博士学位论文--一类平稳过程的极限性质

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1、序序序言言言设 n;n Z 是独立同分布随机元, g 是一个可测函数, 使得Xn= g( ,n1,n)(1)是一个有定义的随机变量. Xn 是一个平稳 causal 过程. 它代表了一大类过程, 包括线性过程和各种非线性过程. 通常有两种方法处理 (1) 中的 causal过程. 第一种是先验证 Xn满足各种混合条件. 在适当的条件下, 我们可能证明 Xn满足 -混合性或 -混合性等(对于线性过程, 见 Chanda (1974); 对于GARCH 过程见 Basrak 等(2002). 然后利用一些已有的关于混合随机变量的定理, 在各种关于 Xn的统计推断中, 可以得到许多极限定理. 然而一

2、般来说混合系数的计算是不容易的. 此外, 许多过程都不是 -混合的. 例如 AR(1) 过程Xn= (Xn1+ n)/2, 其中 n是独立同分布 Bernoulli 随机变量, 其成功的概率为 1/2. Andrews (1984) 证明了该过程不满足 -混合的条件. 处理 (1) 中的 Xn的另一种方法就是鞅逼近. 鞅逼近方法是非常有效的, 并且常常在文献中被采用. 这种方法的直观描述就是用鞅差来逼近 Xn. 鞅方法最先在 Gordin (1969),Gordin 和 Lifsic (1978) 中被应用, 此后经历了很大的改进. 在极限理论和统计推断中, 鞅方法通常可以导出非常漂亮且有用的

3、定理. 在这一方面, 值得一提的是 Wu, W.B. 近年来所做的许多漂亮且深刻的结果; 见参考文献 Hsing 和Wu (2004), Shao 和 Wu (2007), Wu (2005a, 2005b, 2007a, 2007b, 2008), Wu 和Mielniczuk (2002), Wu 和 Min (2005), Wu 和 Shao (2004,2007). 然而, 一些通过鞅方法获得的结果并不是最优的, 比如强不变原理的收敛速度. 实际上, 用鞅嵌入方法来获得强不变原理的最优速度存在着本质的困难. 另外, 如果我们考虑的极限定理的证明非常依赖于独立性(比方说, 高斯逼近),

4、鞅方法可能不是一个最好的选择. 例如, 第二章我们考虑的平稳过程周期图的最大值问题, 它的证明非常依赖于引理 2.3.5 中的独立随机向量的高斯逼近, 而对于鞅差序列来说, 要得到这种高斯逼近是比较困难的.为了克服上面提到的困难, 我们将介绍另外一种方法(m 相依逼近) 来处理定义于 (1) 中的平稳过程 Xn. 我们用 Xn,m:= EXn|nm, ,n 来逼近 Xn,以及用 Sn,m=Pnk=1Xk,m来逼近 Sn=Pnk=1Xk.IV在第一章中, 我们证明了关于相依随机变量部分和 Sn=Pnk=1Xk的强不变原理.强不变原理是非常有用的.尤其在涉及到统计推断的问题中,它往往起到非常重要的

5、作用. 强不变原理的研究始于 Strassen (1964, 1967).当 Xn;n 1 是独立同分布随机变量且四阶矩有限时, Strassen 证明了Sn B(n2) = Oa.s.(nlog2n)1/4(logn)1/2). 同时他还证明了类似的关于鞅差序列的强不变原理. 随后, 在独立同分布的假设下且 p 阶矩存在时, Koml os等(1975, 1976) 得到了最优速度 oa.s.(n1/p). 对于相依随机变量的研究, 读者可参考第一章的引言所给出的文献. 假设 Xn满足 (1), 在 EX0= 0, E|X0|p ,2 p 4, 以及其他一些关于 Xn 的相依性条件下, Wu

6、 (2007b) 应用其文章的主要结果证明了|Sn B(2n)| = Oa.s.(n1/p(logn)1/2). 利用 m 相依逼近, 我们将证明在一定条件下, 速度 Oa.s.(n1/p(logn)1/2) 可以被改进为最优速度 oa.s.(n1/p).同时我们也将本章的结果与一些已有的定理(如 Aue 等(2006), Wu (2007b) 进行了比较, 并对它们进行了改进, 减弱了它们所需要的矩条件或者相依性条件.此外我们还把主要结果应用到一些特殊的时间序列上, 例如线性过程的泛函,GARCH 过程, 广义随机系数自回归模型等等. 对于这些过程, 我们得到了强逼近的最优速度, 并且获得最

7、优速度的条件在某种程度上来说是最优的. 本章内容将发表于杂志 Stochastic Processes and their Applications. 以下评论引自审稿人对本章内容的评价: ” I consider that the results obtained by the authorsfor causal functions of iid sequences are new and quite interesting. The methodof the proofs requires fine arguments. ”在第二章中, 我们证明了定义于 (1) 的 Xn的周期图最大值的极

8、限定理. 设In,X() = n1flflflnXk=1Xkexp(ik)flflfl2, 0,它是随机变量 X1, ,Xn的周期图. 定义 Mn(X) = max1jqIn,X(j),j=2j/n, 其中q = qn= maxj : 0 j 2 使得 E|X1|s . Davis 和 Mikosch (1999) 证明了Mn(X) logq G,其中 G 服从标准的 Gumbel 分布 (x) = exp(exp(x), x R. 同时他们猜测条件 E|X1|s 可以被减弱到 EX21log+|X1| 2 使得 E|0|s , 且PjZ|j|1/2|aj| . 利用m 相依逼近, 这一章我们

9、证明了条件E|0|s 可以被减弱为E20I|0| n =o(1/logn). 因为独立同分布随机变量序列是线性过程的一个特例, 所以我们证明了 Davis 和 Mikosch (1999) 关于独立同分布随机变量的猜测是正确的. 同时我们还将条件PjZ|j|1/2|aj| 减弱为P|j|n|aj| = o(1/logn). 对于线性过程, Davis 和 Mikosch (1999) 的证明非常依赖于 Walker (1965) 的逼近max0,flflflIn,X()2f() In,()flflflP0.对于非线性时间序列而言, 我们很难得到类似的逼近. 然而, 利用 m 相依逼近, 在一定

10、的相依条件下, 我们也证明了对定义于 (1) 中的 Xn, 有 (2) 式成立. 我们的结果适用于一大类非线性时间序列, 比如门限自回归 (TAR) 模型,ARCH 模型, 随机系数自回归 (RCA) 模型, 指数自回归 (EAR) 模型等等. 本章内容将发表于杂志 The Annals of Statistics. 以下评论引自该杂志一个副主编对本章内容的评价: ” The paper fills an important gap by obtainingasymptotic distributions of maxima of periodograms for nonlinear time

11、 series aswell as short-range dependent linear processes. For the latter, the authors wereable to solve the conjecture by Davis and Mikosch (1999). ”第三章考虑了平稳时间序列的谱密度估计. 谱密度估计在谱理论里是一个非常重要的问题, 并且已经存在着大量的研究. 然而先前的一些结果通常需要严格的条件. 设 r(k) = n1Pn|k|j=1XjXj+|k|, |k| 4 有 E|X1|p , 并且满足 GMC 条件n,p= O(n), 0 1 (n,

12、p为 Xn 的物理相依度量, 具体定义参见 Wu(2005b) 或本文的 (1.2). 他们的结果不包括短程相依的线性过程(也即只要求线性系数绝对可加的过程). 这章我们证明了当 Xn满足 (1), EX40 且Pk=1k,4 0 且 X 服从正态分布时, Schott(2005) 利用样本相关系数的平方和来检验 H0: R = I. 若不假设 X 的正态性,Jiang (2004) 构造了一个基于样本相关系数矩阵最大非对角元的统计量. 设X1, ,Xn是来自于 X 的样本.e(n)i,j是基于样本 X1, ,Xn的样本相关系数(具体定义见第四章序言),eL2n= max1ijpe(n)i,j

13、. 在 E|X1,1|r 30) 的条件序言VII下, Jiang (2004) 证明了limnP(neL2n 4logp + log2p y) = exp ey/2/8,(3)本章则证明了 (3) 中的收敛速度是 O(log2n/logn), 而且它是最优的. 这一章的主要贡献是: 1) 减弱 (3) 成立所需的矩条件; 2) 修改统计量eL2n使其具有更快的收敛速度. 对于1), 我们证明条件 x3P(|X1,1X1,2| xlogx) = o(1) 即可推出(3) 成立. 对于2), 我们定义统计量Wn= nL2n 4logp,其中 L2n= max1ijpr2i,j(r2i,j定义于第

14、四章第一节), 并证明了supyRflflflPWn y exp12expy2flflfl Cn12(logn)52.同时我们还证明了supyRflflflPneL2n 4logp + log2p y expp2 p2P2(1) 4logp log2p + yflflfl Cn12(logn)52.这就是说, 当一个检验统计量具有极值型极限分布时, 我们应该利用某个”中间项” (而不是最终的极限分布) 来逼近统计量的分布. 本章内容将发表于杂志 TheAnnals of Applied Probability. 以下评论引自审稿人对本章内容的评价: ”This is a very import

15、ant finding, as it exactly points out the source of the slowrate of convergence to the extreme value distribution in the high dimensionalcase. ”第五章我们考虑了独立随机变量的一些强极限定理. 设 X,Xn;n 1 是一列独立同分布随机变量. 经典的 Hartman-Wintner 重对数律刻画了limsupnSn2nLLn= a.s.当且仅当 EX = 0 和 2= EX2 . 自从 Feller (1968) 的工作以来, 不少学者致力于将 Hart

16、man-Wintner 重对数律推广至无穷方差的情况. 在最近的一些研究中, Einmahl 和 Li (2005) 证明了 limsupnSn/cn= 0a.s., 其中0= supn 0 :Xn=1n1exp2c2n2nH(cn)= o,VIIIH(x) = EX2I|X| x. 当 X,Xn;n 1 是一列取值于 Banach 空间上的i.i.d. 随机变量时, Einmahl 和 Li (2008) 也给出了类似的结果. 本章第一节将他们的结果推广到了独立(不必同分布) B 值随机变量的情形. 同时, 我们用这结果来研究 Hilbert 型自回归过程经验协方差的重对数律, 从而推广了

17、Menneteau(2005) 的一些结果. 本章第二节证明了方差不存在时多指标部分和的重对数律.我们证明了对于多指标部分和 (d 2), 如果方差不存在, 那么对于一大类正则化序列, 重对数律将不存在. 特别地, 我们证明了 Klass 重对数律 (Klass (1976,1977) 将退化到经典的重对数律. 本章第三节给出了经典的完全收敛性的一点补充. Hsu 和 Robbins (1947) 引入了完全收敛性的概念. Erd os (1949,1950) 证明了Xk=1P(|Sk| k) EX2 , EX = 0.记 f(n) =Pnk=1P(|Sk| k). 我们证明了 f(n) 是缓

18、变的当且仅当 EX2I|X| x 是缓变的, 且 EX = 0.本文收录了作者五年来所撰写的部分论文, 发表和投稿的详细情况可参见文中的附表. 在写作过程中, 本文也得到了国家自然科学基金(10571159) 与高等教育博士计划专项研究基金 SRFDP (20060335032) 的支持, 在此深表感谢. 最后, 限于作者水平有限, 文中难免会有不当或谬误之处, 敬请诸位不吝批评和指正.摘摘摘要要要本文第一部分研究了一类平稳过程 (也即 Xn= g( ,n1,n) 的各种极限性质, 包括部分和的强不变原理, 周期图最大值的渐近分布以及谱密度估计的渐近性质. 它们是概率统计中十分重要的问题, 很

19、多经典的概率统计方面的教科书都对它们有着许多篇幅的介绍. 伴随着研究的深入以及当前人们对于非线性时间序列的兴趣, 这些问题衍生出了许多新的问题, 比如对于非线性时间序列是否也可以考虑类似的问题. 鞅逼近是处理平稳过程的一种常用的手段. 然而它对于上面提到的问题似乎并不适用, 或者说有时候不能达到最理想的结果. 鉴于此, 本文采用 m 相依逼近的方法, 得到了强不变原理的最优速度, 给出了非线性时间序列周期图最大值的渐近分布, 也得到了谱密度估计最大偏差的渐近分布. 在解决这些问题的同时, 我们也解决了近年来一些文献提出的公开的问题.本文第二部分研究了高维向量的独立性检验. 高维问题是近年来统计

20、里十分热门的问题. 而独立性在许多统计问题里面通常被假设. 因而检验独立性是一个十分重要的问题. 基于先前文献中的一些工作, 我们提出了一个统计量来检验向量间各个分量的独立性, 同时也证明了该统计量的渐近分布是极值 I 型分布, 但收敛速度却可以达到多项式速度, 比经典的对数收敛速度要快很多. 本文第三部分研究了 B 值空间独立随机变量的重对数律. 一直以来, 重对数律都是概率极限理论的一个热门的问题. 基于最近几年有关这方面的一些文献, 我们给出了当方差不存在时的独立不同分布的 B 值随机变量的重对数律. 我们的结果推广了先前人们的一些结论.关键词:平稳过程, 强不变原理, 周期图, 谱密度

21、, 样本相关系数矩阵, Berry-Esseen 界, m 相依逼近, 重对数律AbstractThe first part of this paper concerns some limit properties of a class of sta-tionary processes (i.e. Xn= g( ,n1,n), including strong invariance prin-ciples for partial sums, the maximum of periodograms and asymptotics of thespectral density estimation

22、. These subjects are very important in probabilityand statistics, and have been explored in many classical textbooks. Because ofa surge of interest in nonlinear time series, people proposed many new questionson the subjects referred above. For example, can we consider similar problemsfor nonlinear t

23、ime series ? It is well known that martingale approximation isan effective method to deal with stationary processes. However, martingale ap-proximation seems not very suitable for the problems above. For this reason,we use m dependence approximation and obtain the optimal rates for strong in-varianc

24、e principles, the asymptotic distributions of the maxima of periodogramsof nonlinear time series and the maximum deviation of the spectral density es-timation. Meanwhile, we solve some open questions proposed by some previouspapers. The second part of this paper concerns the test on independence bet

25、weencomponents of a high dimensional vector. The high dimension problem is verypopular recently. Since the independence is usually assumed in many statisticalproblem, test on independence is an important problem. Based on some previouswork, we propose a new statistic to test whether components are i

26、ndependent.We also prove that the limit distribution of this statistic is the extreme distribu-tion of type I with a rate of convergence O(logn)5/2/n). This is much fasterthan O(1/logn), a typical convergence rate for this type of extreme distribution.The third part of this paper considers LIL for i

27、ndependent B valued random vari-ables. Based on the previous literature, we prove some LIL for independent Bvalued random variables when their variances are infinite. Some previous resultsare extended.Keywords.Stationary process, strong invariance principle, periodogram,XIIspectral density, sample c

28、orrelation matrix, Berry-Esseen bound, m-dependenceapproximation, law of iterated logarithm目目目次次次致谢I序言III摘要IXAbstractXI目次XIII第一章一类平稳过程的强不变原理11.1引言与主要结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2主要结果的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.3引理 . . . . . . . . . . . .

29、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.4定理和推论的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15第二章平稳过程周期图的最大值392.1引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.2主要结果. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412.3平稳过程 Fourier 变换的不等式以及一个中偏

30、差结果. . . . . . .442.4定理的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51第三章谱密度估计的渐近性质613.1引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .613.2主要结果. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .623.3m 相依逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31、. . . . . . . . .663.4定理的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75XIV第四章高维独立性的检验统计量的渐近分布与 Berry-Esseen 界914.1引言及主要结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .914.2模拟结果以及一个应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .964.3主要结果的证明 . . . . . . . . . . . . . . .

32、 . . . . . . . . . . . . .984.4一般性定理的证明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104第五章独立随机变量的若干强极限定理1215.1Banach 空间中独立随机变量的重对数律及其应用 . . . . . . . . . 1215.2有关多指标部分和与截断和的重对数律的一些结果 . . . . . . . . 1375.3完全收敛性的一个补充 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155论文总结163附录165参考文献171攻读博士学位期

33、间论文完成情况185第第第一一一章章章一一一类类类平平平稳稳稳过过过程程程的的的强强强不不不变变变原原原理理理1.1引引引言言言与与与主主主要要要结结结果果果1.1.1 引言设 n;n Z 是一列独立同分布的随机元, g 表示一个可测函数, 使得Xn= g( ,n1,n)(1.1)是一个有定义的 Rd值 (d 1) 随机向量.Xn 表示了一大类平稳过程,包括各种非线性时间序列模型. 在这一章里, 我们将研究关于部分和 Sn=Pni=1(Xi EXi) 的强不变原理.我们用 | | 表示 Rd中的d 维欧几里德模. 令 d = 1, 并假设 EX0= 0,E|X0|p 以及其他一些条件, Wu

34、(2007b) 的主要结果的一个应用推出了 Sn的强不变原理, 他得到的速度是 Oa.s.(n1/p(logn)1/2) (2 p 0,n,p= kXn Xnkp.(1.2)Wu (2005b) 称 n,p为物理相依度量. 这里我们假定n,p=Xi=ni,p 1. 通过 Wu (2007b) 的定理 1, 我们知道存在关于 (n) 可测的平稳遍历 Lp可积鞅差 Dn, 其相对应的鞅 Mk=Pki=1Di满足kSn Mnkp0p Cp,dnXj=1p0j,p,(1.4)其中 p0= min(2,p). 若 p 2, 则当 n 时, n:= Cov(Sn)/n Cov(D0) =:. (Wu (2

35、007b) 证明了 d = 1 时的 (1.4), 但他的证明对于所有 d 都成立.) 我们假定若 d 2, 则是正定的.(1.5)下面, 我们介绍一个技术性的条件. 记Uj() =2jXi=1|Xi|,j 1, 0.定义 |Xn| 的物理相依度量为en,p, 并令en,p=Pi=nei,p. 显然,en,p n,p,en,p n,p. 现在记p(n) =(pnlog2n若p = 2n1/p若2 p 4.一类平稳过程的强不变原理3我们需要下面的技术性条件.条件 A. 令 2 p 4. 假设存在常数满足 0 1/p 使得对于任何0 0Xj=12j(1)PUj() p(2j) 0 使得 E|X

36、0|p+ , 则条件 A 成立. 对于许多线性及非线性时间序列, 比方说, 线性过程的泛函, GARCH 过程, 广义随机系数自回归模型, 非线性自回归模型 (包括门限自回归模型, 指数自回归模型), 双线性模型等, 在一些合适的条件下, (1.6) 成立. 我们将在第三节给出详细的证明.定定定理理理1.1.1 设2 p 4, (1.5) 和条件 A 成立. 假设 EX0= 0, E|X0|p 0,(Pn=1(logn)2nlog2n2n,2 若p = 2n,p= O(n(p2)/(2(4p)若2 p 4.(1.7)则在一个更大的概率空间上, 存在一个 Rd值布朗运动 B(t), 其协方差矩阵

37、为 ,使得|Sn B(n)| = oa.s.(p(n).(1.8)注1.1.1. 这里我们规定具有协方差矩阵的布朗运动 B(t) 表示一个取值于 Rd上的高斯过程 B(t), 它具有独立增量性, B(0) = 0 且 B(t) B(s) 是一个正态随机向量, 均值为 0, 协方差矩阵为 (t s), 0 s t.注1.1.2. 令 2 p 4 以及 d = 1. 当 Xn 是由 i.i.d. 序列产生的 causal过程时,我们将定理1.1.1 与 Wu (2007b) 的定理 3 进行比较. 他的定理 3 (ii) 以及推论 4证明了, 如果 EX0= 0, E|X0|p 且Xi=1ii,

38、p ,(1.9)4则有 |Sn B(n)| = Oa.s.(n1/p(logn)1/2+1/p(log2n)2/p). 显然, (1.8) 改进了他所得到的速度. 进一步, 由 (1.9) 可推出 n,p= o(n1), 而当 2 p 10/3时, 这一要求比 (1.7) 更强. 当然, 需要指出的是, Wu (2007b) 处理了比我们这里更加一般的过程.注1.1.3.令 00n= (.,0n1,0n) 以及 n= (000,1,.,n).定义 g1(n) =Eg(n+1)|n 和ek= kg1(k) g1(0k)kp,k= kg1(k) g1(k)kp,k= kg(k) g(k)kp.令

39、2 p 4 以及 d = 1. Wu (2007b) 的定理 3 (i) 和命题 3 (iii) 证明了如果E|X0|p , n,p= O(n1/p1/2(logn)1) 和Xk=1k+Xi=kmin(i,eik) 1. 如果没有其他关于 h 的条件, 那么我们所能够得到的 n和en的最好的界是en Can,n C(Xi=na2i)1/2 Cn1/2.(可以取 h(x) = x.) 通过一些简单的计算可得Xi=kmin(i1/2,(i k)=k+k1(2)1Xi=kmin(i1/2,(i k)+Xi=k+k1(2)1+1min(i1/2,(i k) Ck3/21/(2).为了保证 (1.10)

40、, 我们至少要令 (5 +17)/4 2.28. 另一方面, (1.7) 要求 (6 p)/(2(4 p). 可以证明当 p 3.438 时, (6 p)/(2(4 p) 2.28. 进一步, 在节 1.2.1 中, 我们将在假设 E|0|p 下证明条件 A.下面我们给出一个定理, 它不需要条件 A.一类平稳过程的强不变原理5定定定理理理1.1.2 令 2 p 4 且 (1.5) 成立. 假设 EX0= 0, E|X0|p 0.(1.11)记 = max(1 2/(1 + 4),2/p). 那么在一个更大的概率空间上, 存在一个 Rd值布朗运动 B(t), 其协方差矩阵为 , 使得|Sn B(

41、n)| = oa.s.(n/2+)对于任意 0 成立.(1.12)注1.1.4. 若 d = 1, Wu (2007b) 的定理 4 和命题 3 (iii) 的一个应用推出: 如果EX0= 0, E|X0|p (2 0,(1.13)则有 |Sn B(n)| = oa.s.(n/2(logn)3/2), 其中 = max(1 ,2/p). 容易看出若0 min(14,p 2p,p 22(4 p),我们有 . 观察到另一个条件 (1.13), 我们继续讨论注1.1.3 中的例子. 易知(1.13) 中最大的可取为 +1/(2)3/2. 所以 = max(5/2(2)1,2/p).注意到 = ma

