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1、第 11 章 曲线积分与曲面积分习题 11-11.设在面内有一分布着质量的曲线弧 L，在点（x,y）处它的线密度为（x,y） 。用对xOy弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对 x 轴,对 y 轴的转动惯量,xIyI（2）这曲线弧的质心坐标,xy2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质 3 3.计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中 L 为圆周22(xy )nLds xcost,ysin (0t2 )aat （2），其中 L 为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段(xy)ds L（3），其中 L 为由直线 y=x 及抛物线所围成的区域的整个边界x Lds 2yx（4），其中 L 为圆周，直线
2、 y=x 及 x 轴在第一象限内所围成的22xyLeds 222xya扇形的整个边界（5），其中为曲线上相应于 t 从 0 变到2221dsxyzcos ,sin ,tttxet yet ze2 的这段弧（6），其中为折线 ABCD，这里 A,B,C,D 依次为点（0,0,0） ， （0,0,2） ，2x yzds （1,0,2） ， （1,3,2）（7）， ，其中 L 为摆线的一拱2Ly ds(t sin ),y(1 cos )(0t2 )xatat （8），其中 L 为曲线22(x)ds Ly(cossin ),y(sincos )(0t2 )xatttattt 4.求半径为，中心角为的均
3、匀圆弧（线密度）的质心215.设螺旋形弹簧一圈的方程为，其中，它的线密度cos ,sin ,xat yat zkt02t 求：222(x,y,z)xyz（）它关于轴的转动惯量zI（）它的质心。习题 11-21.设 L 为面内直线上的一段，证明：xOyxa(x,y)dx0 LP2.设 L 为面内 x 轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：xOy(x,y)dx(x,0)dxbLaPP 3.计算下列对坐标的积分：（1），其中 L 是抛物线上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧22(xy ) Ldx2yx（2），其中 L 为圆周及 x 轴所围成的在第一象限内的区Lxydx 222(x)aa
4、ya （0）域的整个边界（按逆时针方向绕行）（3），其中 L 为圆周上对应 t 从 0 到的一段弧Lydxxdycos ,sinxRt yRt2（4），其中 L 为圆周（按逆时针方向绕行）22(xy)dx (xy)dyLxy 222+yxa（5），其中为曲线上对应从 0 到2x dxzdyydz cos ,sinxkyaza的一段弧（6），其中是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线(xy 1)dzxdxydy （7），其中为有向闭折线 ABCD，这里的 A,B,C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),+ydxdydz (0,0,1)（8），其中 L 是抛物线上从点（-1,1）到点
5、（1,1）22(x2xy)dx (y2xy)dy L2yx的一段弧4.计算，其中 L 是：(xy)dx (y x)dy L（1）抛物线上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧2yx（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段 （3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2） ，然后再沿直线到点（4,2）的折线（4）曲线上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧2221,1xttyt 5.一力场由沿横轴正方向的恒力 F 所构成，试求当一质量为 m 的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功222xyR6.设 z 轴与动力的方向一致，求质量为 m 的质点从位置（x,y,z）沿直线移到（x,
6、y,z）时重 力所做的功7.把对坐标的曲线积分化成对弧长的积分曲线，其中 L 为：(x,y)dx Q(x,y)dy LP（1）在面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）xOy（2）沿抛物线从点（0,0）到点（1,1）2yx（3）沿上半圆周从点（0,0）到点（1,1）222xyx8.设为曲线上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧，把对坐标的曲线积分23,xt ytzt化成对弧长的曲线积分PdxQdyRdz 习题 11-3 1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：（1），其中 L是由抛物线和所围成的区域的22(2xy x )dx (xy )dy L 2yx2yx正向边界曲线（2），其中 L
7、是四个顶点分别为（0,0） ， （2,0） ， （2,2） ，222(xxy )dx (y2xy)dy L （0,2）的正方形区域的正想边界 2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积（1）星形线33cos,sinxat yat（2）椭圆229+16y144x（3）圆222xyax3.计算曲线积分，其中 L 为圆周，L 的方向为逆时针方向22ydx 2(xy )Lxdy 22(x 1)2y4.证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值xOy（1）(2,3)(1,1)(xy)dx (xy)dy（2）(3,4)2322(1,2)(6xyy )dx (63)dyx yxy（3）(2,1)
