数学建模篮球比赛问题

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1、篮球比赛问题篮球比赛问题摘 要：本题第一问给出了篮球比赛过程的临场技术统计结果，让我们分析各个技 术指标与运动队最终成绩之间的关联关系。题中涉及到了 12 个学院的代表队， 通过分析，我们选取其中的一个队为例子，对其进行分析，然后把分析求解方 法推广到其他代表队，最终求出关联关系。我们是用灰色系统理论提出的关联 度分析方法来进行系统分析的。 根据关联度的定义，可以知道关联度越大两者之间的相关程度也就越大， 所以在第二问中我们就可以按照关联度的大小对这些技术指标进行排序。 信电失误0.79247抢断0.65408 2 分球%0.912972 分球进0.77988 篮板（合） 0.64215 3

2、分球投0.899盖帽0.76302罚球进0.63354 罚球%0.85074犯规0.73272罚球投0.61249 助攻0.80563 分球%0.71606 篮板（攻） 0.58809 2 分球投0.80297 篮板（防） 0.687793 分球进0.568 （以信电为例给出前两问的结果） 在第三问中，我们认为关键比赛场次是指在以积分高低进行排名的前提下， 最影响名次的比赛场次。由此我们分析出了最终比赛积分相同的几支队伍之间 的关键场次。 在第四问中，我们定义了积分率和胜率的概念，用来衡量各个队伍的实力， 这样我们就可以通过总积分率和胜率来给 12 支球队进行排序。胜率从高到低依 次是： 学院

3、数学机电信电管理化学物理 胜率(%)54.0253.7453.0652.1651.9251.38 学院测绘资源计算机能源生物地质 胜率(%)49.7449.2449.0248.2844.4243.02在第五问中，我们根据已求出的关联度和题目中的统计数据给出了一些参 考建议。 在模型的进一步讨论中，我们又提出负相关性和权重胜率来优化模型。一、问题假设及名词定义一、问题假设及名词定义1 1问题假设：问题假设： 1、在所给出的所有比赛中双方都是全力以赴的，不存在放水或者刻意保存 实力的现象，也就是每一场比赛的结果都反映了两者之间的真实的实力对比。 2、对于每一个队，只考虑本队各指标的总体情况，而不考

4、虑每个队员的强 弱情况。 3、每一个篮球队为一个系统。 2 2名词定义：名词定义： 1、积分率： 该队每场比赛的得分除以比赛双方得分之和。2、总积分率：五场比赛积分率之和。 3、胜率：积分率的平均值。 4、权重胜率：考虑 A、B 两组实力不同情况下，各队的胜率。 3 3符号与变量说明：符号与变量说明：1、运动队的各项技术指标（系统的多个因素） ；1,2,17 :ix i L2、各个运动队的五场比赛的比赛成绩，我们将这:5 , 2 , 1)(00Lkkxx作为比较基准；3、该篮球队第 k 场比赛的第 i 个技( )1,2,5 (1,2,17):iixx k kiLL术统计数据；4、 技术统计与比

5、较基准之间的关联系数，这一指标反映了比较数: )(ki列与基准数列之间在某一时刻的关联程度。其中，0000minmin( )( )maxmax( )( ) ( )( )( )maxmax( )( )iiikik i iiikx kx kx kx k kx kx kx kx k 5、关联度，是技术指标与比较基准之间的关联程度，这是: )(11 nkiiknr衡量比较数列与基准数列之间的关联程度的惟一指标。二、问题重述与分析二、问题重述与分析1 1问题重述：（略）问题重述：（略） 2 2问题分析：问题分析： 本题第一问要求我们通过篮球比赛过程的临场技术统计数据来分析各个技 术指标与运动队最终成绩之