42、x(2 1)/(4 3),2/p), 我们可以证明当 1 (2 1)/(4 3),i.e. .例如, 令 p = 3 和 = 7/5, 则有 = 9/13 1/4. 相反地, 如果 3/2, 则可能比更大.1.2主主主要要要结结结果果果的的的应应应用用用在这一节里, 我们假定 n 是独立同分布实值随机变量序列. 下面我们给出定理1.1.1 的一些应用, 同时条件 A 和 (1.7) 也将得到验证.1.2.1 线性过程的泛函设 Yn=Pi=0aini, 其中 ai 满足Pi=0|ai| . 我们考虑如下线性过程的泛函: 设 h 是可测函数, 定义Xn= h(Yn) Eh(Yn).6假设存在

43、r 1 使得|h(x) h(y)| C(|x|r1+ |y|r1)|x y| x,y R.(1.14)推推推论论论1.2.1. 令 2 p 4. 若 E|0|rp 0 使得an 满足(Pn=1(logn)2nlog2n(Pi=n|ai|)2 若p = 2Pi=n|ai| = O(n(p2)/(2(4p)若2 p 4.(1.15)则 (1.8) 成立.注1.2.1. 设 p = 2, h 在 R 上 Lipschitz 连续 (也即 r = 1), 且 E20 . 由推论1.2.1 知, 如果Xn=1(logn)2nlog2nXi=n|ai|2 ,(1.16)我们有limsupnSnpnlog2

44、n= 1/2a.s.(1.17)为了获得 (1.17), Wu (2007b) 定理 2 (ii) 要求Xn=11nXi=n|ai|2/3 .(1.18)下面我们证明 (1.16) 比 (1.18) 更弱. 由 (1.18)可知Pn=1Pi=2n|ai|2/3 .所以 nPi=22n|ai|2/3= o(1), 从而暗示了Pi=n|ai| = o(logn)3/2). 因此我们有Xn=1(logn)2nXi=n|ai|2Xn=1(Pi=n|ai|)4/3nXi=n|ai|2=Xn=11nXi=n|ai|2/3 ,所以 (1.16) 成立.一类平稳过程的强不变原理7注1.2.2. 设 2 p 4

45、, h 在 R 上 Lipschitz 连续以及 E|0|p . Wu (2007b)(该文的第 3.1 节) 证明了在如下条件下:Xi=1i|ai| ,(1.19)成立 |Sn B(n)| = Oa.s.(p(n), 其中 p(n) = n1/p(logn)1/2+1/p(log2n)2/p. 推论1.2.1 将速度 Oa.s.(p(n) 改进为最优速度 oa.s.(n1/p). 进一步, 容易看出 (1.19)推出了Pi=n|ai| = o(n1). 所以当 2 p 2. 这一结果不能由推论1.2.1得到.1.2.2 线性过程的样本自协方差函数设 Yn=Pi=0aini, 其中 ai 满足

46、Pi=0|ai| . 定义 Xn= YnYnmEYnYnm, 其中 m 0 固定. 令 Sn=Pnk=1Xk.推推推论论论1.2.2.设 2 p 4, E|0|2p 以及 (1.15) 成立. 则我们有 (1.8).1.2.3 增广GARCH (1,1) 过程考虑满足如下方程的增广 GARCH (1,1) 过程 Yt:Yt= htt,(1.20)和(h2k) = c(k1)(h2k1) + d(k1),(1.21)其中 (x), c(x) 和 d(x) 是实值函数, ht是非负随机变量, 且 1(x) 存在. 这一增广 GARCH (1,1) 过程是由 Duan (1997) 所引入的. 如果

47、 Elog+|d(0)| ,Elog+|c(0)| 和 Elog|c(0)| 0. 他们假设存在某个 0 使得(h20) ,(1.23)并且存在 C 和使得flflfl10(1(x)flflfl Cx对于所有的x 成立.(1.24)用 Yn 表示 (1.20) 与 (1.21) 的平稳解, 并令 Xn= |Yn|r E|Yn|r, r 1. 在推论1.2.3 的条件下, Aue 等 (2006) 的定理 2.2 保证了 E|X0|p .推推推论论论1.2.3.设 2 p 4 且 (1.23) 以及 (1.24) 成立.假设E|0|pr ,E|c(0)|pr(1+0)/2 1 和 E|d(0)

48、|pr(1+0)/2 0 使得E|0|8+ 4(1+ 0) 使 E|c(0)| 1 和 E|d(0)| 0 成立.(1.25)我们的结果证明了速度oa.s.(n5/12+) 可以被改进为最优速度oa.s.(n1/p), 其中2 p 4, 并且只需要条件 E|0|2p , E|c(0)|p(1+0) 1 以及 E|d(0)|p(1+0). (Aue 等 (2006) 的定理 2.4 (i) 没有陈述条件 E|c(0)| 1. 其实这条件是必需的, 见他们文章中的引理 5.1-5.3.)注1.2.5. 同样地, 我们可以建立 Yn 的样本自协方差函数的强不变原理.注1.2.6. Aue 等 (20

49、06) 阐述了一些 (1.25) 在变点分析中的应用.1.2.4 广义随机系数自回归模型设Xn= AnXn1+ Bn,n Z,(1.26)一类平稳过程的强不变原理9其中 (An,Bn) 是独立同分布的随机变量, 取值于 M(d)Rd, M(d) 表示 dd实矩阵的集合. 在这个模型里, 我们并不需要假定 An与 Bn独立. 正因为如此,(1.26) 被称为广义随机系数自回归模型 (Pham 1986). 令Xn= Bn+Xk=1AnAn1Ank+1Bnk.(1.27)我们通过 |M| = sup|x|1|Mx|, x Rd, M M(d) 来定义 M(d) 中的模. 如果Elog|A0| 0

50、, Elog+|B0| , 则 (1.26) 具有一个唯一的严平稳解 (1.27); 见Brandt (1986), Bougerol 和 Picard (1992). 定义 Sn=Pni=1(Xi EXi).推推推论论论1.2.4. 令 2 p 4. 假设 E|A0|p 1 以及 E|B0|p . 则 (1.8) 成立.1.2.5 双线性模型在这一节里, 我们引用 Fan 和 Yao (2003), p 184-185 里所给的双线性模型的介绍. ”设Xt=aXj=1bjXtj+ t+bXk=1aktk+PXj=0QXk=1cjkXtjktk,t Z.(1.28)令 d = maxa,P +

51、 b,P + Q, m = d maxb,Q, ba+j= ab+j= cP+i,Q+j= 0,i,j 1. Pham (1985, 1993) 证明了定义于 (1.28)的 Xt有如下表示:Xt= hZt1+ t,以及Zt= (A + Bt)Zt1+ ct+ d2t,其中状态变量 Zt是一个 d 1 向量, Xtm+i是它的第 i 个分量, i = 1, ,m,且mXk=jbkXt+jk+nmXk=jnak+PXl=0clkXt+jklot+jk作为它的第 (m + j) 个分量, j = 1, ,d m; h 是一个 d 1 向量, 它的第(m+1) 个分量是 1, 其余分量为 0; c

52、是一个 d1 向量, 它的第 m1 个分量是100, 接着依次是 1, b1+a1, bdm+adm; d 是一个 d1 向量, 其前 m 个分量是0, 接下来依次是c01, ,c0,dm; B 是一个dd 矩阵, 其左下角(dm)(m+1)子矩阵为cm1c01.cm,dmc0,dm,余下的元素为 0; A 是一个 d d 矩阵, 1 作为 (i,i + 1) 元, i = 1, ,d 1, bj作为它的 (m + j,m + 1) 元, j = 1, ,d m, 以及 bd1k作为它的 (d,k) 元,k = 1, ,m + 1, 0 作为其它剩下的元.”令 At= A + Bt, ct=

53、ct+ d2t. 则Zt= AtZt1+ ct(1.29)为广义随机系数自回归模型.如果 Elog|A0| 0, Elog+|c0| , Brandt(1986), Bougerol 和 Picard (1992) 证明了 (1.29) 有唯一严平稳解Zt= ct+Xk=1AtAt1Atk+1ctk.现令 Xt是 (1.28) 的严平稳解且 Sn=Pnt=1(Xt EXt).推推推论论论1.2.5.令 2 p 4 并且假设 E|0|2p , E|A0|p 1 和 E|c0|p . 则(1.8) 成立.1.2.6 非线性自回归模型我们通过如下方程定义非线性自回归模型:Xn= f(Xn1) + n

54、,n Z,(1.30)其中 |f(x) f(y)| |x y|, 0 1. (1.30) 的一些特例包括 TAR 模型(Tong 1990) Xn= amax(Xn1,0)+bmin(Xn1,0)+n其中 max(|a|,|b|) 1; 指数自回归模型 (Haggan 和 Ozaki 1981) Xn= (a + bexp(cX2n)Xn1+ n, 其中|a| + |b| 0. 若 E|0|p , 则 Xn可以表示为 g( ,n1,n), 并且存在某个0 1, 使得n,p Cn; 见Wu 和Shao (2004). 令Sn=Pni=1(XiEXi).一类平稳过程的强不变原理11推推推论论论1.

55、2.6.假设 2 p 4, E|0|p 0以及 r (0,1) 使得对所有 n N,kg(n) g(n)kp Crn,(1.31)其中 n= ( ,01,00,1, ,n). 在这一节里, 我们令Xn=Xi=0aini(1.32)其中 n= g(n) 是实值随机变量满足 (1.31). 我们将给出 Sn=Pni=1(Xi EXi)的强不变原理, 其速度比 p(n) 要稍微慢一点.定义 p(n) = n1/p(log2n),2 p 4.推推推论论论1.2.7. 令 2 p 3/2 + 1/p 有Xi=n|ai| = O(n1/p1/2/(logn).(1.33)则在一个更大的概率空间上, 存在一

56、个实值布朗运动 B(t) 其方差为使得|Sn B(n)| = oa.s.(p(n),(1.34)其中 = (Pi=0ai)22, 2= limnE(Pni=1(i Ei)2/n.注1.2.7. 推论1.2.7 改进了 Wu (2007b) 的推论 5 (ii) 的速度, 他获得的速度是Oa.s.(p(n), 其中p(n) = n1/p(logn)1/2若2 p 1 且 X1 Lq. 记 q0= min(2,q), 则我们有kRnkq0q Cq,dnq0m,q,(1.35)其中 Cq,d是仅依赖于 q 和 d 的常数.(ii) 若 q 2, 则有kRnk2q Cq,dn2m,q.(1.36)(

57、iii) 若 1 q 2, 那么kRnkqq Cq,dn(logn)q2m,q.(1.37)证明. 利用 Wu (2007b) 的命题 1, (i) 可推出 (ii) 和 (iii). (Wu (2007b) 的命题 1是在 d = 1 的情形下的, 但它的证明对所有的 d 都成立.) 所以我们只要证明 (i).由 Xi= limjE(Xi|Fi+j(i) 我们可以看出Rn=nXi=1Xj=mi+1Pi+jXi=Xj=mn+1nXi=(mj+1)1Pi+jXi=:Xj=mn+1Rn,j.对于固定的 n 和 m, Rn,j,j mn+1 是一列鞅差, 可测于 (j,j+1,).若 q 2, 利用

58、 Burkholder 不等式, 我们有kRnk2q Cq,dEhXj=mn+1|Rnj|2iq/22/q Cq,dXj=mn+1kRnjk2q.(1.38)注意到kRnjkqnXi=(mj+1)1kPi+jXikqnXi=(mj+1)1i+j,q.(1.39)一类平稳过程的强不变原理13利用 (1.38) 和 (1.39), 可以看出kRnk2qCq,dXj=mn+1nXi=(mj+1)1i+j,q2=Cq,dmXj=mn+1nXi=mj+1i+j,q2+ Cq,dXj=m+1nXi=1i+j,q2Cq,dn2m,q+ Cq,dXj=m+1nXi=1i+j,qm,qCq,dn2m,q+nXi

59、=1i+m,qm,q,这样 (1.35) 就被证明了. 若 1 q 2, 则有E|Rn|q Cq,dEhXj=mn+1|Rnj|2iq/2 Cq,dXj=mn+1E|Rnj|q.利用 (1.39) 可知E|Rn|qCq,dXj=mn+1nXi=(mj+1)1i+j,qq=Cq,dmXj=mn+1nXi=mj+1i+j,qq+ Cq,dXj=m+1nXi=1i+j,qqCq,dnqm,q+ Cq,dXj=m+1nXi=1i+j,qq1m,qCq,dnqm,q.所以 (1.35) 成立, 这就完成了证明. 由引理1.3.1 我们能够推得如下引理.引引引理理理1.3.2. 假设q 2, X1 Lq,

60、 EX1= 0 以及0,q 2, 我们有 E(Sn)q Cnq/2和 E(S0n)q Cnq/2.(ii) 若 q 2, 我们有 E|Sn|q Cnq/2和 E|S0n|q Cnq/2, 其中 C 是一个有限正常数, 依赖于 d, q, ,q和 kX1kq, 但不依赖于 m.下面的 Fuk-Nagaev 不等式可以在 Shao (2000) 中找到. (在 d = 1 时, Shao证明了这个不等式. 推广到所有 d 的情形是立刻地.)14引引引理理理1.3.3.设 Y1, ,Yn是 Rd值独立中心化的随机向量. 对于任何 x 0 和y 0, 我们有Pmax1in|iXj=1Yj| dx2dP

62、 Einmahl (1989) 定理 12.引引引理理理1.3.5.设 X,X1,.,Xn是独立同分布均值为零的Rd值随机向量, 其协方差矩阵 Cov(X) = I. 假设存在一个 (0,1/2) 使得E|X|3exp(|X|) 1.(1.40)则在一个更大的概率空间上, 我们可以构造出独立正态随机向量 Y1,.,Yn, 满足 EYk= 0, Cov(Yk) = I, 1 k n, 使得对于 x 0, 成立Pmax1kn|kXi=1(Xi Yi)| x c11nhexp(c12x) + exp c12x1/2i,其中 = E|X|3, c11, c12是仅依赖于 d 的正常数.一类平稳过程的强

63、不变原理151.4定定定理理理和和和推推推论论论的的的证证证明明明用 Ii表示区间 2i,2i+1), i 0. 给定 0 a 1, 0 b 1, 有Hp(n)Hp(nt)= O(n(1t)/p).(1.41)(2). 对于任意 0, 当 n 足够大时 n1/p/Hp(n) 非增, 并且 Hp(2n)/Hp(n) =O(1).(3). 若 2 p 0 使得当 n 足够大时 Hp(n)/n1/2非增.(4). 若 p = 2, 则存在某个 C 0 使得Pn=1exp C2nH22(2n) 0, 有 na/H2p(n) = O(n) 和 n1a+b/H2p(n) = O(n).(6). 我们有Tp

64、:=Xn=12pn/2p2bn,p(Hp(2n)p(n2Ip = 2 + 1) .(1.42)(7). 令 2 p 4. 假设存在常数满足 0 1/p 使得对任意 0 0 都有Xj=12j(1)PUj() Hp(2j) .(1.43)选择了适当的 a 和 b 后, Hp(n) = nhn将满足 (1)-(5), 其中 1/p 1/2,hn缓变且递增. 同样的, H2(n) =pnlog2n 也有类似的性质.下面的引理在利用或验证条件 (7) 时是有用的.引引引理理理1.4.1.设 2 p 4, E|X0|p 0, 有Xj=12j(1)PU0j() Hp(2j) ,16其中U0j() =2jX

65、i=1|Xi|0,|Xi|0= E|Xi|i2j, ,i,1 i 2j.证明. 由 (1), 引理1.3.1 以及下面 (1.51) 中的论证, 我们可以立刻得到该引理. 为了证明定理1.1.1 和 1.1.2, 我们只要证明如下依赖于条件 (1)-(7) 的更一般的定理.定定定理理理1.4.1.设 2 p 4, (1.5) 以及 (1)-(7) 成立. 进一步假设 EX0= 0 和E|X0|p . 那么在一个更大的概率空间上, 存在一个 Rd值布朗运动 B(t), 其协方差矩阵为 , 使得|Sn B(n)| = oa.s.(Hp(n).(1.44)定理1.4.1 的证明是由一系列的引理构成的

66、. 首先, 利用引理1.3.1, 我们用m 相依随机向量的部分和来逼近 Sn. 然后这一部分和可以被分解为两部分, 分别称它们为大块和小块. 观察到引理1.4.2 和 1.4.3, 我们可以看出小块是可以被忽略掉的. 通过 Einmahl (1987, 1989) 的一些关于高斯逼近的结果, 并利用引理1.4.4-1.4.6, 我们得出大块的和可以用一个 Rd值的布朗运动来逼近.定理1.4.1 的证明. 当 2i j 2i+1时, 我们令 Xj= EXj|jqi1, ,j. 由引理1.3.1 和条件 (6), 我们可以得出Xi=1Pmax2ij2i+1flflfljXk=2i(Xk Xk)fl

67、flfl Hp(2i)Cp,d,Xi=02ip/2pqi,p(Hp(2i)p(i2Ip = 2 + 1).再利用 Borel-Cantelli 引理, 我们有max2ij 1 使得当 n 充分大时,有 Hp(2n+1)/Hp(2n) c. 因此由 (1.45) 我们可以从常规的论证中得出max1j2iflflfljXk=1(Xk Xk)flflfl= oa.s.(Hp(2i).(1.46)一类平稳过程的强不变原理17记i(j) =XkIi(j)Xk,i(j) =XkJi(j)Xk,i(ki+ 1) =XkJi(ki+1)Xk,1 j ki.对于任意 n 0, 存在整数 mn 0 和 1 tn

68、kmn+ 1 使得 2mn n 2mn+1, n Imn(tn)SJmn(tn) (定义 Imn(kmn+ 1) = ).令 Nmn= 2mn+cardStn1j=1Imn(j)SJmn(j). 由 (1.46) 以及上面提到的分块方法, 我们可知 Sn能被分解为Sn=nmn1Xi=1kiXj=1i(j) +tn1Xj=1mn(j)o+nmn1Xi=1ki+1Xj=1i(j) +tn1Xj=1mn(j)o+nXi=Nmn+1Xi+ oa.s.(Hp(n) =: S1,n+ S2,n+ S3,n+ oa.s.(Hp(n).我们将证明 S2,n以及 S3,n是可以被忽略的, 而 S1,n可以用一个

69、布朗运动来逼近.引引引理理理1.4.2.在定理1.4.1 的条件下, 成立 |S3,n| = oa.s.(Hp(n).证明. 为了简洁起见, 我们记 an,j= 2n+ (j 1)(pn+ qn). 我们只要证明max1jkn+1maxan,jkan,j+1|k2n+1Xi=an,jXi| = oa.s.(Hp(2n).(1.47)由平稳性以及 Borel-Cantelli 引理, (1.47) 将成立, 假如我们能够证明Q :=Xn=12(1a)nPmax1j2pnflflfljXk=1X0k,nflflfl Hp(2n) ,(1.48)其中 X0k,n= EXk|kqn1, ,k, 1 k

70、 2pn.令 b 1, 并取整数 r 满足 rb 0, 我们可以得到: 对任意 q 0, 有Xn=12(1a)nPL1 Hp(2n) C,q,dXn=12(1a)ndnE|1|2(Hp(2n)2q+ C,q,dXn=12(1a)ndnE|1|p(Hp(2n)p. (1.50)利用引理1.3.2, 我们有 E|1|2= O(qn(i). 回顾 dn(i) 2(aib)n. 由 (5) 并令 q充分大, 已经可以看出 (1.50) 中的第一项是有限的. 我们断言第二项也是有限一类平稳过程的强不变原理19的. 实际上, 利用引理1.3.1, 有E|1|p Cp,d(qn(i)p/2pqn1(i+1)

71、,p Cp,d2ibpn/2p2i+1b(n1),p.因而上面的断言被证明了, 只需把上面的估计代回到 (1.50) 式中并且观察到Xn=12(1ib)n+ibpn/2p2i+1bn,p(Hp(2n)p CXn=1n+1i+1Xk=ni+1+12k+ib(p2)k/2p2i+1bk,p(Hp(2k)p CXn=12ni+1+b(p2)n2p2bn,p(Hp(2ni+1)p CXn=12pn/2p2bn,p(Hp(2n)p ,(1.51)其中在第三和第四个不等式中, 我们分别用了 b , (1) 和 (6). 同理可证Xn=12(1a)nPL2+ L3 Hp(2n) .合并上面的不等式, 我们证

72、明了 Q2 .现在我们只要证明Q1 . 对于1 j dn(r), 记j,n=PmJj,n(r)X0m,n(r),j,n=PmKj,n(r)X0m,n(r). 那么Q12Xn=12(1a)nPmax1jdn(r)|jXk=1k,n| 81Hp(2n)+Xn=12(1a)ndn(r)Pmax1kqn(r)|kXi=1X0i,n(r)| 41Hp(2n)=:Q11+ Q12.通过一个类似于 (1.50) 的证明, 如果下式成立, 则我们可以得到 Q11 :Xn=12(1a)ndn(r)P|1,n| Hp(2n) .(1.52)实际上, 由于 rb , 我们可以由 (7) 和引理1.4.1 得到上式.

73、类似地, Q12 ,从而有 Q1 . 我们完成了引理的证明. 20引引引理理理1.4.3.在定理1.4.1 的条件下, 我们有 |S2,n| = oa.s.(Hp(n).证明. 引理1.4.3 的证明已经被包含在引理1.4.2 的证明里了. 实际上, 我们可以从 (1.47) 得出mn1Xi=1|i(ki+ 1)| =mn1Xi=1o(Hp(2i) = o(Hp(n)a.s.因而只要证明max1mnm1Xi=1kiXj=1i(j) + max1tkmtXj=1m(j) = oa.s.(Hp(2n),而上式又可以由下式得到:max1iknflflfliXj=1n(j)flflfl= oa.s.

