0 同理可证， 当 t t, i 十 2 也 U i + 3时， 件,2 c ( t i + 2 ， 件2 ) 0 下面讨论 U i + 1 u u 件 2 的情况 设 7 冲1 =ma x o i + 1 ， + 1 ， 贝 U 由引理 1 ， 知 c ( t i +
14、1 ) +r 2 ( 0 冲1 ) 1 于是， 所以， 0 i + 1 c ( 计1 ) + 斗 l d ( t i + 1 ) “ Y i - t- 1 1 b i ( u ) 0 ， t t U i + 3 ( i i ) 当 i “ t i + l ， i =2 ， 3 ， ， 扎时， 由于 b i _ 2 ( 札 ) = 。 c ( ) ， b I ( “ ) ：1一C e c ( t ) n Z , d ( t d ， b = 成 ) 且6 ， ( ) = 0 ， i 一 2 ， i - - l i ， 可 知b ( u ) = 1 i = 0 ( i i i )显然， 6 。 (
15、u ) =0 ， ( 札 )=0 ， 6 。 ( “ _ + 3 ) =0 ( “ _ + 3 )=0 这里我们仅讨论在 “= u l + 1 处的连续性， 在 钆=t Z i + 2处可以采用同样的方法处理 直接计算得到 6 t ( u i 1 ) = ， 6 。 ( 札 l+ + 1 ) = ： l 一 0 i + 1 u = = 镒 - 又由 O t ， 的定义可得到 O t i + l =1 一 ， 2 0 1 1 年 1 2月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 3 4 1 1 l i ( ( 2c o s h l -2 ) +( s i n h I +2 -2 c o s h 1 ) A i + 1 )一 所以 ， b l k ) ( u 1 ) =6 5 ( + 1 ) ， k = 0 ， 1 证毕 图 1 表示权参数对基函数形状的影响， 其中虚线为二次非均匀 B样条基， 实线为二次 代数双曲B基 与二次非均匀 B样