6、间的关联关系。 本题目涉及 12 个学院的代表队，分为两个组进行比赛，每组六个队，在每 组比赛中每个队都要和同组的其它队进行一场比赛，也就是对于每一个队来说， 都会参加五场比赛，从而就会产生同类型的五组数据，我们就可以选取其中的 一个队作为例子，对其所有的数据进行分析求解，然后把分析求解方法推广到 每一支代表队，最终得出问题的结果。这对我们进行数据分析提供了方便。 我们对数据进行分析时发现，对于任意两支篮球队之间的比赛，都在附件 中给出了比赛中每个队员的具体表现情况，其中包括：上场时间，2 分球、3 分 球、罚球命中和投篮次数以及命中率，进攻篮板和防守篮板以及总的篮板球次 数，助攻，犯规，失误

7、，抢断，盖帽和得分的情况，我们称这些统计数据为各 个球队的技术指标。对于如此大的数据量，就需要我们从中找出最有价值的数 据，从而使问题简化。我们发现题目中要求的是每一支代表队的技术指标与该 队的成绩之间的关联关系，也就是说应该把每个队看成一个有机的整体，而不 需要考虑队员的情况，简化了问题。 但是题目给出的信息是非常不充分的。看起来各个数据之间以及各个统计 数据和最终成绩之间毫无关系。由于数理统计方法需要大量的数据并且要求样 本有较好的分布规律，而且作为最常用的回归分析法无法分析因素间动态的关联程度，所以数理统计的方法不适用于本题。而模糊数学的研究对象具有“内 涵明确，外延不明确”的特点，但是

8、这也无法解决不确定系统的问题，也无法 解决这样的不确定系统问题。所以我们考虑采用灰色系统理论来解决这个问题。在本题中我们用灰色系统理论提出的关联度分析方法来进行系统分析。关 联度分析实际上是对系统动态发展趋势进行几何关系的比较，主要是斜率的比 较。具体地说，我们认为每一支球队进行的所有比赛就是其本身的一个动态发 展过程，而且我们可以证明所题目中要求的关联度与这些比赛的先后顺序无关。 灰色系统理论的研究对象是一个时间序列，而本题的五场比赛之间可以认为没 有任何关联，所以它们之间的顺序可以是任意的。 我们给出了一种方法来求出关联度： 其中，关联系数为，关联度为，0000minmin( )( )ma

9、xmax( )( ) ( )( )( )maxmax( )( )iiikik i iiikx kx kx kx k kx kx kx kx k 11( )nii krkn根据关联度的定义，可以知道关联度越大两者之间的相关程度也就越大， 所以我们就可以按照关联度的大小对这些技术指标进行排序。 在第三问中我们认为所谓的关键比赛场次就是指在以积分高低排序的前提 下最影响排名的比赛。 在第四问中我们定义了积分率和胜率的概念来衡量各个队伍的实力，这样 我们就可以通过总积分率和胜率来给 12 支球队进行实力排序。三、模型的建立与求解三、模型的建立与求解1 1第一问的求解：第一问的求解： 由上述问题分析，我

10、们可以首先以信电学院为对象进行分析： 信电学院是第二组中的一个代表队。共参加了五场比赛，每场比赛中都给 出了一组临场技术统计数据，我们将这些数据放在了一起，以便找出其中的关 系。我们将这五场比赛分别给出场次（场次顺序可换） 。 对于每场比赛记录下的临场技术统计数据，我们考虑将每一个指标下的所 有队员的情况进行累加求和，把所得结果看成该代表队在该指标下的技术参数。 这样，就得到了五组数据如下表所示： 场次12345 得分78989894100 2 分球进1414201527 2 分球投3025312740 2 分球%46.675664.5255.5667.5 3 分球进616131310 3 分

11、球投2027242728 3 分球%3059.2654.1748.1535.71 罚球进3222192516 罚球投5035263124罚球%6462.8673.0880.6566.67 篮板（攻）1881099篮板（防）2928182322篮板（合）4736283231助攻121617713 犯规2034322714 失误161915219 抢断512948 盖帽35423 表 1.信电学院统计表 对于上面这个表格，我们的任务就变成了找出各个指标与比赛成绩之间的 关联关系。但是看起来题目给出的各个数据之间以及统计数据和最终成绩之间 没有明显的关系。为了找出它们之间的关联关系，我们先对这些数据