74、(Hp(2n).(1.53)注意到 i(j),i 1,1 j ki 是独立随机向量, 然后由 Borel-Cantelli 引理,引理1.3.3, (1.48) 并观察到 knE|n(1)|2= O(2n(1a+b), 我们知 (1.53) 成立. 由 (7), 我们知道对于任意 0 , 存在一列正实数 n() 满足n() & 0 且足够慢(例如至少要满足 n()log3n % ) 使得Xj=12j(1)PUj() + U0j() j()Hp(2j) 以及n()H22(2n)/2n . (注: 由 (4) 可推出 H22(n)/n .) 现在取 i=i(rb), 其中 rb , 并令0i(j)

75、 = i(j)I|i(j)| iHp(2i),00i(j) = 0i(j) E0i(j),1 j ki,i 1.引引引理理理1.4.4.在定理1.4.1 的条件下, 我们有knE|n(1)|I|n(1)| nHp(2n) = o(Hp(2n).(1.54)证明. 若 p = 2, 则由引理1.3.2 我们有knE|n(1)|I|n(1)| nHp(2n)1nkn(Hp(2n)1E|n(1)|2I|n(1)| nHp(2n)=o(Hp(2n),一类平稳过程的强不变原理21因而 (1.54) 成立. 现在假设 2 p 4. 容易看出E|n(1)|I|n(1)| nHp(2n) CXj=nHp(2j

76、)P|pnXk=1X0k,n| nHp(2j).(1.55)为了估计 (1.55) 中的不等式, 我们需要注意到由 (1.48) 到 (1.52) 的论证可推得Pmax1ipn|iXk=1X0k,n| nHp(2j) O2an2nH2p(2j)q+ O(1)r1Xi=0dn(i)2ibpn/2p2i+1b(n1),ppnHp(2j)p+O(1)dn(r)Pmax1kqn(r)flflflkXi=1X0i,n(r)flflfl Cq,dnHp(2j),(1.56)其中 q 可以任意大且Pmax1kqn(r)flflflkXi=1X0i,n(r)flflfl Cq,dnHp(2j) PUn(rb)

77、 nHp(2j)+ Cd,q,p2rbpn/2p2rb(n1),ppnHp(2j)p.(1.57)由于当 j n 时, Un(rb) Uj(rb), 我们可以利用 (3) 得(Hp(2n)1knXj=nHp(2j)dn(r)PUn(rb) Cq,dnHp(2j) (Hp(2n)12(1rb)nXj=nHp(2j)PUj(rb) Cq,djHp(2j)= O(1)Xj=n2(1rb)jPUj(rb) Cq,djHp(2j)= o(1).将这一估计, (1.56) 和 (1.57) 代回到 (1.55) 中, 然后经过一些计算, 我们可以马上得到 (1.54). 由 (1.56) 和 (1.57)

78、可以看出Xn=12(1a)nPmax1ipnflflfliXk=1X0k,nflflfl nHp(2n) .(1.58)22记 n,j:= Cov(00n(j), n 1, 1 j kn. Xn 的平稳性使得对于 1 j kn有 n,j= n,1.引引引理理理1.4.5.假设 = I 且定理1.4.1 的条件成立, 则有Q3:=Xn=1expH2p(2n)kn|pnI 1/2n,1|2 ,其中一个矩阵 A 的模定义为 |A| = sup|x|6=0|Ax|/|x|.证明. 记Tn(j) =XiIn(j)Xi= (Tn,1(j), ,Tn,d(j),1 j kn.通过一些简单的计算可知|n,1

79、 Cov(n(1)| CE|n(1)|2I|n(1)| nHp(2n).(1.59)利用引理1.4.1 和 (1.4), 我们可以得到E|Tn(1) n(1)|2= O(2an2qn,2),(1.60)|Cov(Tn(1) Cov(n(1)|2= O(22an2qn,2),(1.61)以及|Cov(Tn(1) pnI|2= O(1)2anpnXi=12i,2.(1.62)下面我们首先来处理p = 2 的情形. 记Sn= (Sn,1,Sn,d) 和D0= (D0,1, ,D0,d).则由 (1.4) 我们可知 Sn,i/n N(0,2i), 并且对每个 1 i d, 有 ES2n,i/n 2i,

80、其中 2i= ED20,i. 这就使得 S2n,i/n 是一致可积的. 因此E|Tn(1)|2I|Tn(1)| nHp(2n) = o(2an).(1.63)又因为对于任意半正定矩阵 A, 有 |(I A)2| |I A2|2, 于是我们可以从(1.59)-(1.63) 得出kn|(pnI 1/2n,1)2| knp1n|pnI n,1|2= o(2n).(1.64)一类平稳过程的强不变原理23结合 (4) 我们证明了引理.下面我们假设 2 p 4. 令 (1.56) 和 (1.57) 中的 r 充分大使得 rb ,其中定义在 (3) 中. 与证明 (1.54) 一样, 我们容易从 (1.

81、56), (1.57) 以及简单的计算中得出H2p(2n)kn2naE|n(1)|2I|n(1)| np(2n)2 CH2p(2n)2n2anXj=n2aqn2qnH2q2p(2j)2+CH2p(2n)2n2anXj=nr1Xi=02(a+ib(p2)/2)np2i+1b(n1),ppnHp2p(2j)2+CH2p(2n)2n2andn(r)Xj=nH2p(2j)PUj(rb) Cq,djHp(2j)2=: I1(n) + I2(n) + I3(n).通过 (2), (3) 和(5), 我们有Xn=1I1(n) CXn=1Xj=n2(1a)n+aqn2qnH2qp(2j)2 CXn=12(1a

82、)n+aqnH2qp(2n) ,Xn=1I2(n) CXn=1r1Xi=02(1+ib(p2)/2)np2i+1bn,ppnHpp(2n) 和Xn=1I3(n)CXn=1H2p(2n)2(1rb)nXj=nH2p(2j)PUj(rb) Cq,djHp(2j)2CXj=1H2p(2j)PUj(rb) Cq,djHp(2j)jXn=12(12)nH2p(2n)2(2rb)nCXj=121rbjPUj(rb) Cq,djHp(2j).进一步, 利用 n,2 n,p和 (6), 我们可以得出对于充分大的 q, 成立Xn=1H2p(2n)2(1a)npnXi=12i,2qCXn=12(1a+b)nH2p

83、(2n)q+Xn=12n22bn,pH2p(2n)q 0 和 x 0, exCxq, 可以看出Q3CXn=12(1a)nPpni=12i,2H2p(2n)q+ CXn=12qn2q2bn,pH2qp(2n)+CXn=1(I1(n) + I2(n) + I3(n)q 2 使得Q4:=Xn=1knE|00n(1)|q(Hp(2n)q .(1.65)注1.4.1. 由引理的证明我们可以看出若 p = 2, 则 q 可以比 4 小.证明. 我们有Q4CXn=12(1a)nPnk=1Hqp(2k)PHp(2k1) |n(1)| Hp(2k)(Hp(2n)qCXn=12(1a)nPnk=nHqp(2k)P

84、|n(1)| Hp(2k1)(Hp(2n)q+ C,(1.66)其中 0 b) 通过如下方法取得: 因为 b a, 我们可以令 0 足够小使得 (1+a)/2 a(b/a). 若 p = 2,我们取 = (1 + a)/2 以及 q =4(1a)1a+. 因此由 (1) 得Xn=12(1a)nPnk=1Hq2(2k)Hq2(2n) CXn=12(1a)n2(1)nq/2 2, 我们可以令 max(a/(a + ),b/a) b, k n, 我们有 pk qn. 因此 j,k,1 j dn(k) 是独立随机向量. 同样, j,k 也是一些独立随机向量. 在引理1.3.3 中, 令x = Hp(2

85、k1),y = x/(12t). 利用引理1.3.3 和1.3.1, 我们有P|n(1)| Hp(2k1) O2an(Hp(2k)2t+ d2a(nk)+1P|1,k| Ct,dHp(2k1) O2an(Hp(2k)2t+ d2a(nk)+1P|pkXi=1X0i,k| 21Ct,dHp(2k1)+Ct,d,p(Hp(2k1)p2a(nk)+apk/2p2bk,p,其中 t 充分大. 由 (4) 和上面提到的的选取, 我们知道: (i) 当 p = 2 时,H2p(2n) C2n以及 a; (ii) 若 p 2, 则由 (5) 和 a/(a + ) 知 2an=O(1)2(aa)nH2p(2

86、n). 因此, 对于 p 2, 当 t 很大时成立Xn=12(1a)nPnk=nHqp(2k)2an(Hp(2k)2t(Hp(2n)q .利用 (2) 和初等的计算可得Xn=12(1a)nPnk=n(Hp(2k)qp2a(nk)+apk/2p2bk,pHqp(2n) CXk=12a(p2)k/2(Hp(2k)qpp2bk,pXn=k2n(1/p)qn2(1/p)qnHqp(2n) CXk=12pk/2p2bk,pHpp(2k) .把这些不等式代回到 (1.66) 中可以使得Q4CXn=12(1a)nPnk=nHqp(2k)2a(nk)P|Ppki=1X0i,k| CtHp(2k1)(Hp(2n

87、)q+ CCXk=12(1a)kP|pkXi=1X0i,k| CtHp(2k1)+ C.26最后结合 (1.58) 我们可以推出 Q4 0. 因此, 不失一般性, 我们可以假定 = I. 由(1.54) 和 (1.58), 为了证明该引理, 我们只要证明flflflflflmn1Xi=1kiXj=100i(j) +tn1Xj=100mn(j) B(n)flflflflfl= oa.s.(Hp(n).(1.68)下面我们引进一些记号. 设 000i(j) = 1/2i,j00i(j).(由 (5.55), 我们可以看出p1nn,1 I. 因此可以假定对于所有的 n, n,1是正定的.) 显而易见

88、, 00i(j) =1/2i,j000i(j). 记eSn(t) =n1Xi=1kiXj=1(piI 1/2i,j)000i(j) +tXj=1(pnI 1/2n,j)000n(j),S0n(t) =n1Xi=1kiXj=1pi000i(j) +tXj=1pn000n(j),02n=mn1Xi=1kiXj=1pi+tn1Xj=1pmn.由 Einmahl (1987) 的引理 3 并结合引理1.4.5 和 1.4.6 可推出Xn=1Pmax1tkn|eSn(t) eSn1(kn1)| Hp(2n) .(1.69)再利用 Borel-Cantelli 引理, 为了得到 (1.68), 我们只要证

89、明|S0mn(tn 1) B(n)| = oa.s.(Hp(n).(1.70)p = 2 的情形. 设bn=Pni=1ki. 定义引理1.3.4 中的an 如下: 若bn1 k bn,则取ak= Hq(2n). 同时, 我们定义引理1.3.4 中的 Zn 如下:Zk=pn000n(k bn1)bn1 k bn.一类平稳过程的强不变原理27因为 (1.65) 暗示了引理1.3.4 中的条件成立, 因此在一个更大的概率空间上,我们可以构造独立中心化的正态随机向量 n,n 1, 其协方差矩阵为Cov(n) = Cov(Zn), 使得max1kbn|kXi=1(Zi i)| = oa.s.(Hp(2n

90、).(1.71)不失一般性, 若 bn1 k bn, 我们可以把 k写为pnYn(k bn1), 其中Yn(j),n 1,1 j kn 是独立同分布正态随机向量, 协方差为 Cov(Yi(j) =I.2 p 4 的情形. 因为 (1.65) 在 2 q 0 使得当 n N0时有nE|000n(1)|3exp(n|000n(1)|) 1,其中 n= 1/2np1/2n(Hp(2n)1logHp(2n).通过利用引理1.3.5, 我们可以在一个更大的概率空间上构造出独立正态随机向量 Yn(1), ,Yn(kn) 满足 EYn(j) = 0, Cov(Yn(j) = I, 1 j kn使得对于 x

92、) +tXj=1pm000m(j)() Ym(j)()| K() +nXi=11/2iHp(2i) K() + o(Hp(2n),(1.73)28其中 K() 是一个有限常数.记S00n(t) =n1Xi=1kiXj=1piYi(j) +tXj=1pnYn(j),1 t kn.不失一般性, 我们可以假设存在一个 Rd值布朗运动 B(t) 其协方差矩阵为 I 使得 S00mn(tn 1) = B(02n), 并且我们可以证明 |02n n| C(n1a+b+ na). 由 (5)以及正态分布的尾概率估计, 我们可以得到|B(02n) B(n)| = oa.s.(Hp(n).(1.74)结合 (1

93、.71), (1.73) 和 (1.74), 我们完成了 (1.67) 的证明.若 d = 1 并且 = 0, 则有 Dk= 0 a.s., k 0. 利用 (1.4), 引理1.3.1 以及引理1.4.5 的证明, 我们可以得出Xn=1expH2p(2n)knn,1 0 充分小. 可以看出 0 b a(a + 1)/2, 以及 (1)-(5), (7) 成立. 若2 p 4, (6) 容易被证明. 对于余下的 p = 2 的情形, 我们有T2CXi=1i22i2qi,22ilogi CXn=1(logn)22nb,2nlog2nCXn=1(n+1)1/bXi=n1/b+1(logi)22ib

94、,2ilog2i CXn=1(logn)22n,2nlog2n.这就完成了定理1.1.1 的证明. 一类平稳过程的强不变原理29定理1.1.2 的证明. 令 Hp(n) = n/2+, a = , b = 2 1. 注意到 2/p 1,我们有 b a(a + 1)/2. 容易证明 (1)-(7) 成立, 因而定理得到证明. 推论1.2.1 的证明. 由 h() 所满足的条件 (1.14) 以及 H older 不等式, 我们可以得出 n,p= O(|an|), 因而 (1.7) 成立. 现在只要验证条件 A. 令 1/(pr), 并记j= 2j, 其中 . 利用条件 (1.14), 我们有|h

95、(Yi)| C|jXm=0amim|r+ C|Xm=j+1amim|r+ C.再结合 E|Pm=j+1amjm|r= O(1) 可推出U0j() CjXi=1jXm=0|am|im|r+ Cj.(1.75)记 i= |i| E|i|, i Z, 因而有nXj=1nXm=0|am|jm=n1Xt=nan,tt,其中 an,t=Pnj=t|aj+t|, 若 n t 1; an,t=Pntj=1|aj+t|, 若 0 t n 1.不失一般性, 我们假定Pi=0|ai| 1 以至于对于 n t n1, 有 an,t 1. 又因为 j/(p(2j)1/r= o(1), 所以由 (1.75) 可得PU0j

96、() p(2j) PjXi=1jXm=0|am|im| C(p(2j)1/r PflflfljXi=1jXm=0|am|imflflfl C(p(2j)1/r= Pflflflj1Xm=j|aj,m|mflflfl C(p(2j)1/r O(j(p(2j)2/r)t+ 2j1Xm=jP|aj,m|m| (12t)1C(p(2j)1/r O(j(p(2j)2/r)t+ 4jP|0|r (12t)rCrp(2j),其中我们利用了引理1.3.3 (令 x = C(p(2j)1/r以及 y = x/(12t), t 充分大. 这结合引理1.4.1 证明了条件 A, 因此完成了推论1.2.1 的证明.

97、30推论1.2.2 的证明.由推论1.2.2 的条件容易得出 n,p= O(Pi=nm|ai|). 所以我们只要验证条件 A. 由不等式 2|xy| x2+ y2,2U0j() jXi=1(Xi)2+jXi=1(Xim)2+ Cj.由引理1.4.1 以及推论1.2.1 的证明可知条件 A 成立. 推论1.2.3 的证明. 易知存在某个可测函数g 使得我们可以记Yn= g( ,n1,n).定义 Yn= g(1,00, ,n1,n), Xn= |Yn|r E|Yn|r. 由 H older 不等式,E|Xn Xn|prE|Yn Yn|p(|Yn|r1+ |Yn|r1)pCprE|Yn Yn|p|Y

98、n|p(r1)Cpr(E|Yn Yn|rp)1/r(E|Yn|pr)(r1)/r.通过 (1.24), 我们有|h2n h2n|=flflflZ(h2n)(h2n)1(x)0dxflflflC|(h2n) (h2n)|(|(h2n)|0+ |(h2n)|0).因而利用推论1.2.3 的条件以及不等式: |x y| p|x y|, x,y 0, 我们可以得出存在某个 0 1,E|Yn Yn|rpCE|hn hn|rp CE|h2n h2n|rp/2CE|(h2n) (h2n)|rp/2|(h2n)|(0)rp/2C(E|(h2n) (h2n)|rp(1+0)/2)1/(1+0)(E|(h2n)|

99、rp(1+0)/2)0/(1+0)C(E|Xi=nd(ni)i1Yj=1c(nj)|rp(1+0)/2)1/(1+0)=C(E|(h21)n1Yj=1c(nj)|rp(1+0)/2)1/(1+0)Cn.这就证明了(1.7).一类平稳过程的强不变原理31现在我们验证条件 A. 令 1/(pr).由 (1.24) 可得当 x 时有1(x) Cx1+0+ C, 这就使得|Yn| |hnn| C|n|(h2n)(1+0)/2+ C|n|.(1.76)记 = (1 + 0)/2 和 = 1. 首先我们假设 r 1. 回顾 j= 2j 其中 . 因为 Xn= |Yn|r E|Yn|r, 从而由 (1.76

100、) 可得Uj() CjXi=1|i|(h2i)r+ CjXi=1|i|r+ Cj.又由于 E|0|pr 以及 j/p(2j) = o(1), 我们只需要证明Xj=12j(1)PjXi=1|i|r p(2j) (1.77)以及W =Xj=12j(1)PjXi=1|i|(h2i) (p(2j)1/(r) .(1.78)实际上, 由引理1.3.3 可以容易地推出 (1.77). 现在我们给出 (1.78) 的证明. 设 0满足 0 (E|c(0)|pr)1/(pr) 0 1, 并记i,m= |i|d(im)m1Yt=1c(it),1 i j,m 1.注意到对于任意固定的 m, i,m,i 1 是 m

101、相依随机变量. 通过简单的计算可知WXj=12j(1)1/2jXm=1PflflfljXi=1i,mflflfl 0m(p(2j)1/(r)+Xj=12j(1)Xm=1/2j+1PflflfljXi=1i,mflflfl 0m(p(2j)1/(r)=:W1+ W2,32其中上面各行的可以不同. 由 Markov 不等式和 E|c(0)| 0可知, 对于某个0 00 1, 有W2 CXj=12j(1)j(p(2j)1/(r)Xm=1/2j+100m .为了处理 W1, 我们将区间 1,j 划分为 J1, K1, , JM, KM, 其长度为 m. (JM,KM可能是不完整的, 但为了简洁起见

102、, 我们可以假定它们的长度是 m.) 显然,M 等阶于 j/m =: 0j. 现在引进T(1)i,m=XjJij,m,T(2)i,m=XjKij,m.因为 E|c(0)| 0 以及 0 00 1 使得上面最后一个不等式右边第一项小于 Cq(00m2j)q. 现在令 q 足够大使得Xj=12j(1)1/2jXm=1(00m2j)q .因而, 假如我们能够证明下式, 则 (1.78) 成立:Xj=12j(1)1/2jXm=10jP|T(1)1,m| Cq0m(p(2j)1/(r) .一类平稳过程的强不变原理33实际上, 上面的级数小于Xj=12j(1)1/2jXm=1jP|1,m| Cqm10m(

103、p(2j)1/(r)Xm=1Xj=12jP|1,m| Cqm10m(p(2j)1/(r) CXm=1mpr(0)prmE|1,m|pr CXm=1mpr(0)prmE|c(0)|prm .因此我们证明了 (1.78), 从而当 r 1 时, 条件 A 得到满足.当 r 1 时, 我们有Uj()CjXi=1|i|r(h2i)r+jXi=1|i|r+ CjCjXi=1|i|rXm=1|d(im)|rm1Yj=1|c(ij)|r+ CjXi=1|i|r+ Cj.然后结合与 W 的类似的证明可知条件 A 成立. 具体步骤略. 推论1.2.4 的证明.令 n= (An,Bn). 易知存在某个可测函数 g

104、使得 Xn=g( ,n1,n). 记Gn=Xk=1AnAn1Ank+1Bnk=:Xk=1Gn,k.利用与 W 一样的证明, (比较 Gn,k和 i,m), 我们能够得出条件 A 成立并且Xj=12jP|Gn| 2j/p .这就保证了 E|Gn|p . 而 (1.7) 的证明如下: 存在某个 0 1, 使得E|Xn Xn|p CpE|nYj=2Aj|p|G1|p Cn.34推论1.2.5 的证明.证明类似于推论1.2.3 和推论1.2.4 的证明, 故略. 推论1.2.6 的证明.我们只要验证条件 A. 因为 |f(x) f(y)| |x y|, 所以|Xn| |Xn1| + |n| + |f

105、(0)| Xi=0i|ni| + (1 )1|f(0)|a.s.剩下的证明类似于推论1.2.1 的证明. 推论1.2.7 的证明.我们首先证明在条件 (1.31) 下, 有nXi=1(i Ei) B(2n) = oa.s.(p(n),(1.79)其中 B() 是标准的布朗运动. 取 Hp(n) = p(n), a = 2/p % 以及 b = (4 p)/p 2%. 易知 (1)-(5) 得到满足. 为了证明 (6), 我们需要注意到由 (1.31) 可知n的物理相依度量满足: 存在某个 0 r1 1 使得 n,p= O(rn1). 因而 (6) 成立. 现在只需要验证 (7). 回顾 j=

106、2j, 其中 0 以及足够大的 t,P|u1| p(2j)=OQjp/2pp(2j)rpQlogj1+ O(1)PflflflJXk=1vkflflfl 21p(2j)OQjp/2pp(2j)rQlogj1+ OQj2p(2j)t+2JXk=1P|vk| (48t)1p(2j).(1.82)再次利用引理1.3.1 以及P(kQlogj)Qji=(k1)Qlogj+1E|i| = o(p(2j), 我们有P|vk| (48t)1p(2j)O(logj)p/2pp(2j)rpQlogj1+PQlogjXi=1|i| (96t)1p(2j).(1.83)36合并 (1.81), (1.82), (1

107、.83) 以及一些初等的计算,Xj=12j(1)PjXi=1|i|0 21p(2j)= O(1) + O(1)Xj=12j(logj)1PQlogjXi=1|i| Ct,p(2j)= O(1) + O(1)Xj=12jP|1| CQ,t,p(2j)/logj= O(1) + O(1)E|1|p.最后结合 (1.80) 推出条件 A. 因此 (1.79) 成立.记 An=Pi=nai, 我们有Sn= A0nXi=1iXi=1(Ai Ain1in)n+1i=: A0nXi=1ieRn.这一分解是由 Wu (2007b) 获得的, 他假设了 i 是独立同分布随机变量. 事实上, 我们可以验证它对任意

