四川卷,高考数学理科卷

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1、2010201020102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理理理理科数学（四川卷）科数学（四川卷）科数学（四川卷）科数学（四川卷）第第卷卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1.（2010 四川，理 1）i 是虚数单位，计算 i+i2+i3=A.-1B.1C.-iD.i答案：A2.（2010 四川，理 2）下列四个图象所表示的函数，在点x=0 处连续的是答案：D3.（2010 四川，理 3）2log510+log50.25 等于A.0B.1C.2D.4答案：C4.（20

2、10 四川，理 4）函数f（x）=x2+mx+1 的图象关于直线x=1 对称的充要条件是A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1答案：A5.（2010 四川，理 5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2BC=16，|ACAB+|=|AB-AC|，则|AM|=A.8B.4C.2D.1答案：C6.（2010 四川，理 6）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图象的函数解析式是A.y=sin（2x-10）B.y=sin（2x-5）C.y=sin（21x-10）D.y=sin（21x-20）答案：C7.

3、（2010 四川，理 7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品，每千克A产品获利 40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品，每千克B产品获利 50元.甲、 乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工.每天甲、 乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为A.甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱B.甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱C.甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱D.甲车间加工原料 40

4、箱，乙车间加工原料 30 箱答案：B8.（2010 四川，理 8）已知数列an的首项a10，其前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+a1，则=A.0B.21C.1D.2答案：B9.（2010 四川，理 9）椭圆22ax+22by=1（ab0）的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP 的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是A.（0，22B. （0，21C. 2-1，1D.21，1）答案：D10.（2010 四川，理 10）由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是A.72B.96C.108D.144答案：C11.（2

5、010 四川，理 11）半径为 R 的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，BCD是平面内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是A.Rarccos2517B.Rarccos2518C.31RD.154R答案：A12.（2010 四川，理 12）设abc0，则 2a2+ab1+)(1baa-10ac+25c2的最小值是A.2B.4C.25D.5答案：B第第卷卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.13.（2010 四川，理 13） （2-31x）6的展开式中的第四项是_.答案：-x16014. （2010

6、 四川， 理 14） 直线x-2y+5=0 与圆x2+y2=8 相交于A、B两点， 则|AB|=_.答案：2315.（2010 四川，理 15）如图，二面角-l-的大小是 60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为 30.则AB与平面所成的角的正弦值是_.答案：4316.（2010 四川，理 16）设S为复数集 C C C C 的非空子集，若对任意x，yS，都有x+y，x-y，xyS，则称S为封闭集.下列命题：集合S=a+bi|a，b为整数，i 为虚数单位为封闭集;若S为封闭集，则一定有 0S;封闭集一定是无限集;若S为封闭集，则满足STC C C C 的任意集合T也是封闭集.其中的真命题是_.

7、（写出所有真命题的序号）答案：三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（2010 四川，理 17）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为61.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.（1）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;（2）求中奖人数的分布列及数学期望E.解： （1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P（A）=P（B）=P（C）=61，P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=61（65）2=21625.答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是21625

8、.（2）的可能取值为 0，1，2，3.P（=k）=k3C（61）k（65）3-k，k=0，1，2，3.所以中奖人数的分布列为0123P21612572257252161E=0216125+17225+2725+32161=21.18.（2010 四川，理 18）已知正方体ABCDABCD的棱长为 1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（1）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线;（2）求二面角M-BC-B的大小;（3）求三棱锥MOBC的体积.解法一： （1）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK.因为点M是棱AA的中点，点O是BD的中点，所以AM21DDOK.所以OMA

9、K.由AAAK，得MOAA.因为AKBD，AKBB，所以AK平面BDDB.所以AKBD.所以MOBD.又因为OM与异面直线AA和BD都相交，故OM为异面直线AA和BD的公垂线.（2）取BB的中点N，连结MN，则MN平面BCCB.过点N作NHBC于H，连结MH，则由三垂线定理得，BCMH.从而MHN为二面角M-BC-B的平面角.MN=1，NH=BNsin45=2122=42.在 RtMNH中，tanMHN=NHMN=421=22.故二面角M-BC-B的大小为 arctan22.（3）易知，SOBC=SOAD，且OBC和OAD都在平面BCDA内.点O到平面MAD的距离h=21.VMOBC=VMOA

10、D=VOMAD=31SMADh=241.解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，1，0） ，A（1，0，1） ，C（0，1，1） ，D（0，0，1）.（1）因为点M是棱AA的中点，点O是BD的中点，所以M（1，0，21） ，O（21，21，21）.OM=（21，-21，0） ，AA=（0，0，1） ，DB=（-1，-1，1）.OMAA=0，OMDB=-21+21+0=0，所以OMAA，OMBD.又因为OM与异面直线AA和BD都相交，故OM为异面直线AA和BD的公垂线.（2）设平面BMC的一个法向量为n n n n1=（x

11、，y，z） ，DB=（0，-1，21） ，CB=（-1，0，1）.=, 0, 011DBBMn n n nn n n n即=+=+. 0, 021zxzy取z=2，则x=2，y=1，从而n n n n1=（2，1，2）.取平面BCB的一个法向量为n n n n2=（0，1，0）.cosn n n n1，n n n n2=| |2121n n n nn n n nn n n nn n n n=191=31.由图可知，二面角M-BC-B的平面角为锐角，故二面角M-BC-B的大小为arccos31.（3）易知，SOBC=41SBCDA=4112=42.设平面OBC的一个法向量为n n n n3=（x