12、进行画图， 看是否能找出一点规律性的东西： 从图 1 可以看出，如果曲线几何形状越接近，变化斜率越相近，则关联程 度就越大。由于得分与 2 分球%的曲线最接近，因此我们可以说，2 分球%， （即 2 分球的命中率）与得分之间关联关系越大。但是这样做只能“看”出一些相 近的曲线，得到几个与得分之间相关性比较大的指标，而不能得出所有的指标 与比赛成绩之间的相关关系，也不能得到量化的相关关系，从而不能从根本上 解决本题。 基于这种情况，我们考虑用灰色系统的方法来分析研究以上数据。以得到 每一个指标与比赛成绩之间的量化的关联关系。首先我们对关联系数作一定义， 然后给出衡量各指标与比赛成绩之间关联程度大

13、小的惟一指标关联度。信电学院分析02040608010012012345场次 得分 2分球进 2分球投 2分球% 3分球进 3分球投 3分球% 罚球进 罚球投 罚球% 篮板（攻） 篮板（防） 篮板（合） 助攻 犯规 失误 抢断 盖帽图 1.信电学院分析记为运动队的五场比赛的比赛成绩，我们将此作为5 , 2 , 1)(00Lkkxx比较基准，可以表示为数列（称为基准数列）：0x 5,4,3,2,15 , 2 , 1)(0000000xxxxxkkxxL其中表示场次，为在第场得到的技术统计值。记k kx00xk为运动队的各项技术指标（灰色系统的多个因素） ，我们需要将17, 2 , 1Lixi其与

14、比赛成绩进行比较，首先要将它们构造为比较数列： ,171,2,i 5,4,3,2,15 , 2 , 1)(LLiiiiiiixxxxxkkxx那么，比较数列对基准数列在处的关联系数定义为：ix0xk)()(maxmax)()()()(maxmax)()(minmin )(0000kxkxkxkxkxkxkxkx kikiiikiiki i 其中称为分辨系数，和, 0)()(minmin0kxkxiki分别称为两级最小差和两级最大差。一般来说分辨系数)()(maxmax0kxkxiki取 0.5。 关联系数这一指标描述了比较数列与基准数列在某一场次的关联程度，但 是每一场都有一个关联系数就示得过

15、于分散，难以全面比较。因此，定义比较数列对基准数列的关联度为：，作为衡量系统指标间的关ix0x nkiiknr1)(1联程度大小的惟一指标。 从关联度的表达式可以看出，它把各个场次的关联系数整合成一个平均值， 实现了把分散的信息集中起来，从而从整体上进行处理。 现在我们再看表 1，由于表中数据的量纲不同，而在计算过程中又要求量 纲保持一致，所以我们要将这些数据进行初始化处理，主要是将所有的数据无 量纲化，同时还应使得所有的数列有一个公共的交点以方便比较。我们采用了 以下方法进行转化：设原始数列为： 则可以构造它的初始化数列为：)(,),2(),1 (nxxxXL那么这个初始化数列显然满足无量纲

16、化的要求，而 ) 1 ( )(,) 1 ( )3(,) 1 ( )2(, 1xnx xx xxXL且如果所有的原始数列都构造成这样的初始化数列，则必然有公共交点 1。这 样我们就得到了初始化数列所形成的表，如下表 2 所示： 场次12345 得分11.256411.256411.2051281.282051 2 分球（进）111.4285711.0714291.9285712 分球（投）10.8333331.0333330.91.3333332 分球%11.1999141.3824731.1904861.446325 3 分球（进）12.6666672.1666672.1666671.6666673 分球（投）11.351.21.3