108、满足 E|i| = E|0| 的 i 都成立. 观察到max1kn|eRk| = max1kn|Pki=1(A0i Xi)| 以及 A0i XiiZ是一个平稳过程, 由 Wu (2007b) 的命题 1 我们只要证明Xj=02jE|eR2j|p1/(p+1)n)n+1i以及D0k,n=(k+1)M lognXi=kM logn+1(Ai Ain1in)0n+1i,其中 M 足够大并且 0i= Ei|iM logn, ,i, i Z. 同时, 我们设eR0n=一类平稳过程的强不变原理37Pk=0D0k,n. 则有(E|eRneR0n|p)1/pXi=1|Ai Ain1in|(E|n+1i 0n+

110、logn)p+p/2).同理可证E|Pk=0D02k+1,n|p= O(n(logn)p+p/2). 所以E|eRn|p= O(n(logn)p+p/2),从而 (1.84) 成立. 第第第二二二章章章平平平稳稳稳过过过程程程周周周期期期图图图的的的最最最大大大值值值2.1引引引言言言设n;n Z 是独立同分布随机变量, g 是一个可测函数使得Xn= g( ,n1,n)(2.1)是一个有定义的随机变量. 那么Xn;n Z 表示了一大类过程. 特别地, 它包含了线性过程和非线性过程, 包括门限自回归(TAR) 模型, ARCH 模型, 随机系数自回归(RCA) 模型, 指数自回归(EAR) 模型

111、等等. Wu 和Shao (2004) 论证了许多非线性时间序列是平稳的并具有(2.1) 的表示. 设In,X() = n1flflflnXk=1Xkexp(ik)flflfl2, 0,是随机变量X1, ,Xn的周期图, 定义Mn(X) = max1jqIn,X(j),j= 2j/n,其中q = qn= maxj : 0 j 2 使得E|X1|s . 同时他们猜测条件EX21log+|X1| 2 使得E|0|s , 且XjZ|j|1/2|aj| majnj,m 0. 假设PjZ|aj| 和E|0| majnj依概率趋于零. 这就说明了线性过程表现地非常像一个分块独立的过程. 实际上许多时间序列

112、, 例如GARCH 过程等, 具有这种性质.鉴于此, 我们将用EXn|nm, ,n 来逼近Xn. 类似的方法曾经被Hsing 和Wu (2004) 采用来建立一个加权U 统计量的渐近正态性.借助于第三节中的m 相依逼近, 我们证明了要建立(2.2), 条件(2.3) 可以被减弱为P|j|n|aj| = o(1/logn). 同时, 0的矩条件也可以被减弱到E20I|0| n = o(1/logn). 这就证明了Davis 和Mikosch (1999) 的猜测是正确的. 进一步地, 我们将证明对于定义在(2.1) 中的平稳过程, (2.2) 仍旧成立.下面我们说明如何用(2.2) (或类似的结

113、论) 来检验时间序列中的周期成分(也可参见Priestley (1981). 我们考虑模型Zt= + S(t) + Xtt = 1,2,.,n,其中Xt是均值为零的平稳过程, 非随机项S(t) = A1cos(1t + 1)是一个正弦波, 频率16= 0, 振幅A16= 0 以及相位1. 不失一般性, 我们假定 = 0. 对于原假设H0: S(t) 0 以及备择假设H1: S(t) = A1cos(1t + 1),可选取统计量gn(Z) =max1iqIn,Z(i)/f(i)Pqi=1In,Z(i)/f(i),(2.5)其中f() 是Zt的谱密度f() 的估计. 这个统计量是由Fisher (

114、1929) 提出的, 他假设Xt是高斯白噪声过程, 因而可以选取f() 1. 然而有时候假定样本是独平稳过程周期图的最大值41立的并不是很合理. 因而Hannan (1961) 假定Xt=PjZajtj, 其中t是独立正态的随机变量, aj 满足一些条件. 本章第二节的结果使得我们在原假设H0下能够获得gn(Z) 的渐近分布, 而且只是假定Xn属于一大类过程, 而不局限于线性过程. 同时我们不要求t的正态性. 对于更多的细节, 见注2.2.4.有时我们可能怀疑时间序列包含了几个周期成分.这样, 我们应该检验H0: S(t) 0 对备择假设H1: S(t) =Prk=1Akcos(kt + k)

115、, 其中r( 1) 是可能的周期成分的个数. 假设Xt是高斯白噪声, Shimshoni (1971), Lewis 和Fieller(1979) 提出了用统计量UZ(r) =In,qr+1(Z)Pqi=1In,Z(i)来检验是否有r 个周期成分. 这里In,1(Z) In,2(Z) In,q(Z) 是周期图坐标In,Z(i), 1 i q, 的次序统计量. 在原假设下, UZ(r) 的精确和渐近分布可以在Hannan (1961) 和Chiu (1989) 中找到. 后面这篇文章给出了统计量RZ() = In,q(Z)/Pqj=1In,j(Z), 0 1. 当Xn定义于(2.1) 时, 我们

116、的结果可能对求出RZ() 的渐近分布有所帮助.本章的结构如下. 主要结果定理2.2.1 和2.2.2 将在第二节中给出. 在第三节,我们发展了平稳过程Fourier 变换的m 相依逼近. 主要结果的证明将在第四节给出.2.2主主主要要要结结结果果果我们首先考虑双边线性过程. 设Yn=XjZajnj和 Xn= h(Yn) Eh(Yn),(2.6)其中PjZ|aj| 0.(2.7)若X1,X2, 是独立同分布且中心化的随机变量, 则f() EX21/(2).定定定理理理2.2.1.假设Xn定义于(2.6), (2.7) 成立, 并且E0= 0, E20= 1,X|j|n|aj| = o(1/log

117、n).(2.8)(i). 若h(x) = x 且E20I|0| n = o(1/logn),(2.9)则In,q(X) logq G,(2.10)其中G 是一个随机变量, 其分布为标准的Gumbel 分布(x) = exp(exp(x),x R.(ii). 设h 是R 上Lipschitz 连续的函数. 如果(2.9) 被加强为E20I|0| n =o(1/(logn)2), 则(2.10) 成立.注2.2.1. 由定理2.2.1 我们获得了周期图最大值的渐近分布. 因为由E20log+|0| 2 使得E|0|s , 这比(2.9) 更强. 而且, 对于(ii) 中所考虑的线性过程的非线性变换

118、, 我们很难证明(2.11) 成立.注2.2.2. 作为定理2.2.1 的一个简单推论, 我们可以得到周期图最大值的弱对数律. 在一些关于n的特征函数光滑性条件下, An 等(1983) 证明了关于周期图最大值的强对数律.下面我们将给出一个当Xn满足(2.1) 时的定理. 当然, 我们需要假设一些相依条件. 为了读者的方便, 我们列出下列符号.平稳过程周期图的最大值43 Fi,j:= (i, ,j), i j . Z Lp若kZkp:= (E|Z|p)1/p 2有E|X0|s 0 有E|Xn|4+ , 以及几何递减的矩(GMC) 条件: 对某个0 1,有n,4+= O(n). 许多非线性时间序

119、列模型, 比如GARCH 模型, 广义随机系数自回归模型, 非线性自回归模型, 双线性模型, 满足GMC 条件; 可参考Shao和Wu (2007) 的第5节. 由Shao 和Wu (2007) 的引理A.4 我们有maxj,kq|Cov(In,X(k),In,X(j) f(j)j,k| = O(1/n),(2.14)其中j,k= Ij=k. 因此q1qXi=1(In,X(i) EIn,X(i)/f(i) = OP(1/n).44又因为In,X() = n1Pn1k=n+1Pn|k|t=1XtXt+|k|exp(ik), 我们可以看出maxRflflflEIn,X()2f() 1flflfl=

120、 O(1/n).这就证明了(2.12).现在我们选取估计f() =12BnXk=Bn r(k)a(k/Bn)exp(ik),其中 r(k) = n1Pn|k|j=1XjXj+|k|, |k| n; a() 是Lipschitz 连续的偶函数, 其支撑为1,1 并满足a(0) = 1 以及当x 0 时, a(x) 1 = O(x2); Bn是一列正整数满足Bn 和Bn/n 0. 若我们假设Bn= O(n), 0 /(4 + ),0 4, 那么由Shao 和Wu (2007) 的定理3.2 可得max0,|f() Ef()| = OP(pBn(logn)/n).通过简单的计算可知max0,|Ef(

121、) f()| = O(B2n). 因而, 若我们令Bnn, 0 /(4 + ), 则(2.13) 成立. 最后, 定理2.2.2 结合(2.12) 以及(2.13) 使得在原假设下, gn(Z) logq G, 其中G 具有标准的Gumbel 分布.2.3平平平稳稳稳过过过程程程 Fourier 变变变换换换的的的不不不等等等式式式以以以及及及一一一个个个中中中偏偏偏差差差结结结果果果2.3.1 平稳过程Fourier 变换的不等式这一节我们将证明有关定义于(2.1) 的Xn的一些不等式. 假设EX0= 0,EX20 . 注意到Xn=XjZ(EXn|Fj, EXn|Fj+1,) =:XjZPj

122、(Xn).利用H older 不等式, 我们可以知道对于任意u 0,|r(u)| = |EX0Xu| = |XjZEPj(X0)Pj(Xu)| Xj=0j,2u+j,2,(2.15)因而Pun|r(u)| 0,2n,2.平稳过程周期图的最大值45下面我们利用m 相依随机变量来逼近Xn的Fourier 变换. 记Xk(m) = EXk|km, ,k,k Z, m 0.引引引理理理2.3.1. 设存在某个p 2 使得E|X0|p 以及0,p 2,supRE max1jnflflfljXk=1(Xk Xk(m)exp(ik)flflflp Cpnp/2pm,p.证明. 我们将Xk Xk(m) 分解为

123、Xk Xk(m) =Xj=k+m(EXk|Fj1,k EXk|Fj,k) =:Xj=k+mRk,j.因而有nXk=1Xk Xk(m)exp(ik) =Xj=n+mnXk=1(j+m)Rk,jexp(ik).对于任意固定的n 和m, Pnk=1(j+m)Rk,jexp(ik),j n + m 是一个鞅差序列. 所以由Marcinkiewicz-Zygmund-Burkholder 不等式,EflflflXj=n+mnXk=1(j+m)Rk,jexp(ik)flflflp CpXj=n+mnXk=1(j+m)kRk,jkp2p/2 CpXj=n+mnXk=1(j+m)j+1+k,p2p/2 Cpn

124、p/2pm,p.这就完成了引理的证明. 在引理2.3.1 中令m = 0, 并注意到X1(0),X2(0), 是独立同分布随机向量,我们获得了下述矩不等式.46引引引理理理2.3.2.在引理2.3.1 的条件下我们有, 对于p 2,EflflflnXk=1Xkexp(ik)flflflp Cnp/2和 EflflflnXk=1Xk(m)exp(ik)flflflp Cnp/2,其中C 是一个正常数不依赖于和m.定义Sn,j,1=Pnk=1Xkcos(kj), Sn,j,2=Pnk=1Xksin(kj), 1 j q.引引引理理理2.3.3.假设EX0= 0, EX20 和0,2 . 则(i)

125、.max1jqflflflES2n,j,1nf(j) 1flflfl Cn1nXk=0k,2.(ii).max1jqflflflES2n,j,2nf(j) 1flflfl Cn1nXk=0k,2.(iii). max1i,jq|ESn,i,1Sn,j,2| CPnk=0k,2和max1i6=jq|ESn,i,lSn,j,l| CPnk=0k,2,l = 1,2.证明. 我们只证明(i), 同理可证(ii) 和(iii). 我们先回顾一下关于三角级数的一些性质:(1)Pnk=1cos(jk)cos(lk) = j,ln/2; (2)Pnk=1sin(jk)sinlk) = j,ln/2;(3)P

126、nk=1cos(jk)sin(lk) = 0.应用上述性质可以看出ES2n,j,1n=12EX21+ 2n1nXk=2k1Xi=1EXkXicos(kj)cos(ij)=12EX21+ 2n1n1Xk=1r(k)nkXi=1cos(ij)cos(i + k)j)=12EX21+n1Xk=1r(k)cos(kj)2n1n1Xk=1r(k)nXi=nk+1cos(ij)cos(i + k)j),平稳过程周期图的最大值47这结合(2.15) 和Abel 引理可以得到flflflES2n,j,1nf(j) 1flflflCXk=n|r(k)| + Cn1n1Xk=1k|r(k)|Cn,2+ Cn1Xj

127、=0j,2nXk=1k(k+j,2 k+j+1,2)Cn1nXk=0k,2.因而我们就完成了引理的证明. 设0 1. 取m = n 并令Jn,X() =flflflPnk=1Xk Xk(m)exp(ik)flflfl.引引引理理理2.3.4.假设EX20 且n,2= o(1/logn). 对于任意0 0 和n 0 使得m,2 n(logn)1. 由引理2.3.1 的证明中的分解可知Jn,X() = |Xj=n+mnXk=1(mj)Rk,jexp(ik)|.记Rj() =nXk=1(mj)Rk,jexp(ik),fRj() = Rj()In|Rj()| nrn(logn)3o,Rj() =fRj

129、o, 则我们有P(A)C(logn)21nnXj=n+mEnXk=1(mj)|Rk,j|2C(logn)21n2m,2= o(1).注意到Rj(), j n + m, 是鞅差. 应用Freedman 不等式(Freedman (1975),我们能够得到Pmax1iq|Xj=n+mRj(i)| pn/logn 2nexp2lognn(8 + 8)+ P(A) = o(1).这就证明了(2.16). 注2.3.2. 设Xn= g(ni)iZ). 对于n Z, 用0代替Xn中的0, 并将所得到的随机变量记为Xn. 定义物理相依度量n,p= kXn Xnkp以及n,p=P|i|ni,p.令Xk(m)

130、= EXk|km, ,k+m. 则当Xn= g(ni)iZ) 时, 我们依然可以证明引理2.3.1-2.3.4 成立. 证明是类似的, 只需注意到Xk Xk(m)=Xj=k+m(EXk|Fj1, EXk|Fj,)+Xj=m+k(EXk|Fkm,j+1 EXk|Fkm,j)=:Xj=k+mR(1)k,j+Xj=m+kR(2)k,j,(2.17)kR(1)k,jkp k+j+1,p以及kR(2)k,jkp kj1,p. 我们在补充材料Lin 和Liu (2008) 中给出了更加详细的说明.2.3.2 一个中偏差结果接下来我们证明一个向量值随机变量的中偏差结果, 证明依赖于高斯逼近技巧, 见Einm

131、ahl (1989) 第31 页的推论1(b) 和第32 页的注.平稳过程周期图的最大值49引引引理理理2.3.5.设n,1, ,n,kn是独立随机向量, 均值为零, 取值于Rd空间, 并记Sn=Pkni=1Xn,i. 假设存在cn 0 和Bn 使得|n,k| cnB1/2n, 1 k kn,并且有flflflB1nCov(n,1+ + n,kn) Idflflfl= O(c2n),其中Id是一个d d 单位矩阵. 假设n:= B3/2nPknk=1E|n,k|3 0. 则|P(|Sn|d x) P(|N|d x/B1/2n)| o(P(|N|d x/B1/2n) + Cexp2nmin(c2

132、n,2/3n)8d+ expCc2n2nlogn对于x B1/2n,nmin(c1n,1/3n)B1/2n 一致成立, 其中任意n 0, nmin(c1n,1/3n) . N 是中心化的正态随机向量, 协方差矩阵为Id. | |d表示d 维欧几里德模,也可以表示|z|d= min(x2i+y2i)1/2: 1 i d/2, z = (x1,y1, ,xd/2,yd/2) (在这种情况下, 我们假设d 是偶数). C 是一个正常数不依赖于n 和x.证明. 记n= Cov(n,1+ + n,kn), 0n,k= B1/2n1/2nn,k, 1 k kn, 以及S0n=Pknk=10n,k. 则有C

133、ov(0n,1+ + 0n,kn) = BnId.注意到对于1 k kn有|0n,k| C1cnB1/2n. 现在我们利用Einmahl (1989) 推论1(b) 来证明该引理. 在那个推论里我们令 = (100dC1cnB1/2n)1. 可以证明对所有足够大的n,knXk=1E|0n,k|3exp(|0n,k|) Bn.记0n= B3/2nPknk=1E|0n,k|3exp(|0n,k|), 则成立0n C2n. 设1, ,kn是独立N(0,2Cov(0n,k) 随机向量, 并且独立于0n,k, 同时设0 tnpn(y)dy.(2.20)(2.20) 右边的第一项是Z|y|dx/B1/2n

134、C1cn,|y|tn(1+2)Id(y)exp(Tn(y)dy (1 + o(1)Z|y|dx/B1/2nC1cn,|y|tn(1+2)Id(y)dy= (1 + o(1)Z|y|dx/B1/2nC1cn(1+2)Id(y)dy(1 + o(1)Z|y|dx/B1/2nC1cn,|y|tn(1+2)Id(y)dy.(2.21)平稳过程周期图的最大值51当x B1/2n,nmin(c1n,1/2n)B1/2n 时, 我们有cnx/B1/2n= o(1). 结合一些初等的计算推出Z|y|dx/B1/2nC1cn(1+2)Id(y)dy P(|N|d x/B1/2n 2C1cn) + P(|N| C

135、1cn) (1 + o(1)P(|N|d x/B1/2n) + C expC8c2n2nlogn(2.22)以及Z|y|dx/B1/2nC1cn,|y|tn(1+2)Id(y)dy C exp2nmin(c2n,2/3n)4. (2.23)对于(2.20) 中的第二项, 我们再次使用Ledoux 和Talagrand (1991) 中的引理1.6.因而有Z|y|dx/B1/2nC1cn,|y|tnpn(y)dyP|knXk=10n,k| 9tnB1/2n/10+ P(|N| tn/10)C exp2nmin(c2n,2/3n)8d.(2.24)最后合并(2.18)-(2.24) 给出了P(|S

136、n|d x)(1 + o(1)(P(|N|d x/B1/2n)+Cexp2nmin(c2n,2/3n)8d+ expCc2n2nlogn.类似地, 我们可以证明P(|Sn|d x)(1 + o(1)(P(|N|d x/B1/2n)Cexp2nmin(c2n,2/3n)8d+ expCc2n2nlogn.这就证明了我们想要的结论. 2.4定定定理理理的的的证证证明明明2.4.1 定理2.2.1 的证明52设h 是一个Lipschitz 连续函数. 令0i= iI|i| npn/logn EiI|i| npn/logn,i Z,其中n 0.记Y0k=PiZai0ki, X0k= h(Y0k) Eh

137、(Y0k), 1 k n.因为E20I|0| n = o(1/logn), 所以我们可以选取n 0 充分慢使得pnlognE|0|I|0| npn/logn 0.结合h 的Lipschitz 连续性得出lognEmax1jq|Pnk=1(Xk X0k)exp(ikj)|n CpnlognXjZ|aj|E|0|I|0| npn/logn 0.另外注意到对于1 j q 有|In,X(j) In,X0(j)|pMn(X0) max1jq|nXk=1(Xk X0k)exp(ikj)|/n+ max1jq|nXk=1(Xk X0k)exp(ikj)|2/n.所以为了证明定理2.2.1, 我们只需证明In

138、,q(X0) logq G.回顾m = n, 其中0 1. 设X0k(m) = EX0k|km, ,k+m,1 k n,以及eJn,X() =flflflnXk=1(X0k X0k(m)exp(ik)flflfl.由引理2.3.4 和注2.3.2 可以看出max1iqeJn,X(i) = oP(pn/logn).(2.25)平稳过程周期图的最大值53现在我们定义周期图In,X0(m)() = n1flflflPnk=1X0k(m)exp(ik)flflfl2, 并设In,1(X0(m) In,q(X0(m) 是In,X0(m)(j)/(2f(j), 1 j q 的次序统计量. 由(2.25)我

139、们只要证明In,q(X0(m) logq G.(2.26)设0 1/10, 我们将区间1,n 划分为Hj= (j 1)(n+ 2n) + 1,(j 1)(n+ 2n) + n,Ij= (j 1)(n+ 2n) + n+ 1,j(n+ 2n),1 j mn 1,mn 1 = n/(n+ 2n) n1,Hmn= (mn 1)(n+ 2n) + 1,n.为了简洁起见, 我们仍用符号n来表示n. 记vj() =PkIjX0k(m)exp(ik),1 j mn 1. 则vj(), 1 j mn 1 是独立随机变量, 并且观察到下面的引理我们知它们是可以被忽略的.引引引理理理2.4.1. 在条件(2.8)

140、下, 我们有max1lq|Pmn1j=1vj(l)| = oP(pn/logn).证明. 首先, Nagaev (1979) 的推论1.6 (Fuk-Nagaev 型不等式) 证明了对任意大的Q 有qXl=1P|mn1Xj=1vj(l)| pn/logn CQ,qXl=1Pmn1j=1Ev2j(l)n/lognQ+ CQqXl=1mn1Xj=1P|vj(l)| CQpn/logn.利用引理2.3.2 和注2.3.2 可知Pmn1j=1Ev2j(l) Cn1+. 所以上面第一项趋于零. 为了完成引理2.4.1 的证明, 我们将证明第二项也趋于零. 事实上, 利用性质|h(x)| C(|x| +

141、 1) 我们可以得到|vj(l)|CflflflXkIjmXi=m|ai|(|0ki| E|0ki|)flflfl+ C|Ij|=dCflflflXkI1mXi=m|ai|(|0ki| E|0ki|)flflfl+ C|I1|=Cflflfl3mXt=m(m+t)(2m)Xk=1(tm)|akt|(|0t| E|0t|)flflfl+ C|I1|,(2.27)54其中X =dY 表示X 与Y 同分布. 因而qXl=1mn1Xj=1P|vj(l)| CQpn/lognqXl=1mn1Xj=1Pflflfl3mXt=m(m+t)(2m)Xk=1(tm)|akt|(|0t| E|0t|)flflfl

