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1、关于方程组的同解性数学系曹才翰本文 是本刊上期登载的方 程的 同解性的续篇。在 中学数学里对于多元一次 方 程组,通常 用代 人消元法或加减消元法求解?而对二元二次方程组只讲一 些特殊形式的特殊解法,其中有通 过因式分解“降次”的 方法。本文着重对上述这些解法的同解性作些讨论。关于二元 方程组可以 一般地表示为? 劣,夕!# 二,夕!,无 劣,刃无 劣,刃%!其 中?、#、! 5夕一(57?7,;!0刀# 7,;!(,? 7,;!二(或“? 7,“!0刀# 7,“!一“,# 7,;! (我们 只要看看前者 对后者也一样 !,因为? 7,; !二8,所以7 ? 7,; !0刀抓7,; !8,实际
2、为 “。 7,“,一“,又因 “半。,故,“!一“,故一9,必是 :!的解。8,? 6#/:.9 一):0,即0劣9&由由用劝用翔一备代人 +得?,代入+&得解出,(?01 夕?丽对了!,、原“ 的”是夕一16 巧,1 %二不石。1口这就是用代 人法来解二元 二 次方程组,其 同解性分析如下定理15&定理1& 拼乏+&拼乏&、了、产、1产、少1八曰,曰了、1工!土,/! ?、了了、(、了、 夕了、协产、了24八4矛、百 了、了、尹了、=黝忿黝定理2= 黝 粉瑞黝1&定理( +&片乏 当一个 二元二次方 程组中一个或二个 方程能分解为二个一次 因式乘积的时候,要 注意运用同解原理 去找 出各种
3、搭配 情况。例2解方 程组、,矛、,产1一, 自!了、?夏、护3(却3犷? ,劣一刃“一 +留一梦&3(? 厂、7户、,夕 (气解方 程1 &可分解为二十%一+ &二3夕3+ &二)而方程( &能分解为二一夕一( &二一%一1 &一 这样根据定理/原方程组 ? !的解集就是下列二个方程 组! 二十一.! 二十0.!8,留一一, ( ?口!二0,一 .! 二0夕0.!(,劣一一% (的解集的并集。而方程组伍!又可分为二 组? (又可分为二组,这样根据定理/,原方 程组的解集就是下 列四个方程 组解集的并集。助伪劣十一.二8,公一一 ,二( ? 、,悦矛、产矛了、0夕一.二( ,一一%久劣00.(
4、 ,劣一夕一, ( ?公00.( ,劣一梦一%( 劣劣 、, 、产、,产、分别解之得 以 下均有同解定理保证!劣叮“尹 、少、 )百?% 一万!劣.一,乏,一% ?二且歹.一%? 歹?一 , ,这就是原方程 组 的四组解。在二元二次方 程组的特殊解法中,其基本思想是“消元”、“降次”。方程组中,若一个是一次的,另一个是二次 的,就可以用代 入法消元?当方 程组中二个方程都是二次时,若二 次项系数成比例,或含二项系数成比例,或含项系数成比例,这时我们 可以利用加减消元法,将其或归为一个是一次的 另一个是二次的方程组?或归为一个是一元二次 方程,另一个是 二元二次 方程 的方程组。若方 程组中,一
5、个 方程能分解因式,那么原方程组就可化为二个方程组,这二个方 程组中,一个是一 次的,而另一个 是二 次的,这样“降次”后就可用“代人法”去解。但有时方 程组中方 程不能直接 分解因式,这时方程组中的方 程如无一次项,就可 用加减消元法消去常数项,从而达到由分解因式而降次的 目的。我 们所介绍的定理%一/,都保证 了上述解法的同解性。最后我们来研究一下这样的问题在解一个一次,一个二 次 的二元二 次方程组时,用代人法求 出一个未知数的值后,把这个值往那个方程里代入9为什么代人一次方程 是正确的?而代人二次方 程就可能产生增根9我 们由下 面的例子来说明。例6解方程组呀十,一,劣“03 , (%
6、!,!解用二二 /由 %!夕, 一二.!,把 .!代入 ,!得劣一/!二0,!(,因此二 /或二一 ,代人 . !得夕二一,用劣二一,代入 . !得二/。?翼或丫如果我们 用了 二,妇一8代 表一 次方程,而用# 二,妇8代 表二次方程,上述解方程的过程实际是这样的。呀? ,!# 劣,!二 8,) !、夕“帆劝,一。,!铆之。 二,!一(、仕 夸 书 一 切 幻,、百梦 冬宁6 口二沪 !,# 刃,切 !#,二!# 二!(、“口帆的,#,二!二甲 !,7)。 华 劝,二7 , 、叮 午宁荡劣切 7,!一7%切 73!就 是原方程的解。劣劣悦,5)、召、, 片拼栽梦二 切劣&,(劣&一?刀,?刀