8、423(1,0)(2xy y3)dx (x4xy )dy5.利用格林公式，计算下列曲线积分：（1），其中 L 为三顶点分别为（0,0） ， （3,0）和(2xy 4)dx (5y 3x 6)dy L （3,2）的三角形正向边界；（2），其中 L 为正向星形线222(cos2sin)(x sinx 2ye )dyxxLx yxxyxy e dx 222 333(a0)xya（3），其中 L 为在抛物线上由3222(2xyy cosx)(1 2ysinx 3x y )dy Ldx22xy点（0,0）到（，1）的一段弧2（4），其中 L 是在圆周上由点（0,0）到点22(xy)dx (x sin y
9、)dy L22yxx（1,1）的一段弧6.验证下列在整个平面内是某一函数 u(x,y)的全微分，并求这(x,y)dx(x,y)dyPQxOy样的一个 u(x,y)：（1）(2 )(2)xy dxxy dy（2）22xydxx dy（3）4sin sin3 cos3cos3 cos2xyxdxyxdy（4）2232(38)(812)yx yxydxxx yyedy（5）22(2 coscos )(2 sinsin )xyyx dxyxxy dy7.设有一变力在坐标轴上的投影为，这变力确定了一个力场。证明2,28Xxy Yxy质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。.判断下列方程中哪些是全微分
10、方程？对于全微分方程，求出它的通解。8（1）2222(36)(6x y 4y )dy0xxydx（2）222(a2xy y )dx (xy)0(a)dy为常数（3）(xe2y)dy0yye dx（4）(xcosy cosx)y ysinx siny0（5）2(xy)dx xdy0（6）2y(x 2y)dx x0dy（7）22(1)d2 e0ed（8）22(xy )dxxydy09.确定常数，使在右半平面 x0 上的向量为某42242(x,y)2xy(xy )(xy )Aixj二元函数 u（x,y）的梯度，并求 u(x,y)习题 11-41.设有一分布着质量的曲面，在点（x,y,z）处它的面密度
11、为（x,y,z）,用对面积的曲面积分表示这曲面对于 x 轴的转动惯量 2.按对面积的曲面积分的定义证明公式12(x,y,z)ds(x,y,z)ds(x,y,z)dsfff其中是由和组成的123.当是面内的一个闭区域时，曲面积分 与二重积分有什么关系？xOy(x,y,z)dSf4.计算曲面积分，其中为抛物面在面上方的部分，(x,y,z)dSf222(xy )z xOy分别如下：(x,y,z)f（1）(x,y,z)1f（2）22(x,y,z)xyf（3）(x,y,z)3fz5.22计算（x +y ）dS, 其中是：（1）22zz1xy锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面（2）222z3(xy )z
12、0z3锥面被平面和所截得的部分6.计算下列对面积的曲面积分：（1）4xz,13234yzds（+2x+y）其中为平面在第一卦限中的部分（2）2xydsx（2-2x -x+z）, 其中为平面2 +2y+z=6在第一卦限中的部分（3）2222(xy z)ds,xz(0ha)yzah 其中为球面上的部分（4）2222xyzx2xyyax（+yz+zx）ds, 其中为锥面=被柱面所截得的有限部分7.221z(xy )(0z1)=z2求抛物面壳的质量，此壳的面密度为8.2222 0x +y +z =a (z0)z求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量习题 11-5 1.按对坐标的曲线面积的定义证明公式1
13、212P (x,y,z)P (x,y,z)dydz(x,y,z)dydz(x,y,z)dydzPP2.x yxOR当为面内的一个闭区域时，曲面面积（, y, z）dxdy与二重积分有什么关系？3.计算下列对坐标的曲面积分：（1）222222,xyzRx y zdxdy其中是球面的下半部分的下侧（2）22z,x1z0z3dxdyxdydzydzdxys其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧（3） (x,y,z)xdydz 2 (x,y,z)ydzdx(x,y,z)zdxdy,(x,y,z)xy z1ffff 其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧（4）区域的xz,x0,y0,z0
14、,xy z1dxdyxydydz 其中是平面所围成的空间整个边界曲面的外侧4.把对坐标的曲面积分xP（, y, z）dydz+Q (x, y, z)dzdx+R (x, y, z)dxdy化成对面积的曲面积分其中（1）3x22 36yz是平面在第一卦限的部分的上侧（2）228(xy )xOyz是抛物面在面上方的部分的上侧习题 11-6 1.利用高斯公式计算曲面积分：（1），其中为平面 x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a 所围成的立222x dydzy dzdxz dxdy 体的表面的外侧（2），其中为球面的外侧333x dydzy dzdxz dxdy 2222xyza（3），其中为上半球体2232(x y z )(2xy y z)xz dydzdzdxdxdy 的表面的外侧2222220,zaxyxya（4），其中是界于 z=0 和 z=3 之间的圆柱体的yzxdydzdzdxdxdy 229xy整个表面的外侧（5），其中是平面 x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1 所围成的24yzxzdydzdzdxy dxdy 立方体的全表面的外侧2.求下列向量 A 穿过曲面流向指定侧的通量：（1），为圆柱的全表面，流向外侧Ayzixzjxyk222(0zh)xya（2），为立方体的全表面，22(2x z)Aix yjxz k0,0,0xayaza流向外侧（3）