142、 CQpn/logn CqXl=1mn1Xj=1mn/lognQ 0,(2.28)其中最后一个不等式是由Fuk-Nagaev 不等式以及注意到|0t| npn/logn 所得到的. 这样我们就建立了想要的结论. 现在我们来处理大块和. 设uj() =XkHjX0k(m)exp(ik), u0j() = uj()I|uj()| 1/2npn/logn,uj() = u0j() Eu0j(), 1 j mn.注意到|uj()| PkHj|X0k(m)| =: j, mn n1, 同时利用与(2.27) 和(2.28)类似的证明, 可以看出对任意大的Q 有,lognPmnj=1EjIj 1/2npn

143、/lognn Cplognn1/2Xk=n1k logkP1 1/2npk/logk+Cn1P1 1/2npn/logn Cplognn1/2Xk=n1k logknnk/logkQ+Cn1(1nn1logn)Q= o(1),(2.29)这就证明了max1lq|Pmnj=1uj(l) uj(l)| = oP(pn/logn). 结合引理2.4.1使得我们只要证明In,q(X) logq G,(2.30)平稳过程周期图的最大值55其中In,q(X) 表示|Pmnk=1uk(l)|2/(2nf(l), 1 l q, 的最大值.我们现在开始证明(2.30). 定义下面的记号: uk(l)/f1/2(

144、l) =: uk,l(1) +iuk,l(2),Zk= (uk,i1(1),uk,i1(2), ,uk,id(1),uk,id(2), 1 i1 id q(2.31)以及Un=Pmnk=1Zk. 容易看出Z1, ,Zmn是独立的.引引引理理理2.4.2. 在定理2.2.1 的条件下, 我们有flflflCov(Un)/(n) I2dflflfl= o(1/logn)对于1 i1 id q 一致成立.证明. 设Bn,i=Pmnk=1E(uk,i(1)2. 通过与(2.29) 中类似的证明, 并结合一些运算可以得出对于任意Q 有max1lqE|uj(l) uj(l)|2= O(nQ). 这就使得对

145、于任意Q,flflflBn,imnXj=1EXkHjX0k(m)cos(ki)2flflfl CmnXj=1|Hj|1/2(E|uj(i) uj(i)|2)1/2+mnXj=1E|uj(i) uj(i)|2 CnQ.(2.32)更进一步, 可以由引理2.3.2, 引理2.3.1 以及注2.3.2 得出flflflEnXk=1X0k(m)cos(ki)2mnXj=1EXkHjX0k(m)cos(ki)2flflfl Cn1()/2,flflflEnXk=1X0k(m)cos(ki)2 EnXk=1X0kcos(ki)2flflfl= o(n/logn). (2.33)当h(x) x 时, 我们有

146、Pnk=1X0kcos(ki) =Pt=Pnk=1ak+tcos(ki)0t. 因而条件(2.9) 保证了flflflEnXk=1X0kcos(ki)2 EnXk=1Xkcos(ki)2flflfl= o(n/logn).(2.34)56现在假设h 是Lipschitz 连续的.我们记k= |k|I|k| npn/logn.自从|Xk X0k| CPjZ|aj|(kj+ Ekj), 由E20I|0| n = o(1/(logn)2) 以及n 0 充分慢, 我们有EnXk=1(Xk X0k)cos(ki)2 CEnXk=1XjZ|aj|(kj Ekj)2+ CnXk=1XjZ|aj|Ekj2 C

147、nE20+ Cn2(E0)2= o(n/(logn)2),再利用引理2.3.2 以及不等式: 对于任何随机变量X 和Y , |EX2 EY2| kX Y k2kX + Y k2可推出(2.34). 由引理2.3.3, 注2.3.2 以及(2.32)-(2.34), 我们知|Bn,i/(n) 1| = o(1/logn) 对于1 i q 一致成立.接下来, 我们证明Cov(Un) 的非对角元的阶是o(n/logn). 我们只估计Bn,i,j:=EPmnk=1uk,i(1)Pmnk=1uk,j(1), i 6= j, 其他元素可以类似地被估计. 正如(2.32)和(2.33), 我们有flflfl

148、Bn,i,j (f(i)f(j)12EnXk=1X0k(m)cos(ki)nXk=1X0k(m)cos(kj)flflfl CflflflEhnmnXk=1uk,i(1) (f(i)12nXk=1X0k(m)cos(ki)omnXk=1uk,j(1)iflflfl+C|f(i)|12flflflEhnXk=1X0k(m)cos(ki)nmnXk=1uk,j(1) (f(j)12nXk=1X0k(m)cos(kj)oiflflfl Cn1()/2.同时利用引理2.3.1-2.3.3 以及注2.3.2, 我们有EnXk=1X0k(m)cos(ki)nXk=1X0k(m)cos(kj)= o(n/l

149、ogn).因而Bn,i,j= o(n/logn), i 6= j. 这就证明了该引理引引引理理理2.4.3. 在定理2.2.1 的条件下我们有n:= n3/2mnXj=1E|Zj|3= o(1/(logn)3/2)平稳过程周期图的最大值57对1 i1 id q 一致地成立.证明. 由(2.27) 中的论证, Fuk-Nagaev 不等式以及 1/10 和n 0 充分慢可得mnXj=1E|uj(i)|3mnXj=1nXk=1klogk3/2P1/2nsklogk |uj(i)| 1/2nsk + 1log(k + 1)Cn1+5+ CmnXj=1nXk=n4k1/2(logk)3/2P|uj(i

150、)| 1/2nsklogk+CmnXj=1n6(logn)3/2P|uj(i)| 1/2nsn4logn4Cn1+5+ CmnXj=1nXk=n4k1/2(logk)3/2nnk/logkQ+CmnXj=1nXk=n4k1/2n(logk)3/2P|0| C1/2nsklogk+CmnXj=1n7(logn)3/2P|0| C1/2nsn4logn4=o(n/logn)3/2), 对于1 i q 一致成立.故引理就被证明了. 由引理2.4.2 和2.4.3, 我们可以记n= 3/2n(logn)3/2以及flflflCov(Un)/(n) I2dflflfl= n,1(logn)1, 其中n

151、0,n,1 0. 在引理2.3.5 中令cn= (4dn(f)1)1/21/2n,1(logn)1/2=: 1/2n,2(logn)1/2和n= max1/4n,2,1/4n, 并注意到n,2 0 充分慢. 通过简单的计算可得exp2nmin(c2n,2/3n)16d Cn4d,expCc2n2nlogn Cn4d.利用引理2.3.5, 对于任意固定的x R,P(2n)1/2|Un|2d x + logq= P(|N|2d2(x + logq)(1 + o(1)= qdexp(dx)(1 + o(1)(2.35)58关于1 i1 id q 一致成立. 我们记Vj:= |Pmnk=1uk(j)|

152、2/(2nf(j),1 j q, 以及A := In,q(X) x + logq =qj=1Vi x + logq =:qj=1Aj.由Bonferroni 不等式可知对于任意固定的且满足1 k q 的k 有2kXt=1(1)t1Et P(A) 2k1Xt=1(1)t1Et,其中Et=P1i1 2 以及 . 我们可以选取, 足够小且充分接近于1/2 使得(s 1)1(1 + s 1/2) 1/2.(2.38)定义vk(j) = v0k(j) Ev0k(j), 其中v0k(j) = vk(j)I|vk(j)| n, 1 j q,1 k mn 1. 因此max1jq|mn1Xk=1vk(j)|

154、o(1).(2.40)结合(2.39) 就推出了(2.37).记u0k(j) = uk(j)I|uk(j)| n,uk(j) = u0k(j) Eu0k(j), 1 j q, 1 k mn.类似于(2.40) 的证明, 同时利用(2.38), 我们可以得出max1jqflflflmnXk=1(uk(j) uk(j)flflfl= oP(pn/logn).因而为了得到(2.36), 类似于(2.30), 只需证明In,q(X) logq G.(2.41)事实上(2.41) 可以由引理2.4.4 和2.4.5 并结合与定理2.2.1 类似的论证得出.引引引理理理2.4.4. 在定理2.2.2 的条

155、件下我们有flflflCov(Un)/(n) I2dflflfl= o(1/logn).证明. 该引理的证明与引理2.4.2 的证明类似. 比如我们可以得到|Bn,i EnXk=1Xkcos(ki)2/(f(i)| = o(n/logn).60然后再利用引理2.3.3 推出引理2.4.4. 引引引理理理2.4.5. 在定理2.2.2 的条件下我们有n= n3/2mnXj=1E|Zj|3= O(nt1/2),其中t = max(3 s) + (s 2)/2,/2 1/2.证明. 假设2 s 3. 利用引理2.3.2, 我们有n Cn3/2+(3s)mnXj=1E|Zj|s Cn3/2+(3s)m

156、nXj=1|Hj|s/2 Cnt1/2.同理可证s 3 的情形. 第第第三三三章章章谱谱谱密密密度度度估估估计计计的的的渐渐渐近近近性性性质质质3.1引引引言言言谱密度估计是时间序列谱分析中的一个基本的问题. 设Xk,k Z, 是一平稳过程, 均值为零且协方差函数有限, 记为k= E(X0Xk). 假设XkZ|k| .(3.1)那么就可以定义谱密度函数f() =12XkZkeik=12XkZkcos(k), R,(3.2)其中i =1 是虚数单位. 本章主要目的是考虑f 的估计量的渐近性质. 基于样本观测值X1,.,Xn, 我们定义样本协方差函数 k=1nnXi=|k|+1XiXi|k|, 1

157、 n k n 1,(3.3)以及Fourier 变换Sn() =nXk=1Xkeik.众所周知, 周期图In() =12n|Sn()|2=12nn1Xk=1n keik是f() 的渐近无偏但不相合估计. 为了构造一个相合估计, 我们可以引入一个锥形的数据窗口或者收敛因子K, 并给出估计fn() =12n1Xk=1nK(k/Bn) keik,(3.4)其中bn= 1/Bn是带宽序列满足bn 0, nbn , 函数K 是对称有界的,K(0) = 1, K 在0 处连续. 若K 的支撑是有界的, 因为nbn , 那么对于大k,62在(3.4) 中所对应的被加项是零. 此时fn通常被称为滞后窗口估计.

158、 Bn越大, 则函数K(/Bn) 越集中于原点.许多经典的时间序列教科书都研究过谱密度估计的性质; 例如Anderson(1971), Brillinger (1975), Brockwell 和Davis (1991), Grenander 和Rosenblatt(1957), Priestley (1981), Rosenblatt (1985). 更多的参考文献可参考Shao 和Wu(2007). 先前的许多结果似乎都要求所考虑的平稳过程满足一些严格的条件. 在非常一般且自然的条件下, 本章将给出fn() 的一些渐近理论, 从而极大地将谱理论的应用推广到了非线性序列和非混合序列上. 一些

159、公开的问题在相依结构Pj0j,4 0 令j,p= kXj Xj,0kp.(3.6)这里我们约定Xj,0= R(F,j,0). 也即, Xj,0是通过在Xj中用00来代替0所得到的. 如果我们将Fj看作是输入量, 把Xj看作是一个物理系统的输出量,谱密度估计的渐近性质63那么j,p反映了Xj依赖于输入量0的程度. 在许多情况下, j,p是容易计算的.本章的主要结果都将依赖于j,p.3.2.1, 3.2.2 和3.2.3 分别考虑谱密度估计的相合性, 渐近正态性以及最大偏差的渐近分布. 基于j,p, 定义m,p=Xj=mj,p, m,p=Xj=mp0j,p1/p0, 其中p0= min(2,p).

160、(3.7)定理3.2.1 和3.2.2 要求短程相依条件0,p , 也就是说, 0与(Xj)j0的未来值的相依性是可加的. 仔细检查定理3.2.1-3.2.5 的证明可知本章的结果对于双边的平稳过程Xj= R(.,j1,j,j+1,.) 同样成立. 这是因为我们所使用的主要工具是m 相依逼近(见第三节). 类似的逼近对于双边的过程同样成立. 由于没有任何附加的困难, 我们省略证明.3.2.1 相合性为了陈述我们的相合性定理, 我们需要一些关于K 的常规条件. 它们跟渐近正态性以及最大偏差所需要的条件稍微有点不同(见条件2 和条件3), 但所有这些条件都是非常一般的, 且对于Parzen 核,

161、triangle 核, Tukey 核以及其它常用的窗框(Priestley, 1988), 这些条件都能得到满足.条件1.假设K 是一个有界偶函数, K(0) = 1, K 在0 点连续. 进一步假设limw0wPkZK2(kw) =RRK2(u)du =: 以及它的Fourier 变换K(x) =RRK(u)eixudu 满足RR|K(x)|dx .定定定理理理3.2.1.设条件1 被满足. 假设EXk= 0, Xk Lp, p 2,PjZj,p .当n 时有Bn 以及Bn= o(n). 则supRkfn() f()kp/2 0.(3.8)定理3.2.1 所利用的条件1 是很一般的.很明显

162、我们需要Bn 以及Bn= o(n) 来保证相合性.短程相依条件PjZj,2 推出了(3.1) 以及谱密度的存在性.如果PjZj,2= , 那么f 有可能不存在.考虑线性过程Xj=Pl=0aljl, 其中l是i.i.d.零均值随机变量, 方差为1.则j,2=64|aj|k0 00k = |aj|2, 2f() = |Pj=0ajeij|2.如果Pj=0aj= , 那么f在 = 0 处不存在. 这种情况下PkZk= , 因而(Xj)j0是长程相依的.3.2.2 渐近正态性时间序列谱分析的一个经典的问题就是建立谱密度估计fn() 的渐近正态性. 利用渐近正态性我们可以进行一些统计推断, 比如假设检验

163、, 构造置信区间. 然而, 如何建立fn() 的中心极限定理可以说是一个非常有挑战的问题. 早期的一些结果通常要求一些苛刻的条件. Anderson (1971) 考虑了线性过程的情况. 在强混合的假设下, 并且要求严格的矩条件以及8 阶累积量可加的条件,Rosenblatt (1984) 建立了fn() 的中心极限定理. Shao 和Wu (2007) 要求i,p以指数速度收敛到零.在这一节我们将证明fn() 的中心极限定理, 所需要的条件是非常弱且自然的. 它允许一大类非线性过程. 在定理3.2.2 中, 相依假设Pj0j,4 是很自然的, 这是因为如果(Xj)j0是长程相依的, 那么谱密

164、度函数在某些点可能没有定义. Rosenblatt (1985) 要求8 阶累积可加. 同时他问8 阶累积可加条件是否可以减弱至4 阶. 我们这里只要求4 阶物理相依度量可加, 这在许多应用当中比累积量的可加性更容易验证. 对于窗框的条件Bn 和Bn= o(n) 也是很自然的. 若u/ Z, 则定义$(u) = 2; 若u/ / Z, 则令$(u) = 1. 定理3.2.2 的证明将在第四节给出.条件2. 假设K 是对称有界的, limu0K(u) = K(0) = 1, :=RRK2(x)dx .进一步假K 在除了有限个点外是连续的, 且当c 时sup0w1Pjc/wwK2(jw) 0.定定

165、定理理理3.2.2.假设EXk= 0, EX4k ,Pj0j,4 . 设当n 时Bn ,Bn= o(n). 那么在条件2 下, 对于任意固定的0 2,rnBnfn() Efn() N0,2(), 其中2() = $()f2().(3.9)3.2.3 最大偏差定理3.2.2 给出了fn() Efn() 的中心极限定理. 在谱密度推断当中, 我们经常需要知道最大偏差sup0|fn() Efn()| 的渐近分布. 它可以用来构谱密度估计的渐近性质65造f() 在 0, 上的一致置信区间, 也可以用来实现f 的参数确定检验. 例如, 如果一个常数值函数可以被嵌入到这个区间内, 那么我们就能够接受原假设

166、(Xk)kZ是白噪声序列. 然而, 最大偏差的渐近分布问题是非常困难的.在1967 年, Woodroofe 和Van Ness 考虑了线性过程并且获得了最大偏差的渐近分布. 然而在最近的40 年内, 似乎并没有重大的进展来推广他们的结果到非线性序列上去. Shao 和Wu (2007) 提出了一个公开的问题: 对于满足GMC 条件(n.p= O(n) 的一大类非线性过程, 是否能够得到最大偏差的渐近分布? 通过考虑maxiBn|fn(i) Efn(i)|/f(i), 其中i= |i|/Bn, 定理3.2.5 解决了这一问题. 在更弱的相依条件下, 定理3.2.3 和3.2.4 给出了类似的结

167、果. 在叙述这些定理之前, 我们先给出定理所需要的一些条件.条件3. 假设K 是对称有界的, 支撑为1,1. limu0K(u) = K(0) = 1, :=R1,1K2(x)dx . 进一步假设当 0 时PjZsup|sj|1|K(jw)K(sw)| =O(1).条件4. 存在0 0 使得对于所有足够大的n 成立c1nBn c2n.条件5. (i): 存在某个T1满足T1 max1/2 (p 4)/(2p),2/p 使得dn,p=O(nT1), 其中dm,q=Pt=0min(t,q,m+1,q). (ii): 存在某个T2满足T2 max0,(p4)/(2p) 使得n,p= O(nT2).定

168、定定理理理3.2.3. 假设X0Lp, p max(4,2/(1 ), EX0= 0. 进一步假设条件3, 4,5 (i) 和5 (ii) 成立. 则对于所有x R, 成立Pmax0iBnnBn|fn(i) Efn(i)|2f2(i) 2logBn+ log( logBn) x exp(exp(x/2).(3.10)定理3.2.3 要求矩条件X0Lp, p max(4,2/(1 ). 当 1 时p .下面的定理3.2.4 和3.2.5 减弱了这一矩条件.定定定理理理3.2.4. 假设X0Lp, p 4, EX0= 0, 条件3, 4, 5 (i) 成立. 进一步假设K(x) :=RReixK(

169、)d 满足RxR|K(x)|dx 4. 进一步假设存在某个0 1 使得n,p= O(n). 那么(3.10) 成立.注3.2.1. 定理3.2.3-3.2.5 适用于非线性过程. 当把它们应用于线性过程时, 我们的条件比Woodroofe 和Van Ness (1967) 的条件更弱. 为了得到(3.10), 他们要求 1/4, 0L8以及|ak| = O(k1), 1/5. 在定理3.2.4 中令p = 8, (14 2)/10. 同时我们注意到对于越小的, 的要求也越弱. 另外, 我们允许4 p 1. 令p0= min(2,p), Cp= 18p3/2(p 1)1/2.设1,2, 是复系数

170、. 则有?nXk=1k(XkXk)?p CpAnm,p, 其中An=nXk=1|k|p0!1/p0.(3.12)如果E(Xk) = 0, 则(i) kPnk=1kXkkp CpAn0,p; (ii) kPnk=1kXkkp CpAn0,p.谱密度估计的渐近性质67证明. 设Dk,j:= E(Xk|Fkj,k) E(Xk|Fkj+1,k). 则Dk,j, k = 1,.,n, 是鞅差序列, 关于Fkj,可测, 且满足kDk,jkp j,p. 利用Minkowski 和Burkholder 不等式(如Wu 和Shao (2007) 的引理1), 我们有?nXk=1kDk,j?p0p Cp0pnXk

172、 = 0, 所以Ak是有定义的. 我们现在给出鞅差的具体构造. 设Dk,= Dk= Ak E(Ak|Fk1). 它是m 相依的随机变量且关于Fk可测. 我们下面取j= jeij, 其中j是实数. 定义Mn,m=nXt=1Dtt1Xj=1jtDj.引引引理理理3.3.3. 假设EX0= 0, EX40 以及0,4 . 令eLn=P1jj0nj0jeXjeXj0.则有?eLn EeLn Mn,m?22 Cm3n max1tnb2n,t+ Cm4nnXk=1(bn,k bn,k1)2.证明. 利用泊松方程Xk,m= Ak E(Ak+1|Fk)ei可推出nXk=1eikXk,mnXk=1eikAk E

174、Xj,m Dj)?22 Cm2max1tn2t+ Cm3nXk=1(k k1)2. (3.20)70记W1,t= Xt,mPt8mj=1jtei(jt)(Xj,mDj). 容易看出W1,t,W1,t+4m,W1,t+8m,是鞅差. 应用Burkholder 不等式, 我们有?nXt=1W1,t?22CmnXt=1?t8mXj=1jtei(jt)(Xj,m Dj)?22Cm3n max1tn2t+ Cm4nnXk=1(k k1)2.(3.21)注意到W2,t:= Xt,mPt1j=t8m+1jtei(jt)(Xj,m Dj) 是12m 相依随机变量.由Rosenthal 不等式我们有?nXt=1

175、(W2,t EW2.t)?22 Cm3n max1tn2t.(3.22)结合(3.21) 可得?nXt=1Xt,mt1Xj=1jt(Xt,m Dj) EnXt=1Xt,mt1Xj=1jt(Xj,m Dj)?22 Cm3n max1tn2t+ Cm4nnXk=1(k k1)2,(3.23)同理可证?nXt=1(Xt,m Dt)t1Xj=1jtDj EnXt=1(Xt,m Dt)t1Xj=1jtDj?22 Cm3n max1tn2t+ Cm4nnXk=1(k k1)2.(3.24)结合(3.23) 与(3.24), 我们证明了引理3.3.3. 我们下面将利用引理3.3.3 来证明一个平稳过程二次型

176、的非常一般的中心极限定理. 对于独立随机变量的二次型, 读者可参阅de Jong (1987), Mikosch(1991), ten Vregelaar (1991), G otze 和Tikhomirov (1999) 等. 对于更多的参考文献, 见Wu 和Shao (2007), 在那里他们给出了鞅差序列二次型的中心极限定理.下面的定理只要求非常弱的相依假设0,4 , 并且它对非常一般的二次型系数an,j都成立.谱密度估计的渐近性质71定定定理理理3.3.1. 设an,j= bn,jeij, 其中bn,j R, bn,j= bn,j. 令Tn=X1j,j0nan,jj0XjXj0.假设E

177、X0= 0, EX40 且0,4 . 我们记2n= $()Pnk=1Pnt=1b2n,tk. 假设下面的条件成立:max0tnb2n,t= onXt=1b2n,t;(3.25)nnXt=1b2n,t= O(2n);(3.26)nXk=1k1Xt=1nXj=1+kbn,kjbn,tj2= o(4n);(3.27)nXk=1(bn,k bn,k1)2= onXt=1b2n,t.(3.28)则1nTn ETn N(0,42f2(), 其中f() =12PkZEX0Xkcos(k).证明. 设fm() 是Xt,m 的谱密度函数. 我们只需证明1nnXt=1DtnXj=1an,jtDj N(0,42f2