12、1，y1，z1）.BD=（-1，-1，1） ，BC=（-1，0，0）.=, 0, 033BCCBn n n nn n n n即=+. 0, 01111xzyx取z1=1，则y1=1，从而n n n n3=（0，1，1）.点M到平面OBC的距离d=|33n n n nn n n nBM=221=221，VMOBC=31SOBCd=3142221=241.19.（2010 四川，理 19） （1）证明两角和的余弦公式 C（+）：cos（+）=coscos-sinsin;由 C（+）推导两角和的正弦公式S（+）：sin（+）=sincos+cossin.（2）已知ABC的面积S=21，ABAC=3，

13、且 cosB=53，求 cosC.解： （1）如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角，与-，使角的始边为Ox，交O于点P1，终边交O于点P2;角的始边为OP2，终边交O于点P3，角-的始边为OP1，终边交O于点P4.则P1（1，0） ，P2（cos，sin） ，P3（cos（+） ，sin（+） ） ，P4（cos（-），sin（-） ）.由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得cos（+）-12+sin2（+）=cos（-）-cos2+sin（-）-sin2，展开并整理，得 2-2cos（+）=2-2（coscos-sinsin）.cos（+）=coscos-sinsin.由易得，

14、cos（2-）=sin，sin（2-）=cos.sin（+）=cos2-（+） =cos （2-）+（-） =cos（2-）cos（-）-sin（2-）sin（-）=sincos+cossin.sin（+）=sincos+cossin.（2）由题意，设ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S=21bcsinA=21.ABAC=bccosA=30.A（0，2） ，cosA=3sinA.又 sin2A+cos2A=1，sinA=1010，cosA=10103.由题意 cosB=53，得 sinB=54.cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=1010.故 cosC=cos-（A+B）

15、 =-cos（A+B）=-1010.20.（2010 四川，理 20）已知定点A（-1，0） ，F（2，0） ，定直线l：x=21，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的 2 倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.（1）求E的方程;（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.解： （1）设P（x，y） ，则22)2yx+（=2|x-21|，化简得x2-32y=1（y0）.（2）当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x-2） （k0） ，与双曲线方程x2-32y=1 联立消去y得（3-k2）x2+4k2x-（4k2

16、+3）=0.由题意知，3-k20，且0.设B（x1，y1） ，C（x2，y2） ，则x1+x2=3422kk，x1x2=33422+kk，y1y2=k2（x1-2） （x2-2）=k2x1x2-2（x1+x2）+4=k2（33422+kk-3822kk+4）=3922kk.因为x1，x2-1，所以直线AB的方程为y=111+xy（x+1）.因此M点的坐标为（21，) 1(2311+xy） ，FM=（-23，) 1(2311+xy） ，同理可得FN=（-23，) 1(2322+xy） ，因此FMFN=（-23）（-23）+) 1)(1(492121+xxyy=49+) 134334(438122

17、2222+kkkkkk=0.当直线BC与x轴垂直时，其方程为x=2，则B（2，3） ，C（2，-3） ，AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（21，23） ，FM=（-23，23）.同理可得FN=（-23，-23）.因此FMFN=（-23）（-23）+（-23）23=0.综上，FMFN=0，即FMFN.故以线段MN为直径的圆过点F.21.（2010 四川，理 21）已知数列an满足a1=0，a2=2，且对任意m，nN N N N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2（m-n）2.（1）求a3，a5;（2）设bn=a2n+1-a2n-1（nN N N N*） ，证明：bn是等差数列

18、;（3）设cn=（an+1-an）qn-1（q0，nN N N N*） ，求数列cn的前n项和Sn.解： （1）由题意，令m=2，n=1 可得a3=2a2-a1+2=6，再令m=3，n=1 可得a5=2a3-a1+8=20.（2）当nN N N N*时，由已知（以n+2 代替m）可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8.于是a2（n+1）+1-a2（n+1）-1-（a2n+1-a2n-1）=8，即bn+1-bn=8.所以，数列bn是公差为 8 的等差数列.（3）由（1） 、 （2）的解答可知bn是首项b1=a3-a1=6，公差为 8 的等差数列.则bn=8n-2，即a2n+1-a2n-1=

19、8n-2.另由已知（令m=1）可得，an=2112aan+-（n-1）2，那么，an+1-an=21212+nnaa-2n+1=228 n-2n+1=2n.于是，cn=2nqn-1.当q=1 时，Sn=2+4+6+2n=n（n+1）.当q1 时，Sn=2q0+4q1+6q2+2nqn-1.两边同乘q可得qSn=2q1+4q2+6q3+2（n-1） qn-1+2nqn.上述两式相减即得（1-q）Sn=2（1+q1+q2+qn-1）-2nqn=2qqn11-2nqn=2qnqqnnn+1) 1(11，所以Sn=221)1 (1) 1(qqnnqnn+.综上所述，Sn=+=+. 1,) 1(1) 1

20、( 2, 1),1(21qqqnnqqnnnn22.（2010 四川，理 22）设f（x）=xxaa+11（a0 且a1） ，g（x）是f（x）的反函数.（1）设关于x的方程 loga)7)(1(2xxt=g（x）在区间2，6上有实数解，求t的取值范围;（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：=nkkg2)() 1(222+nnnn;（3）当 00，故g（x）=loga11+xx，x（-，-1）（1，+） ，由 loga)7)(1(2xxt=loga11+xx得t=（x-1）2（7-x） ，x2，6 ，则t=-3x2+18x-15=-3（x-1） （x-5）.列表如下：x2（2，5）5（5，6）6t+0-t5极大值 3225所以t最小值=5，t最大值=32.所以t的取值范围为5，32.（2）=nkkg2)(=ln31+ln42+ln53+ln11+nn=ln（31425311+nn）=-ln2) 1( +nn.令u（z）=-lnz2-zz21=-2lnz+z-z1，z0.则u（z）=-z2+1+21z=（1-z1）20.所以u（z）在（0，+）上是增函数.