7、,劣二(劣万以/二口/,刀1刃夕“=悦声0这样看 来 上述例5中最后求出的解就是原方 程组 的解。如果我们不象上面那样解法,而把求出的的值 代入(&,即代入二次的那个 方程中去,把劣一 2代 人 (&,得1十%7一 (,即理(一2?),所以夕?士(,即求出 的解 为2,一(钾一2 , =(, 一(二二一(代入 ( &,得一( &(3犷一( ,即尹一1 一 ,故歹一士2,求一 一一即恤,叨出的解肆一(护一(扩二2,%?一 2 公扩.、褚护、这“们就“求 出四组”二2,一(一(,? 2=?2,%一 (一( ,一一2经检验前二组解是 原方程组的解,而后二组解是增根。如果我们仍用#二,刃?代表 一次方
8、程,而用伽,妇一 代表二次方程,那 么这后一种解法的实际 过程 是这样的#劣,妇? ,、百%二 年?带 万 劣甲劣&,%&?,?切二&,二,伊二&?、夕 午二宁百 0 口二 甲劣&二,夕&二 卫劣&(劣&?%?切劝,1劣&二% “ 甲&,(劣&二、二、? 甲 &,?/。一切 &,?7、 了,式,、,、(、 抖拼如果我们把劣一,、。(不 是代入梦一甲劝,而是代人二,妇二这样就形成 另一个过程 /八 /侧内几内几一一一一一一一一一一一一一一一恤7如户补“卯石:伊、切 拱拱拱拱 、 ?/,%&?、 =袱( & 1刁二伽劣口口 声7,妇二 、犷丁“(、0 又口(,%&、奈几2 &一井一。一摊一一伽刃口
9、了/凡 )这二个过程 没 有必然 的同解联 系。其次,应当指出原方 程组中伽,妇?4的次数是个重要 因素。若伽,刃二 )是一 次的,即原 方程组为二元 一次 方程组,那么 由上述分折看到由代入法 求 出二?,后,代 入到 劣,妇一4中仍得 关于%的一次方程,这时就不会产生增根,而若 苏,刃一4象例5那样是个二次 的,这时由代入 法求出二?,、内,分别代人,刃一 4,又各得关于%的二 次方 程,那么除原方程组 的解外,还 有一组增根。(2我们也能用几何意义来解释这个问题。原方程组 是要 求圆心在原点,半径为甲丽的圆和直 线二十二,的交 点。从圆和直线的位 置关 系可知圆和直 线只有下述三种位 置
10、关系圆和直线 无交点 方 程组 无解!,圆 和直线相切 方程 组有唯一解!,圆和直线相交 方程组有二 组实数解!,这样看来,圆和直线相交,要有 交点的活,最多是二个,而若把劣/,二一一,代入 , !求出四组解,那么肯定 其中有增根。见下 图,第 一个解法 的几何意义是,本来是 求圆护十尹一, (和直线二0夕,的交点,经方 程组 同解变形后,改 为求一 组平行线),、)和直线二0 ,的交点,其交点分 别为? 一,/ !,/,一, !。这 就 是原方程组 的解。而第二 种解法 的几何意义是把本来求 圆沪0尹二, (和 直线留0一 ,的交点,经 方程 组变形后改 为求 圆护一0尹一, (和一 组平行
11、 线, 苏一,?3二一 /的交点,这除求 出所要求 的?、两个交 点外,还 多出?、两点关 于二轴对称的点一,一/!和 /, !。这就是增根产生原因 的几何解释。遗传变异的细胞学基础生 物系遗传育种教研组、 /级部分学员遗传育种学是研究生物的遗传、变异规律,并用来指导 动物、植物和微生物育 种实践的科学。什么叫遗传9遗传就 是所谓 的“类 生类” ,即亲、子 代间以及 子代个体间的相似性。然而,任何事物都不是一成不变的。“生物 在每一 瞬 间是它 自身,但却又是别的什么。”俗语说 的“一母 生九子,九 子各别”,生动地 说明了在生物界找 不到 两个完全 相同的生物。这种亲、子代间以 及子代 个体间的差异性,就叫变异。生物本身的遗传和变异构成了对立统一 的矛盾 双 方,“失去一方,他方就不 存在。”生物若只有遗传的一面,就不 能发展进化?若只有变异的一面,亲代的有利变异就不 能遗 传 传递!给后代,那么 现在 的一切物种也就 不存在了。因此,遗传 和变异是生物一对矛盾的两个方面,它 们互为依存条件,同时也能在一定条件下 互相转化。遗传的性状在一定条件下可 以