178、m().如果我们能够证明下面两个结论, 那么上式就被证明了:1nnXt=1DttXj=(t4m1)1an,jtDj= oP(1),(3.29)1nnXt=1hDtt4mXj=1an,jtDj+ Dtt4mXj=1an,jtDji N(0,42f2m().(3.30)事实上, 因为kPnt=1DtPt1j=(t4m1)1an,jtDjk22= O(nmax1tnb2n,t), 所以(3.29)成立. 故而只要证明(3.30). 由于Pnt=1kDtPt4mj=1an,jtDjk44 Cn(Pnj=1b2n,j)2=o(4n), 所以Lindeberg 条件成立. 我们下面证明Pnt=1hU2tE

179、(D2t|Ft1) + U2tE(D2t|Ft1) + 2|Ut|2E(|D|2t|Ft1)i2nP kD0,mk42,72(3.31)这里我们记Ut=Pt4mj=1an,jtDj. 然后(3.30) 可通过鞅差序列的中心极限定理来推出. 与(3.21) 的证明一样, 我们有?nXt=1U2tE(D2t|Ft1) nXt=1U2tE(D2t)?22 CnXt=1?t4mXj=1an,jtDj?44= o(4n).因而, 如果我们能够证明下面两个式子, 则(3.31) 成立:?nXt=1(U2t+ U2t+ 2|Ut|2 EU2t EU2t 2E|Ut|2)?22= o(4n),(3.32)nX

180、t=1t1Xj=1(a2n,j+ a2n,j+ 2|an,j|2) 2n.(3.33)事实上, 因为Dt,m是鞅差且是2m 相依随机变量, 因而如果我们能够证明nXk=1k1Xl=1flflflnXt=(k+1)(l+1)an,ktan,ltflflfl2= o(4n),(3.34)则(3.32) 可由下式推出:nXt=1(t1Xj=1an,jtDj)2=nXk=1nXl=1DkDlnXt=(k+1)(l+1)an,ktan,lt.易知当/ Z 时(3.34) 成立.现在假设/ / Z.由等式flflflPnl=1eilflflfl=|sin(n/2)|sin(/2)|, Abel 变换以及S

181、chwarz 不等式, 易知flflflnXt=(k+1)(l+1)an,ktan,ltflflfl2 CflflflnXt=1|cn,t cn,t1|flflfl2 CnXk=1(bn,k bn,k1)2nXk=1b2n,k= ohnXk=1b2n,ki2,其中cn,t= bn,ktbn,lt.这就证明了(3.34).我们现在来证明(3.33).若 =0,则(3.33) 是平凡的. 若0 , 则与(3.34) 的证明一样, 我们可推出flflflnXt=1t1Xj=1a2n,jflflfl CnXt=1t1Xj=1|bn,j bn,j+1|bn,j+ bn,j+1| CnhnXj=1(bn,

182、j bn,j1)2nXj=1b2n,ji1/2= o(2n),谱密度估计的渐近性质73从而得出了(3.33). 我们完成了定理的证明. 我们现在利用定理3.3.1 来改进Wu 和Shao (2007) 的定理2. 设j= 2j/n,j Z. l 是满足l n/2 1 的正整数. 对于实数序列s = (sj)|j|l, 令l(s) =Plj=ls2j, l(s) = |sl| +Plj=1l|sj sj1|. 对于 0, 令n() =lXj=lsjIn,X( + j) EIn,X( + j).推推推论论论3.3.1. 假设EX0= 0, EX40 且0,4 . 进一步假设l = o(n), (s

183、j)|j|l满足2l(s)logn = o(l(s). 则有(i). 当 = 0 时, 设sj= 0, l j 1. 我们有n(0)pl(s) N(0,f2(0).(3.35)(ii). 若 (0,), 则有n()l(s) N(0,f2().注. 为了确保(i) 和(ii) 中的结论成立, Wu 和Shao (2007) 要求E|X0|p 4,且Pj=0jj,p . 同时还要求l = o(n2/3).证明. 我们只证明(i). (ii) 的证明类似. 在定理3.3.1 中令an,t=Plj=lskcos(tj).条件(3.25)-(3.27) 的证明见Wu 和Shao (2007). 对于(3

184、.28), 我们只要证明nXk=1an,kan,k1 nl(s)/2,而这一关系的证明类似于Wu 和Shao (2007) 中的证明, 只要注意到若j = j06= 0,则Pnk=1cos(kj)cos(k 1)j0) n/2. 3.2.3 m 相依过程的不等式我们首先给出一个m 相依随机变量的Fuk-Nagaev 型不等式. 它可由Nagaev(1979) 推论1.6 以及一些简单的分块方法得到.引引引理理理3.3.4. 假设Xk;k 1 是一列m 相依随机变量, 且满足EXk= 0, E|Xk|p 0, 我们有P|nXk=1Xk| x C1x2mnXk=1EX2kQ+ C1xpmp1nXk

185、=1E|Xk|p.(ii). 对于任意Q 0, 我们有P|nXk=1Xk| x C1x2mnXk=1EX2kQ+ C1nXk=1P|Xk| C2x/m,其中C1,C2是仅依赖于Q 的有限正常数.对于m 相依随机变量的二次型, 我们也建立一个Fuk-Nagaev 型不等式.它在以后的证明中将被用到.设Sk,l=Pl+kt=l+1XtPt1s=1tsXs, 其中l 0,l + k n, 1,2, 是实数.引引引理理理3.3.5. 假设Xt;t Z 是一列m 相依随机变量.设EXt= 0, |Xt| M a.s., m n 以及M 1.假设存在K0 0 使得max1tn|an,t| K0,max1t

186、nEX2t K0, max1tnEX4t K0. 则对于任意x 1, y 1 以及Q 0,P(|Sk,l ESk,l| x)2ey/4+ C1n3M2x2y2m3(M2+ k)nXs=12sQ+C1n4M2P|X0| C2xym2(M + k1/2),其中C1,C2是仅依赖于Q, K0.证明. 不失一般性, 我们只考虑l = 0 的情形. 首先考虑bSk,0=Pkt=1XtPt2ms=1tsXs.我们将区间1,k 划分为eH1, ,eHkn, 其中kn= k/m.为了方便, 我们假定k/m 是整数.记bSj=PteHjXtPt2ms=1tsXs, 1 j kn. 那么可以看出bSj;j = 1

190、由条件1,PsZa2n,s= O(Bn). 再利用独立性与引理3.3.1,kYtkp= kXtkp?t4mXs=1an,tsXs?p kX0kpCp0,pt4mXs=1a2n,ts!1/2= O(B1/2n). (3.36)设Jl= b(n l)/(4m)c. 因为Yt,Yt+4m,Yt+8m,., 是Lp鞅差, 所以kRnkp4mXl=1?JlXj=1Yl+4mj?p=4mXl=1J1/2lO(B1/2n) = O(mnBn)1/2).(3.37)令 k= E(X0Xk), gn() = 2fn(), gn()=1nnXt=1X2t+2nnXt=2Xtt1Xs=1an,tsXs=1nnXt

191、=1X2t+2nnXt=2Xtt1Xs=max(1,t4m+1)an,tsXs+2Rnn.(3.38)由遍历性定理知, 对于1 l 4m, kn1Pnt=1XtXt+l lkp/2 0. 因此limnk gn() 2n1Rn E gn() 2n1Rnkp/2= 0.(3.39)设In(u) = (2n)1|Sn(u)|2, 其中Sn(u) =Pnk=1Xkeiku. 由引理3.3.1, kSn(u) Sn(u)kp= O(n1/2)m,p, kSn(u)kp+kSn(u)kp= O(n1/2). 因而kIn(u)In(u)kp=O(1)m,p. 又因为fn() =RRK(u)In(B1nu +

193、, Bn 和limu0K(u) = 1 下, 偏差Efn() f() 0. 因而(3.8)成立. 谱密度估计的渐近性质77定理3.2.2 的证明.我们只要验证定理3.3.1 的条件. 令bn,t= K(t/Bn).因为RRK2(x)dx 0 是任意固定的正数. 于是有PMBnk=1hKk/Bn K(k 1)/Bni2=o(Bn). 进一步, 容易验证Pnk=MBnhKk/Bn K(k 1)/Bni2 MBn. 所以(3.28) 成立. 3.4.2 定理3.2.3-3.2.5 的证明定理3.2.3-3.2.5 的证明需要一系列的引理. 令an,t= K(t/Bn)cos(t), 并设gn() =

194、nXt=1Xtt1Xs=1an,tsXs,gn,m() =nXt=1Xtt1Xs=1an,tsXs.引引引理理理3.4.1. 假设定理3.2.3 的条件满足. 则对于任意0 C 1, 存在一个正数满足 C 使得max0iBn|gn(i) gn,m(i)| = oP(pnBn/logBn),其中m = n.78注3.4.1. 由引理3.3.2 我们知引理3.4.1 在定理3.2.5 的条件下同样成立.证明. 设% 是一个固定的数满足0 % 1 并且与1 充分的靠近. 令sl= n%l,1 l r, r 是满足0 %r C 的正整数. 设r0(n) 是一个整数满足1 r0(n) r,sr0(n)

195、4, 可得Pmax0iBn|gn(i) gn,s1(i)| nBnlogBn CBnmax0iBnE|gn(i) gn,s1(i)|p/2(nBn)p/4(logBn)p/2 CBn(ds1,p)p/2(logBn)p/2 CnT1%p/2(logn)p/42= o(1).故我们只要证明对于任意1 l r 1, max0iBn|gn,sl(i) gn,sl+1(i)| =oP(pnBn/logBn). 令Yt,m() = Xt,mPt1s=1Xs,man,ts并注意到对于任意1 l r, Yt,sl(), 1 t n, 是Bn+ sl相依的随机变量. 我们将区间1,n 分为eH1,eH2,eH

196、tn, 长度都为Bn+ sl, 区间个数为tn n/(Bn+ sl). 最后一个区间可能是不完整的, 但为了方便起见, 我们假设它的长度还是Bn+ sl. 定义 uj() =XteHj(Yt,sl() Yt,sl+1(), uj() = uj() E uj(), 1 j tn.则u1(),utn() 是1 相依随机变量, 且gn,sl() gn,sl+1() =Ptnj=1uj(). 由引理3.3.4 我们有, 对于任意大的Q 和1 l r 1,Pmax0iBn|gn,sl(i) gn,sl+1(i)| nBnlogBn CBnmax0iBnPtnj=1E|uj(i)|2nBn(logBn)2

197、Q+ CBnmax0iBntnXj=1P|uj(i)| CQnBnlogBn.(3.42)利用引理3.3.2 以及dn,p= O(nT1), 我们有maxRmax1jtnE|uj()|2= O(Bn(Bn+sl)s2T1l+1). 由Q 的任意性可知(3.42) 不等式右边第一项趋于零. 现在还需证明第二项也是o(1). 我们首先处理1 l r0(n) 1 的情况. 注意到sl sl+1nl(1).以及sr0(n)1 Bn, 我们有tn n/sl. 再利用引理3.3.2 和Markov 不等式,Bnmax0iBntnXj=1P|uj(i)| CQnBnlogBn CBnns1lsp/4lspT

198、1/2l+1np/4(logBn)p/2 CBnsp/41pT1/2ln1p/4+%(logBn)p/2=: F1,(3.43)谱密度估计的渐近性质79其中当% 1 时% 0. 若4 4(1 + ) 且p/4 1 pT1/2 0, 则有F1= o(1). 最后如果p 4(1 + ) 且p/4 1 pT1/2 0, 则因为sl n, 我们有F1 CnpT1/2+%(logBn)p/2= o(1). 因而当1 l r0(n)1 时F1= o(1). 现在我们来处理r0 l r 1 时的情况. 对于r0(n) j r, r0(n) l r 1, 令Ut,j=tsl1Xs=1an,tsXs,sj,eY

199、t,sl= Xt,slUt,l Xt,sl+1Ut,l+1.记j1= mink : k eHj, j2= maxk : k eHj, 并注意到Xt,i=Ptk=tslPkXt,i,i = sl,sl+1, 通过一些运算可知u0j() :=XtHjeYt,sl=j2Xk=j1sl(k+sl)j2Xt=kj1(PkXt,slUt,l PkXt,sl+1Ut,l+1) =:j2Xk=j1slWk,l.可以看出Wk,l, j1 sl k j2是鞅差序列, 因而由引理3.3.1,maxRkWk,lkpmaxR(k+sl)j2Xt=kj1kPkXt,slkpkUt,l Ut,l+1kp+maxR(k+sl

200、)j2Xt=kj1kPk(Xt,sl Xt,sl+1)kpkUt,l+1kp= O(B1/2n).结合Markov 不等式, 条件p 2/(1 ) 以及一些初等的计算可得Bnmax0iBntnXj=1P|u0j(i)| nBnlogBn Cn1p/2B1n(logBn)2pj2Xk=j1slE|Wk,l|p Cn1p/2Bp/2n(logBn)2p= o(1).(3.44)记Yt,sl= Yt,sl()Yt,sl+1()eYt,sl, 则有uj() = u0j()+PtHj(Yt,slEYt,sl). 利用引里3.3.1, 我们有E|Yt,sl|p/2 Csp/4lsT2p/2l+1. 通过注

201、意到Yt,sl, 1 t n 是sl相依随机变量, 我们可由引理3.3.4 知对于足够大的Q,Bnmax0iBntnXj=1P|uj(i) u0j(i)| nBnlogBn80 CBnmax0iBntnXj=1slPtHjE|Yt,sl|2nBn(logBn)2Q+CBn(nBn)p/4(logBn)p/2sp/21lmax0iBntnXj=1XtHjEflflflYt,slflflflp/2 Cs3p/41lspT2/2l+1(nBn)p/4+1(logBn)p/2 Csp/2pT2/2lnp/4+1+%(logBn)p/2= o(1),(3.45)在上面的最后一个不等式里我们用了性质sl

202、4, 我们有tnXj=1Pmax0i2n2flflflBn+slXj=1slRn,j(li)flflfl (nBn)1/4/(logBn)3 Cn3B1nexp(C(logBn)2) + nB1nBp/2n(nBn)p/4(logBn)5p/2= o(1).引理的证明就被完成了. 令 1/4 且充分靠近1/4, m = n, 其中充分小. 定义X0t,m= Xt,mI|Xt,m| (nBn), Xt,m= X0t,m EX0t,m,gn,m() =nXt=2Xt,mt1Xs=1an,tsXs,m EnXt=2Xt,mt1Xs=1an,tsXs,m.因为K() 是有界的, 所以EmaxRflf

204、可证E(nXt=2|Xt,m Xt,m|t1Xs=1(tBn)|Xs,m|) = o(pnBn/logBn).(3.48)合并(3.46), (3.47) 和(3.48), 可得EmaxRflflflgn,m() gn,m()flflfl= o(pnBn/logBn).(3.49)下面我们将区间1,n 划分为Hj= (j 1)(pn+ qn) + 1,jpn+ (j 1)qn; Ij= jpn+ (j 1)qn+ 1,j(pn+ qn);1 j kn,Ikn+1= kn(pn+ qn) + 1,n,其中pn= B1+n,qn= Bn+m, kn= n/(pn+qn). 同时我们也令 0 且充分

205、小.记uj() = 2XtHj(Yt,m() 2EYt,m(),vj() = 2XtIj(Yt,m() 2EYt,m(),其中Yt,m() = Xt,mt1Xs=1an,tsXs,m, 1 j kn+ 1.引引引理理理3.4.2. 假设EX0= 0, EX40 0,BnXi=0max|i|BnPflflflkn+1Xj=1vj(i)flflflnBnlogBn CBnXi=0max|i|BnPkn+1j=1Ev2j(i)nBn(logBn)2Q+ CBnXi=0max|i|Bnkn+1Xj=1P|vj(i)| CQnBnlogBn.在引理3.3.5 中令x = CQnBn/(logBn), M

206、 = (nBn), k = Bn+ m, m = n和y = (logBn)2. 易知对于任意c 0,P|vj(i)| CQnBnlogBn= O(nc).由上式可以立刻证明引理成立. 下面我对uj(), 1 j kn进行截尾. 设buj() = uj()I|uj()| nBn(logBn)4 Euj()I|uj()| nBn(logBn)4.引引引理理理3.4.3. 假设EX0= 0, EX40 0,P|uj(i)| nBn(logBn)4= O(nc).(3.50)由上式我们可以立证得该引理. 引引引理理理3.4.4. 假设EX0= 0, EX40 0 我们有PmaxiBflflflknX

207、j=1buj(i)flflfl xpnBnlogBn= o(1),其中B = 0 |i| (logBn)2SBn (logBn)2 |i| Bn.谱密度估计的渐近性质85证明. 由Bernstein 不等式可知该引理成立. 引引引理理理3.4.5. 假设EX0= 0, EX40 0 满足limsupnn 0 足够小. 利用引理3.3.2 和3.3.3 可知我们只要证明rn,1,2:=|EM1,n(1) + M2,n(1)M1,n(2) + M2,n(2)|CnBn/(logBn)2,其中M1,n() =Pnt=1Dt,Pt1j=1an,jtDj, M2,n() = M1,n(), an,j=

208、K(j/Bn)eij,并回顾第三节的Dj,.记M01,n() =Pnt=1Dt,Ptm1j=1an,jtDj, M02,n() =M01,n(). 由于Dt, t 1 是鞅差, 故而rn,1,2:=EM01,n(1) + M02,n(1)M01,n(2) + M02,n(2)=nXt=1|ED0,1D0,2|2tm1Xs=1K2(t s)/Bn)ei(ts)(1+2)+nXt=1|ED0,1D0,2|2tm1Xs=1K2(t s)/Bn)ei(ts)(1+2)86+nXt=1|ED0,1D0,2|2tm1Xs=1K2(t s)/Bn)ei(ts)(12)+nXt=1|ED0,1D0,2|2tm

209、1Xs=1K2(t s)/Bn)ei(ts)(12)=2|ED0,1D0,2|2nXt=1tm1Xs=1K2(t s)/Bn)cos(t s)(1+ 2)+2|ED0,1D0,2|2nXt=1tm1Xs=1K2(t s)/Bn)cos(t s)(1 2).(3.51)利用等式1/2 +Pnk=1cos(k) = 21sin(n + 1)/2)/sin(/2), Abel 变换以及条件3, 可得flflflnXt=1tm1Xs=1K2(t s)/Bn)cos(t s)(1 2)flflfl Cnm + CB2n+nXt=Bn+m+1flflflBnXs=1K2(s/Bn)coss(1+ 2)fl

210、flfl Cnm + CB2n+ CnBn/(logBn)2.这结合(3.51) 证明了rn,1,2= O(nBn/(logBn)2). 注意到?nXt=1Dt,t1Xs=(tm)1an,tsDs,?2= O(nm),已经可以看出|rn,1,2| |rn,1,2| + O(nBnm +nmBn) = O(nBn/(logBn)2),因而(i) 成立. 同理可证(ii) 成立.(iii). 回顾kD0,k2=Pmj=mE(X0,mXj,m)eij. 通过(i) 的证明和条件3, 我们可以看出对于B1n(logBn)2 B1n(logBn)2, 有rn(,)=O(nBn/(logBn)2) + k

211、D0,k42nBnXs=BnK2(s/Bn)=O(nBn/(logBn)2) + 42f2()nBnZ11K2(t)dt.谱密度估计的渐近性质87引引引理理理3.4.6. 设En= Bn (logBn)2. 在定理3.2.3 或3.2.4 或3.2.5 的条件下, 我们有Pmax(logBn)2iEn|Pknj=1b uj(i)|242nBnf2(i) 2log(Bn) + loglog(Bn) x exp(exp(x/2).证明. 不失一般性, 我们假设R11K2(t)dt = 1. 为了得到该引理, 我们首先来证对于任意yn 且yn= O(logBn), 有P|knXj=1buj(ik)|

213、=O(mB2n) + mXtIjkYt,m()k2= O(mB2n),以及maxkvkn+1()k2= O(mB2+2n). 这就证明了存在某个 0 使得E|kn+1Xj=1vj(ik)|2= O(nB1n).因而我们得到了maxikE|Pknj=1buj(ik) 2gn,m(ik)|2= O(nB1/2n).下面我们证明maxE|gn,m() gn,m()|2= O(nBn/(logBn)2).(3.56)事实上, 类似于(3.37) 的证明我们可知?nXt=1Xt,mtmXs=1an,ts(Xs,m Xs,m)?2 CmnXt=1kXt,mk2ktmXs=1an,ts(Xs,m Xs,m)

214、k2= O(m2nBn)E(Xs,m Xs,m)2= O(m2(nBn)12)谱密度估计的渐近性质89和knXt=1Xt,mt1Xs=tm+1an,ts(Xs,m Xs,m)k2 Cm3nkXs,m Xs,mk2= O(m3n(nBn)2).因而kPnt=1Xt,mPt1s=1an,ts(Xs,m Xs,m)?2= O(nBn/(logBn)2). 同理可证knXt=1(Xt,m Xt,m)t1Xs=1an,tsXs,m?2= O(nBn/(logBn)2).所以(3.56) 就被证明了. 由引理3.3.2, maxE|gn()gn,m()|2= O(nBn/(logBn)2).因而为了证明(

215、3.55), 只需证|Cov(gn(ik),gn(il)| = O(nBn/(logBn)2),而这又可以由引理3.4.5 (i) 获得. 类似地, 由引理3.4.5 (iii), 我们有flflflEknXj=1buj(ik)2 42nBnf2(ii)flflfl= O(nBn/(logBn)2).这结合(3.55) 使得(3.54). 因此|Cov1/2(knXj=1Nj) 2pnBnId| = O(pnBn/(logBn)2).(3.57)设N 是一个Rd值的标准正态随机向量. 利用(3.57) 以及正态随机变量的尾概率估计可知P|Cov1/2(knXj=1Nj) 2pnBnId|N|

216、nBnlogBn= O(e(logBn)2/4),这结合(3.53) 推出了PflflflknXj=1Vjflflfld ynpnBn P2pnBn|N|d ynpnBn 2nBnlogBn+ O(e(logBn)2/4)90= (1 + o(1)8y1nexpy2n82d.(3.58)同理于(3.58) 的证明, 我们能够得到PflflflknXj=1Vjflflfld ynpnBn (1 + o(1)8y1nexpy2n82d.因而(3.52) 就被证明了.利用引理3.4.5 (ii) 和Berman (1962) 的引理2, 类似于(3.58) 的证明, 我们有,存在某个 0 使得P|k

217、nXj=1buj(ik)| ynpnBnf2(ik),k = 1,2 C8y1nexpy2n82(1 + ).(3.59)令tn= 2logBn log( logBn) + x. 并记事件A =nmax(logBn)2iEn|Pknj=1buj(i)|242nBnf2(i) tno.由Bonferroni 不等式可知对于任意固定的k 有2kXt=1(1)t1Et P(A) 2k1Xt=1(1)t1Et,其中Et=P(logBn)2i1 0 且总体服从多元正态分布时, 已经有一些统计量被提出并被用来检验X 的p 个分量间的独立性. Johnstone (2001) 利用样本协方差矩阵的最大特征根

218、, Ledoit 和Wolf (2002) 利用样本协方差矩阵特征根的二次型来检验原假设H0: = Ip, 其中Ip是一个p p 单位矩阵, 而Schott (2005) 利用样本相关系数的平方和来检验H0: R= Ip. 若正态性没有被假设, Jiang (2004) 构造了一个基于样本相关系数矩阵最大非对角元的统计量. 记Xk= (Xk,1,Xk,2,.,Xk,p), 1 k n并令eLn=max1i 30 使得E|X11|r , 则对于y R 成立limnP(neL2n 4logp + log2p y) = exp ey/2/8,(4.1)92其中logx = lnmax(x,e), l

219、og2x = log(logx).Zhou (2007) 证明了矩条件E|X1,1|r 30) 可以被减弱为当x 时有 x6P(|X1,1X1,2| x) 0.(4.2)在(4.1) 中的极限分布被称为I 型极值分布. 大家普遍认为这一类型的极值分布的收敛速度是很慢的(见Hall (1979). 事实上, 我们将证明(见定理4.1.2 和(4.11)甚至当X1,1服从标准正态分布时, 它的收敛速度是O(log2n/logn). 本章主要目的是为了介绍一个经过修改的统计量, 并且证明这个新统计量的渐近分布同样是I 型极值分布, 然而其收敛速度却可以达到O(logn)5/2/n). 我们同时证明了

220、从P(neL2n4logp+log2p y) 到expp2p2P2(1) 4logplog2p+y(取代最后的极限分布exp(ey/2/8) 的收敛速度实际上也是O(logn)5/2/n).这就说明了当一个检验统计量具有极值型极限分布时, 我们应该利用某个“中间项” (而不是最终的极限分布) 来逼近统计量的分布. 在各种各样的应用当中, 极值分布是非常重要的. 这些应用包括了: 极度不寻常事件的风险评估, 水文评价,网络模拟和工程上的分析(见Galambos 等(1994) 和Leadbetter 等(1983). 我们希望这章的发现将在实际当中能够起到一个指导作用.接下来我们令H0表示原假设

221、: 总体X 的p 个分量是相互独立的, 并具有相同的分布. 设Xk= (Xk,1,Xk,2,.,Xk,p), 1 k n 是来自于总体X 的n 个样本.定义L2n=max1ijpr2i,j,(4.3)其中r2i,j=(2A2n,i,j+ 2B2n,i,j)/Dn,i,j,An,i,j=n/2Xk=1(Xk,i X(n)i)(Xk,j X(n)j),(4.4)Bn,i,j=nXk=n/2+1(Xk,i X(n)i)(Xk,j X(n)j),Dn,i,j=nXk=1(Xk,i X(n)i)2nXk=1(Xk,j X(n)j)2,高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Esseen 界93其中

222、n/2 表示n/2 的整数部分. 我们选取检验统计量Wn:= nL2n 4logp.(4.5)容易看出r2i,j是Xi和Xj之间的相关系数的相合估计, 同时它还满足r2i,j(e(n)i,j)2. 与其假设n 和p 具有相同的阶, 我们考虑一个更一般的情况. 假定c1n p c2n,(4.6)其中c1,c2和是正常数.我们的第一个定理证明了在比(4.2) 更弱的条件下, Wn的渐近分布是一个I型极值分布, 并且逼近的误差是O(logn)5/2/n). 此时我们要求E|X1,1|3+4 3/4.定定定理理理4.1.1. 假设(4.6) 成立且当 x 时x1+2P(|X1,1X1,2| pxlo

223、gx) 0.(4.7)则在原假设H0下, 当n 时, 对于任意y R 都成立PWn y exp12expy2.(4.8)若E|X1,1|3+4 3/4, 那么有supyRflflflPWn y exp12expy2flflfl Cn12(logn)52,(4.9)其中C 是一个不依赖于n 和p 的常数.下面的结果证明了在假设(4.7) 下(4.1) 仍旧成立.此外当X1,1具有7 阶矩时,收敛到expp2p2P2(1) 4logp log2p + y(2(1) 具有2分布, 自由度为1) 的速度也可以达到O(logn)5/2/n).定定定理理理4.1.2. 在原假设H0下, 如果满足(4.6)

224、和(4.7), 则(4.1) 成立. 若E|X1,1|3+4 3/4, 那么有supyRflflflPneL2n 4logp + log2p yexpp2 p2P2(1) 4logp log2p + yflflfl Cn12(logn)52.(4.10)94可以证明(见第4 节的证明) 若(4.6) 中的 = 1, 则有expp2 p2P2(1) 4logp log2p + y exp(ey/2/8)log2n8logn18expy218expy2.(4.11)因而(4.1) 中的收敛速度是O(log2n/logn).我们需要注意下述注解.注4.1.1. (4.10) 中的对数项(logn)

225、5/2有可能不能被减弱了. 因为我们的目的是为了得到主要项n1/2, 我们将不再试图找出最优的对数项.注4.1.2. 没有必要要求p 和n 满足关系(4.6). 例如若(4.6) 被c1n1 p c2n代替, 其中c1,c2,1和是正常数, 并假设对某个r 6 有E|X1,1|(3+4)r 0, 常数C 可以依赖于. 当logp 的阶是nr(0 0 且x1+2supn1max1ijpP|X1,iX1,j| pxlogx 0,则(4.8) 依然成立. 另外如果supnmax1jpE|X1,j|3+4 3/4, 则(4.9)和(4.10) 成立.高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Es

226、seen 界95本章的结构如下. 4.3.1 给出一个一般性定理, 由该定理我们可以推出定理4.1.1 和4.1.2. 第四节给出了这个一般性定理的证明大纲以及证明所需要的五个命题, 而这些命题的详细证明则被置于4.4.2. 定理4.1.1 和4.1.2 的证明在4.3.1 中给出.全章C 将表示一个正常数不依赖于n 和p, 但每次出现都有可能不同.表 4.1. 估估估计计计的的的显显显著著著水水水平平平, = 0.05, X1,1 N(0,1)p检验统计量n = 16n = 32n = 64n = 128n = 2564Wn0.03720.04720.04960.04740.0470Lnew

227、0.03180.04580.04980.04740.0532Lold0.01400.02320.02840.02560.02928Wn0.01900.03320.04120.05240.0440Lnew0.01040.03160.03680.04620.0462Lold0.00660.01980.02220.02580.033816Wn0.00940.02480.03560.04360.0478Lnew0.00120.01120.03160.04200.0482Lold0.00020.01300.02460.03120.033832Wn0.00320.01880.03660.04120.043

228、2Lnew0.00000.00940.02280.03680.0376Lold0.00000.00440.02120.02800.036464Wn0.00100.01140.02960.04020.0460Lnew0.00000.00200.01000.02920.0356Lold0.00000.00260.01600.02560.0358128Wn0.00040.00820.02180.03500.0568Lnew0.00000.00000.00600.02620.0380Lold0.00000.00000.00600.01700.036296表 4.2. 估估估计计计的的的显显显著著著水水

229、水平平平, = 0.05, X1,1 t7p检验统计量n = 16n = 32n = 64n = 128n = 2564Wn0.04840.05800.04960.05200.0566Lnew0.04080.04660.05140.05040.0522Lold0.01920.02420.02860.02760.03008Wn0.03740.05600.06240.05740.0586Lnew0.00840.03320.04680.04400.0470Lold0.00540.02300.02900.03580.037216Wn0.02920.05360.07500.06760.0622Lnew0

230、.00120.01860.03240.04360.0446Lold0.00040.01460.03080.03360.036632Wn0.01440.06820.08860.07580.0664Lnew0.00000.01020.02940.04140.0444Lold0.00000.00620.02440.03360.043664Wn0.00660.08160.11220.10100.0670Lnew0.00000.00400.02660.03820.0472Lold0.00000.00420.01960.03520.0388128Wn0.00000.10100.12400.11380.08

231、20Lnew0.00000.00020.01840.03540.0480Lold0.00000.00020.01780.03420.04384.2模模模拟拟拟结结结果果果以以以及及及一一一个个个应应应用用用这一节我们给出Wn,Lnew以及Lold的模拟. 同时我们将结果应用到线性方程的大型不定系统的稀疏解问题.4.2.1 模拟结果下面的显著水平的估计是通过5000 次独立的模拟来实现的, 所给定的显著水平是 = 0.05.高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Esseen 界97表 4.1 给出了在原假设H0下且X1,1服从标准正态分布时的Wn(定理4.1.1),Lnew(通过定理4.

232、1.2 来逼近Ln) 以及Lold(通过(4.1) 来逼近Ln) 的模拟结果. 表4.2 的模拟结果是在X1,1服从自由度为7 的t 分布下进行的. 可以看出估计的显著水平一般比0.05 要低, 这就说明检验是保守的. Wn和Lnew的性能是可比较的, 并且当n 比p 大时性能是良好的.4.2.2 随机最优化中的一个应用我们应用定理4.1.2 到过完备库中矢量的稀疏解问题(SMV). SMV 问题可以通过如下来描述. 给定一个矢量b 以及库A, 我们求解系统方程Ax = b, 其中A是一个np 矩阵, x 是一个具有p 个分量的向量, b 是一个具有n 个分量的向量.通常假设n p. 一个稀疏

233、表示是说向量x 具有最少的非零分量. 这种不定系统方程的例子包括: 阵列信号处理, 逆问题, 基因数据分析. 关于SMV 问题的应用, 读者可参考Donoho 和Elad (2002), Donoho 等(2006), Donoho 和Huo (2001),Donoho 和Stark (1989) 以及它们的参考文献.通过解下面的最优化问题可以找出稀疏表示.(Q0) :minkxk0,s.t. Ax = b,其中kxk0表示向量x 的非零分量的个数. 问题(Q0) 本质上是一个组合最优化问题, 一般来说这个问题是很难解决的. 上述问题可能被放宽到1模最小化问题,并且可以通过线性规划求解. 1模

234、最小化问题如下:(Q1) :minkxk1,s.t. Ax = b,其中kxk1是x 中元各个分量的绝对值的和. 在各种条件下, 人们已经证明(Q0)和(Q1) 的解是等价的. 例如, 令G = ATA, M = max1i,jp,i6=j|G(i,j)|, 若kxk0(1 + M1)/2, 那么x 是(Q1) 的唯一解(对于b = Ax), 且这个解与(Q0) 的唯一解相同; 见Chen 和Huo (2005). 现在我们假设A 是一个随机矩阵. 设n,p 满足注4.1.2 中的条件, Xk,i,k,i 1 是独立中心化随机变量满足注4.1.3 中的条件.定义A 中正则化的(k,i) 元Yk

235、,i:= Xk,i/(Pnk=1X2k,i)1/2. 由定理4.1.2 的证明, 我们可以看出(4.10) 对于M2= M2n仍旧成立, 其中M2n=max1i,jp,i6=j|Gi,j|2=max1ijp(Pnk=1Xk,iXk,j)2(Pnk=1X2k,i)(Pnk=1X2k,j).98因而对于所有最多有(1 + m)/2 个非零分量的x, (Q0) 和(Q1) 等价的概率至少是1 (0 1), 其中m=pn/(y+ 4logp log2p), y是如下方程的解:expp2 p2P2(1) 4logp log2p + y= 1 .当Xij是标准正态随机变量时, Donoho (2006)

236、给出了一些类似的结论.4.3主主主要要要结结结果果果的的的证证证明明明与其分别证明定理4.1.1 和4.1.2, 在这一节我们先给出一个一般性定理.4.3.1 一般性定理设d 是一个正整数, X,X(m)k,i;k,i 1,1 m d 是独立同分布随机变量所组成的阵列. 令Xk,i,j= (Y(1)k,i,j, ,Y(d)k,i,j), Y(m)k,i,j= X(m)k,iX(m)k,j,i,j,k 1, 1 m d,和Wp,n=max1ijp?nXk=1Xk,i,j?,其中k k 表示Rd中的欧几里德模.定定定理理理4.3.1. 假设EX = 0 和EX2= 1. 设X0是X 的独立复制并且

237、满足supxx1+2P|XX0| pxlogx .(4.12)则对于任意0 104存在有限的常数C 使得supyRflflflPW2p,nn p y expp2 p2P2(d) p+ yflflfl Cp1+20+ C(logn)5/2n1/2E|XX0|3I|XX0| n/(logn)4+Cn1+2P|XX0| d1/2pnlogp,(4.13)其中p= 4logp (2 d)log2p, 2(d) 具有2分布, 自由度为d.高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Esseen 界99现在记An,i=dXm=1nXk=1(X(m)k,i)2,1 i p,以及Qn,i,j= An,iAn

238、,j,L2p,n=max1ijp?Pnk=1Xk,i,j?2Qn,i,j.定定定理理理4.3.2. 假设定理4.3.1 的条件成立, 并且EX4 . 对任意0 104我们有supyRflflflPd2nL2p,n p y expp2 p2P2(d) p+ yflflfl Cp1+20+ C(logn)5/2n1/2+ Cn1+2P|XX0| d1/2pnlogp+ n,(4.14)其中n= Cnp20P(|X| n1/4(logp)1/4).定理4.3.1 和4.3.2 的证明将在第四节中给出.4.3.1 主要结果的证明现在我们已经可以看出定理4.1.1 和4.1.2 是定理4.3.1 和4.

239、3.2 的两个特例.定理4.1.1 的证明为了简洁起见, 我们假设n 是偶数, 否则就用n/2 代替下面的n/2 且证明类似. 不失一般性我们假定EX1,1= 0 和EX21,1= 1. 记eAn,i,j=n/2Xk=1Xk,iXk,j,eBn,i,j=nXk=n/2+1Xk,iXk,j=n/2Xk=1Xk+n/2,iXk+n/2,j,eDn,i,j=nXk=1X2k,inXk=1X2k,j.100在定理4.3.1 中令d = 2. 因为(eAn,i,j)2+ (eBn,i,j)2= k(eAn,i,j,eBn,i,j)k2, 所以由定理4.3.1 可知Pmax1ijp2eAn,i,j2+

240、2eBn,i,j2n 4logp y= P2W2p,n/2n 4logp y eey/2/2,(4.15)从而max1ijp|eAn,i,j| = OP(pnlogn),max1i 0 有E|X1,1|2+4 0 有max1ipflflflPnk=1Xk,iflflfln= OPrlognn(4.17)和max1ipflflflPnk=1X2k,i nflflfln= OP(n).(4.18)观察到r2i,j=2(Pn/2k=1Xk,iXk,j)2 2X1,i,jPn/2k=1Xk,iXk,j+ (X1,i,j)2hPnk=1X2k,i n(X(n)i)2ihPnk=1X2k,j n(X(n)

241、j)2i+2(Pnk=n/2+1Xk,iXk,j)2 2X2,i,jPnk=n/2+1Xk,iXk,j+ (X2,i,j)2hPnk=1X2k,i n(X(n)i)2ihPnk=1X2k,j n(X(n)j)2i,其中X1,i,j= 21n(X(n/2)iXnj+X(n)iXn/2jX(n)iXnj) = OP(logn),X2,i,j= 21n(2n1nXk=n/2+1Xk,iXnj+ 2n1X(n)inXk=n/2+1Xk,jX(n)iXnj)= OP(logn).由(4.15)-(4.18) 我们知(4.8) 成立.高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Esseen 界101现在

242、我们来证明(4.9). 令En,i,j=An,i,j2+Bn,i,j2. 我们首先证明r2i,j分母里的Dn,i,j可以用eDn,i,j来代替. 注意到Pnk=1(Xk,iX(n)i)2 X2k,in= (Pnk=1Xk,i)2n2.并利用引理4.4.2 我们有Pmax1ipflflflPnk=1(Xk,iX(n)i)2 X2k,inflflfl 4plogn/n pP|nXk=1Xk,1| 2nlognn1/4 Cn1/2,(4.19)Pmax1ipflflflPnk=1X2k,i nnflflfl12 Cn1/2 Cn1/2,(4.20)以及Pmax1ip|nXk=1Xk,i| 4pnlo

243、gn Cn1/2.(4.21)因而P2n max1ijpEn,i,jeDn,i,j (1 8plogn/n)(y + p) Cn1/2 PWn y P2n max1ijpEn,i,jeDn,i,j (1 + 8plogn/n)(y + p)+ Cn1/2.现在记Fn,i,j=eAn,i,j,eBn,i,j. 同时注意到flflflkFn,i,jk qA2n,i,j+ B2n,i,jflflfl k(X1,i,j,X2,i,j)k.102结合(4.21) 可得P2n max1ijpkFn,i,jkeD1/2n,i,j (1 8plogn/n)12(y + p)12 C logn/nCn1/2 P

244、Wn y P2n max1ijpkFn,i,jkeD1/2n,i,j (1 + 8plogn/n)12(y + p)12+ C logn/n+Cn1/2.在定理4.3.2 中取d = 2. 容易看出对于任意x R 有P2nmax1ijpkFn,i,jk2eDn,i,jx= P2nL2p,n/2 x. 令ln(y) =h(1 8rlognn)12(y + p)12 Clognn1/2i2.我们有P2nL2p,n/2 ln(y) Cn1/2 PWn y P2nL2p,n/2 ln+(y)+ Cn1/2.(4.22)由定理4.3.2 我们可以获得supyRflflflP2nL2p,n/2 ln+(y

245、) exp12expy2flflfl supyRflflflexpp2 p2P2(2) ln+(y) exp12expy2flflfl+Cn12(logn)52+ Cp1+20+ dn1+2P|XX0| 21pnlogp+ n=: supyRPn+(y) + Cn12(logn)52,其中Pn+(y) =flflflexpp2 p2eln+(y)/2 exp12expy2flflfl.高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Esseen 界103注意到supy2log2n8ln+(y) p 2log2n8+ C(logn)3/2n1/2.(4.23)这就说明了supy2log2n8Pn+

246、(y) Cn3.同时我们可以得到supy2lognln+(y) p 2logn.(4.24)因而, 利用不等式: 对于任意y 1 有1 exp(12exp(y2) C exp(y2), 可得supy2lognPn+(y) Cn12.通过一些初等的计算可推出sup2log2n8y2logn|ln+(y) p y| C(logn)3/2n1/2,(4.25)因而由不等式|ex 1| C|x|, |x| 1, 可得sup2log2n8y2lognPn+(y) Cn12(logn)52+ Cp1logn.上述证明使得supyRflflflP2nL2p,n/2 ln+(y) exp12expy2flfl

247、fl Cn12(logn)52.类似地,supyRflflflP2nL2p,n/2 ln(y) exp12expy2flflfl Cn12(logn)52.由(4.22) 以及上面两个不等式我们就完成了证明. 定理4.1.2 的证明. 我们假设EX1,1= 0, EX21,1= 1. (4.1) 的证明类似于(4.8) 的证明, 因而被省略. 我们现在证明(4.10). 利用引理4.4.2 和定理4.1.1 的证明, 我104们有expp2 p2P2(1) ln(y) Cn1/2(logn)5/2 PneL2n p y expp2 p2P2(1) ln+(y)+ Cn1/2(logn)5/2.

248、此外由(4.23), (4.24) 和(4.25) 可得supy2log2n8|expp2 p2P2(1) ln(y)expp2 p2P2(1) p+ y| Cn1/2,supy2logn|expp2 p2P2(1) ln(y)expp2 p2P2(1) p+ y| Cn1/2,和sup2log2n8y2logn|expp2 p2P2(1) ln(y)expp2 p2P2(1) p+ y| Cn1/2(logn)5/2.这就完成了定理4.1.2 的证明. 4.4一一一般般般性性性定定定理理理的的的证证证明明明这一节我们证明定理4.3.1 和4.3.2.4.4.1 截尾与记号我们首先对Xk,i,

249、j进行截尾. 设是一个很小的待定正数, 令Y(m)k,i,j= X(m)k,iX(m)k,j;eY(m)k,i,j= Y(m)k,i,jI|Y(m)k,i,j| d1/2pnlogp;Y(m)k,i,j= Y(m)k,i,jI|Y(m)k,i,j| n/(logn)4;(4.26)Y(m)k,i,j= Y(m)k,i,jIn/(logn)4 |Y(m)k,i,j| d1/2pnlogp;1 k n,1 i,j p,1 m d,高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Esseen 界105和eXk,i,j= (eY(1)k,i,j, ,eY(d)k,i,j);Xk,i,j= (Y(1)k

250、,i,j, ,Y(d)k,i,j);Xk,i,j= (Y(1)k,i,j, ,Y(d)k,i,j);1 k n,1 i,j p;(4.27)eTp,n=max1ijp?nXk=1eXk,i,j?,Tp,n=max1ijp?nXk=1Xk,i,j?;eL2p,n=max1i t). 则有|PmaxI t e| (1 1)(b1+ b2+ b3),(4.28)其中b1=XIXBP( t)P( t),b2=XIXB,6=P( t, t),b3=XIE|P( t|(, 6 B) P( t)|,(, 6 B) 是由, 6 B 所生成的代数. 特别地, 如果对于任意, 与, 6 B 独立, 那么有b3=

251、 0.下面的命题将在证明中起到本质的作用.106命命命题题题4.4.1. 在定理4.3.1 的条件下, 我们有sup2log2ny2lognflflflP?nXk=1eXk,1,2?nyn P2(d) p+ yflflfl C(logn)5/2p2n1/2E|XX0|3I|XX0| n/(logn)4 + Cp3,(4.29)其中yn=q(p+ y)(1 + O(plogn/n), = 8(d/2), () 是Gamma 函数.命命命题题题4.4.2. 在定理4.3.1 的条件下, 我们有supy2log2nflflflP eT2p,nn p y expp2 p2P(2(d) p+ y)flf

252、lfl Cn2+ Cp1+20.命命命题题题4.4.3. 在定理4.3.1 的条件下, 我们有supy2lognflflflP eT2p,nn p y expp2 p2P(2(d) p+ y)flflfl C(logn)5/2n1/2E|XX0|3I|XX0| n/(logn)4 + Cp1.命命命题题题4.4.4. 在定理4.3.1 的条件下, 对于任意满足vn 2nlogp 的序列vn成立PknXk=1eXk,1,2k vn,knXk=1eXk,1,3k vn Cp4+20.命命命题题题4.4.5. 在定理4.3.2 的条件下, 我们有supy2log2nflflflPd2neL2p,n

253、p y expp2 p2P(2(d) p+ y)flflfl Cn2+ Cp1+20.(4.30)高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Esseen 界107和supy2lognflflflPd2neL2p,n p y expp2 p2P2(d) p+ y)flflfl C(logn)5/2n1/2+ n.(4.31)这些命题的证明将在4.4.2 中给出.定理4.3.1 的证明. 显而易见,PW2p,n6=eT2p,ndPmax1knmax1ijp|Y(1)k,i,j| d1/2pnlogpCnp2P|XX0| d1/2pnlogp.(4.32)为了证明定理4.4.1 我们只要证明su

254、pyRflflflP eT2p,nn p y expp2 p2P2(d) p+ yflflfl Cp1+20+ C(logn)5/2n1/2E|XX0|3I|XX0| n/(logn)4.(4.33)在引理4.5.1 中设I = (i,j);1 i t,b1np3P2knXk=1eXk,1,2k t,b2np3PknXk=1eXk,1,2k t,knXk=1eXk,1,3k t.108因而利用(4.34) 和命题4.4.1 - 4.4.4 可知(4.33) 成立. 定理4.3.2 的证明. 假设n 1, 否则(4.14) 是平凡的. 我们只要证明supyRflflflPd2neL2p,n p

255、y expp2 p2P2(d) p+ yflflfl Cp1+20+ C(logn)5/2n1/2+ n.利用定理4.3.1 的证明, 并再次利用引理4.4.1 我们有flflflPd2neL2p,n p y eenflflfleb1n+eb2n,(4.35)其中en=p2 p2PknXk=1eXk,1,2k et1,2,eb1n 2p3P2knXk=1eXk,1,2k et1,2,eb2n p(p2 p)PknXk=1eXk,1,2k et1,2,knXk=1eXk,1,3k et1,3,以及eti,j=rQn,i,jd2n(p+ y).设An,i=dXm=1nXk=1(X(m)k,i)2I

256、(X(m)k,i)2rnlogp,Qn,i,j=An,iAn,j,ti,j=sQn,i,jd2n(p+ y).证明的主要思想是用Qn,i,j取代Qn,i,j, 然后用一些非随机的常数代替Qn,i,j.我们下面利用引理4.4.2 并在(4.38) 中令 = 1/4, M = 2, = 1, a =8D1(1 M)1logp 以及x = 32 34dnlogp. 因而有n,x,a= 0 和PflflflAn,1dn EX2IX2rnlogpflflfl 32 34rlogpn Cp4.高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Esseen 界109设vn=n(p 2log2n)1 EX2IX2

257、rnlogp 32 34rlogpn1/2.那么有vn 2nlogp. 注意到An,i,jAn.i.j, 因此Qn,i,jQn,i,j. 由命题4.4.4 可得supy2log2n8PknXk=1eXk,1,2k et1,2,knXk=1eXk,1,3k et1,3supy2log2n8PknXk=1eXk,1,2k t1,2,knXk=1eXk,1,3k t1,3 PknXk=1eXk,1,2k vn,knXk=1eXk,1,3k vn+ Cp4 Cp4+20.(4.36)此外利用命题4.4.1 可知对于2log2n y 2logn 有PknXk=1eXk,1,2k et1,2 PknXk=

258、1eXk,1,2k t1,2 PknXk=1eXk,1,2k qn(p+ y)(1 tn)+ Cp4 P2(d) p+ y| + C(logn)5/2p2n1/2+ Cp3.其中tn= Cplogn/n. 注意到PknXk=1eXk,1,2k et1,2 PknXk=1eXk,1,2k t1,2 2dnXi=1PknXk=1eXk,1,2k t1,2,(X(1)i,1)2rnlogp.对于y 2log2n, 在(4.39) 中令 = 192, q = 4, r = 2 + 2, = 12/5 以110及x = 2(1 2)nlogp 可使得PknXk=1eXk,1,2k t1,2,(X(1)i

259、,1)2rnlogp PknXk=1eXk,1,2k qn(p+ y)(1 tn),(X(1)i,1)2rnlogp+ Cp4 PknXk=1,6=i(eXk,1,2 EeXk,1,2)k 2(1 2)pnlogp,(X(1)i,1)2rnlogp+Cp4 Chp2(110)+ p4i P|X| n1/4(logp)1/4+ Cp4 Cp2(110)P(|X| n1/4(logp)1/4) + Cp4.对于2log2n y 2logn, 由命题4.4.1 可得PknXk=1eXk,1,2k t1,2 PknXk=1eXk,1,2k qn(p+ y)(1 + tn) Cp4 P2(d) p+ y

260、 C(logn)5/2p2n1/2 Cp3.合并上面的证明给出了sup2log2ny2logn|PknXk=1eXk,1,2k et1,2 P2(d) p+ y| C(logn)5/2p2n1/2+ Cp3+ Cnp2(110)P(|X| n1/4(logp)1/4).(4.37)最后, 由(4.35)-(4.37) 和命题4.5.5 我们完成了定理4.3.2 的证明.4.4.2 辅助结果的证明为了证明命题4.4.1-4.4.5, 我们需要一些预备引理. 第一个引理是向量值随机变量的Fuk-Nagaev 型不等式.引引引理理理4.4.2. 设i, 1 i n 是Rd中的独立随机向量, 满足Ei

261、= 0 和Ekik2 ,高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Esseen 界1111 i n. 记Sn=Pni=1i. 那么对于0 0, a 1以及任意x 0,Pmax1knkSkk x + 3EkSnk + 8axn,x,anXk=1P(kkk x) + Cn,x,ax2M+exp(1 M)x)22(1 + )n+ exp(1 M)a2D,(4.38)其中n= supPnk=1E(u,k)2: kuk 1, (,) 表示欧几里德内积, n,x,a=Pnk=1Ekkk2Ikkk x/a, D= 11(1 + 2/), M 是正常数满足M 2 和K 有max1knEkkkr K, 则对

262、任意q 2和0 1, 存在仅依赖与, q, K 的C1, C2使得对于任意x C2n 和0 x) + expx22(1 + )n+ C1nq.(4.39)证明. 记ei= iIkik x,eSn=nXi=1ei;i= iIkik x/a,Sn=nXi=1i;i= iIx/a x)112 P( max1knkSkk (1 M)x + Bn/2) +nXk=1P(kkk x)+P( max1knkSkk Mx + Bn/2).(4.40)因为对于1 k n 成立Ek= 0, 所以我们有max1knkESkk +32EkSn ESnk Bn/2.因而P( max1knkSkk (1 M)x + Bn

263、/2) P( max1knkSk ESkk (1 M)x +32EkSn ESnk) exp(1 M)x)22(1 + )n+ exp(1 M)a2D,(4.41)其中最后一个不等式利用了Einmahl 和Li (2008) 中的(3.4).现在我们估计P(max1knkSkk Mx+Bn/2). 由Hoeffding-Bennett 不等式可知P( max1knkSkk Mx + Bn/2) PnXk=1kik Mx + Bn/2 PnXk=1(kik Ekik) Mx3Pnk=1Ekkk2Ikkk x/aM2x2M.因而(4.38) 就被证明了.为了证明(4.39), 我们令a = max

264、(2Dq(1 M1)1logn,11+ 1), 其中1和是待定的正常数. 那么有exp(1 M1)a2D nq.注意到EkSnk CnK1/r. 因为n,y,a Kn(ay1)r2, 所以对于任意y n我们有ay1n,y,a Cn(3r)/2(logn)r1 C3n, y2n,y,a Cn1r/2ar2高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Esseen 界113Cn1r/2(logn)r2. 现在令M = (r 2)1(2q + r 2) 和0 q 以及M1 /8. 令C4= 81(3CK1/r+ 8C3).由(4.38)可知对任意y C4n,Pmax1knkSkk (1 + /8)

265、y Pmax1knkSkk y + 3EkSnk + 8ayn,y,anXk=1P(kkk 1y) + exp(1 /8)2y22(1 + )n+ C1nq,其中我们选取满足(1 /8)2(1 + )1(1 + /8)2 (1 + )1.记C2=(1 + /8)C4, = (1 + /8)11和x = y(1 + /8), 我们获得了(4.39). 下述关于独立随机变量和的中偏差将在我们的证明中起到重要的作用.引引引理理理4.4.3. 设i, 1 i n 是独立随机变量且满足Ei= 0. 记s2n=nXi=1E2i,n=nXi=1E|i|3,Sn=nXi=1i.假如对于1 i n 和某0 c

266、n 1 有|i| cnsn, 那么对于0 x 1/(18cn) 有P(Sn xsn) = e(x/sn)(1 (x)1 + n,x(1 + x)s3nn,(4.42)其中|n,x| 36, (x) 是Cram er-Petrov 级数(参考Petrov (1975) 满足|(x)| 2x3ns3n. 特别地对于0 x 1/(18c1/3n) 我们有P(Sn xsn) = (1 (x)1 + n,x(1 + x)3s3nn,(4.43)其中|n,x| 40.证明. 对于(4.42), 见Sakhanenko (1991) 的例1, 而(4.43) 可以由(4.42) 得到. 下面的引理虽然简单但

267、是有用, 它提供了独立和的中偏差结果.引引引理理理4.4.4. 设U1, U2, V1以及V2是独立随机变量. 假设存在0 c0 1 和x0使得对于任意0 x x0有P(|U1| x) = P(|V1| x)(1 + 1,x)(4.44)114以及P(|U2| x) = P(|V2| x)(1 + 2,x),(4.45)其中|1,x| c0, |2,x| c0. 那么对于0 x x0, 有P(U21+ U22 x2) = P(V21+ V22 x2)(1 + x)(4.46)其中|x| 3c0.证明. 观察到P(|U1| x) = 1 = P(|V1| x), x 0, 故而(4.44) 和(

268、4.46) 对于x 0 仍旧成立, 此时1,x= 0 = 2,x. 因此对于0 x x0有P(U21+ U22 x2)=EP(U21 x2 U22|U2)EP(V21 x2 U22|U2)(1 + 1,(x2U22)1/2)EP(V21 x2 U22|U2)(1 + c0)(1 + c0)P(U22 x2 V21)=EP(U22 x2 V21|V1)(1 + c0)EP(V22 x2 V21)(1 + c0)=(1 + c0)2P(V21+ V22 x2)(1 + 3c0)P(V21+ V22 x2).(4.47)同理可证P(U21+ U22 x2)(1 c0)P(U22 x2 V21)(1

269、c0)2P(V21+ V22 x2)(1 2c0)P(V21+ V22 x2).(4.48)结合(4.47) 与(4.48) 我们证明了(4.46). 注4.4.1. 容易看出引理4.4.4 对于m 个独立随机变量的平方和也成立.引引引理理理4.4.5. 如果条件(4.7) 满足, 那么E|X1,1|2+4/(1 + log|X1,1|)4+4 .(4.49)高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Esseen 界115证明. 容易看出(4.7) 意味着E|X1,1X1,2|2+4/(1 + log|X1,1X1,2|)4+4n(logn)4o.则有PknXk=1eXk,1,2k nyn

270、= PknXk=1eXk,1,2k nyn,A+ PknXk=1eXk,1,2k nyn,Ac PknXk=1eXk,1,2k nyn,A+ PknXk=1Xk,1,2k nyn.(4.50)首先我们证明PkPnk=1eXk,1,2k nyn,A很小, 也即sup2log2ny2lognPknXk=1eXk,1,2k nyn,A Cp3.(4.51)注意到对于2log2n y 2logn 有PknXk=1eXk,1,2k nyn,A dnXi=1PknXk=1eXk,1,2k nyn,|Y(1)i,1,2| n(logn)4 dnXi=1PknXk=1,k6=ieXk,1,2k 2(1 )pn

271、logp,|Y(1)i,1,2| n(logn)4= dnXi=1PknXk=1,k6=ieXk,1,2k 2(1 )pnlogpP|Y(1)i,1,2| n(logn)4,(4.52)116利用引理4.4.2 我们有PknXk=1,k6=ieXk,1,2k 2(1 )pnlogp PknXk=1,k6=iXk,1,2k 2(1 )pnlogp+ dnP|Y(1)1,1,2| d1/2pnlogp dnP|Y(1)1,1,2| d1/2pnlogp+ nPkX1,1,2k pnlogp+exp4(1 )2nlogp2(1 + )n+ Cnq CnP|Y(1)1,1,2| 0pnlogp+ ex

272、p2(1 )2nlogp(1 + )n+ Cnq,其中和0是某些正数, 是任意正数, q 是一个充分大的数, n= (n 1)supE(u,X1,1,2)2: kuk 1 = n 1. 对于2log2n y 2logn, 通过令充分小使得(1 )2(1 + )1 1 2, 我们有exp2(1 )2nlogp(1 + )n Cp2(12)21+ Cp2(12).利用Markov 不等式以及引理4.4.5 我们可知np2(12)P|Y(1)1,1,2| n(logn)4 Cp3和n2P|Y(1)1,1,2| 0pnlogpP|Y(1)1,1,2| n(logn)4 Cp3.这就证明了(4.51)

273、.现在我们来估计PkPnk=1Xk,1,2k nyn. 观察到PknXk=1Xk,1,2k nyn Pkb1/2nnXk=1(Xk,1,2 EXk,1,2)k b1/2n(nyn dnan) Pk(nbn)1/2nXk=1(Xk,1,2 EXk,1,2)k yn cn,(4.53)高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Esseen 界117其中an= EkX1,1,2kIkX1,1,2k n/(logn)4, bn= Var(Y(1)1,1,2) 以及cn= Cnan+ CplognE|Y(1)1,1,2|2I|Y(1)1,1,2| n/(logn)4 Cp2+,其中任意 0. 由引理

274、4.4.3, 对于0 x (logn)4/3/100 我们有P|b1/2nnXk=1(Y(1)k,1,2 EY(1)k,1,2)| nx= 2(1 (x)(1 + n,x(1 + x)3(nbn)3/2n),其中n,x 408 以及n= nE|Y(1)1,1,2|3. 因而利用引理4.4.4 (和注4.4.1) 我们可以得到对于0 x (logn)4/3/100,Pkb1/2nnXk=1(Xk,1,2 EXk,1,2)k2 nx2= P2(d) x2(1 + 0n,x(1 + x)3(nbn)3/2n),(4.54)其中0n,x 3d1320. 合并(4.53) 和(4.54) 使得对于2lo

275、g2n y 2logn 和某个0 C (不依赖于y) 有PknXk=1Xk,1,2k nyn P2(d) y2n+ cnyd1nexp(yn cn)2/2)+CP2(d) (yn cn)2(1 + yn)3(nbn)3/2n P2(d) p+ y+ Cp2n1/2(logn)5/2+C(p2cn(logn)3/2+ p2(logn)5/2n1/2E|Y(1)1,1,2|3) P2(d) p+ y+ C(p3+ p2(logn)5/2n1/2E|Y(1)1,1,2|3).类似地, 对于2log2n y 2logn 我们有PknXk=1Xk,1,2k nyn P2(d) p+ y C(p3+ p2

276、(logn)5/2n1/2E|Y(1)1,1,2|3).通过合并上面的不等式我们完成了命题4.4.1 的证明. 118命题4.4.2 的证明. 因为当x 时P2(d) x 21d/21(d/2)xd/21exp(x/2),(4.55)所以有supy2log2nexpp2 p2P(2(d) p+ y) Cn2.(4.56)注意到supy2log2nPeT2p,n np ny PeT2p,n np 2nlog2n, (4.57)命题4.4.1 与4.4.4 推出了PeT2p,n np 2nlog2n en+ Cp1+20,(4.58)其中n=p2 p2PknXk=1eXk,1,2k qnp 2nl

277、og2n.再次利用命题4.4.1 我们有n 2logn, 其中n 充分大. 最后由(4.56), (4.57)和(4.58) 可推出命题4.4.2. 命题4.4.2 的证明. 由(4.55) 可得supy2lognflflfl1 expp2 p2P(2(d) p+ y)flflfl Cn1.(4.59)又可利用命题4.4.1 得到supy2lognPeT2p,n np+ ny PeT2p,n np+ 2nlogn p2PknXk=1eXk,1,2k2 np+ 2nlogn C(logn)5/2n1/2E|XX0|3I|XX0| n/(logn)4 + Cp1+ Cn1.(4.60)最后从(4.

278、59) 和(4.60) 可推出命题4.4.3. 高维独立性的检验统计量的渐近分布与Berry-Esseen 界119命题4.4.4 的证明. 观察到PknXi=1eXi,1,2k vn,knXi=1eXi,1,3k vn PknXi=1(eXi,1,2 EeXi,1,2)k (1 )vn,knXi=1(eXi,1,3 EeXi,1,3)k (1 )vn PknXi=1(eXi,1,2 EeXi,1,2,eXi,1,3 EeXi,1,3)k2 2(1 )vn2 PknXi=1(eXi,1,2 EeXi,1,2,eXi,1,3 EeXi,1,3)k2 2(2 3)pnlogp2.(4.61)在(4

279、.39) 中令 = 192, q = 4, r = 2+2, = (r2)(32q+16r32)1= 12/5以及x =2(2 3)nlogp. 因为keXi,1,2k nlogp, 我们有Pk(eXi,1,2 EeXi,1,2,eXi,1,3 EeXi,1,3)k x= 0.(4.62)可以证明当n 时协方差矩阵(eX1,1,2 EeX1,1,2,eX1,1,3 EeX1,1,3) 的最大特征值趋于1. 因此对于0 0 m 0 : cn/cm (1 + )n/m,n m m.(5.2)设H(t) = supfB1Ef2(X)IkXk t,t 0,其中 B1是 B中的单位球, 并记0= sup

280、n 0 :Xn=1n1exp2c2n2nH(cn)= o.Einmahl 和Li (2008) 证明了如下定理.定理A.设X,X1,X2,. 是取值于可分Banach空间B中的独立同分布的零均值随机变量. 若Xn=1P(kXk cn) 1, 存在一个序列 nk 使得1 0:= liminfkcnk+1cnk limsupkcnk+1cnk .(5.3)同时我们假设nk+1 nk关于 k 始终非降.(5.4)那么, 由(5.1) 和(5.2) 我们可以推出 (5.3)和 (5.4), 其中nk= k1, 1 1 0.记Hn= supkfk1nXi=1Ef2(Xi)IkXik ci.那么, 我们可

281、以得到如下主要结果.定定定理理理5.1.1.设 Xn,n 1 是可分 Banach 空间 B 中的零均值独立随机变量.假设Xn=1P(kXnk cn) ,(5.5)独立随机变量的若干强极限定理123其中 cn满足 (5.3) 和 (5.4). 此外, 假设对某个p 2, 有Xn=1EkXnkpIkXnk cncpn ,(5.6)Pni=1EkXikIkXik cncn 0,(5.7)Sncn 0 依概率成立.(5.8)如果0() := supn :Xk=11nk+1 nknk+1Xn=nk+1exp2c2n2Hn= o 0 m 0 : cn/cm (1 + )(n/m)r,n m m.(5.1

282、1)那么, 我们可以在 (5.3) 中选取 nk= k1, 1 r1 . 我们可以得到如下推论.推推推论论论5.1.1.设 Xn,n 1 是 Banach空间 B 中的独立随机变量. 假设 cn是一列满足 (5.1) 和 (5.11) 的实数. 此外假设 (5.5) 到 (5.8) 成立. 如果0:= supn :Xn=11nexp2c2n2Hn= o ,(5.12)124则有limsupnkSnkcn= 0a.s.5.1.2 Hibert 型自回归过程经验协方差的重对数律作为主要结果的一个应用, 本节我们利用推论5.1.1 来证明Hibert 型自回归过程经验协方差的重对数律. 设 k,k

283、Z 是一列取值于可分 Hilbert 空间H (定义内积 h.,.i 和范数 k k) 的中心化的独立同分布随机变量, 并记 x y(x,y H) 为如下形式的从 H 到 H 的线性算子:x y : h H 7 hx,hiy.对每个 n Z , 令Xn=Xi=0i(ni),其中是从 H 到 H 的有界线性算子, 且满足Xi=0kikL ,kikL= supkhk1ki(h)k.(5.13)那么 Xn,n Z 是如下自回归方程Yn= (Yn1) + n的唯一平稳解.假设 Ek0k4/LL(k0k) , 以及对所有的 s F , 有E(hs,1iF)2 , 其中1= (Id R)1(X0) 1+

284、 1 (X0) + 1 1 E1 1,Menneteau (2005) 得到了经验协方差Cn=nXi=1Xi Xi的重对数律.独立随机变量的若干强极限定理125记 (F,k kF) 为 H 中的 Hilbert-Schmidt 算子空间, 其中 k kF是通过如下的数量积定义的: 对 H 中任意的完备正交系,hs,tiF=Xehs(e),t(e)i.记IdF为从F 到F 的单位算子, 定义线性算子 R : s F 7 s. 显然, F 可嵌入一个可分 Hilbert 空间结构 (定义内积 h.,.iF和范数 k kF).在这一节里, 我们将在 E(hs,1iF)2可能是无穷的条件下, 建立关于

285、 Cn的重对数律. 首先, 记 Hq, 0 q 1, 为所有连续, 非降且满足条件limth(tf(t)h(t)= 1,0 1 q,的缓变函数 h 的集合, 其中 f(t) = exp(Lt), 0 1. 同时记 (x) =pxh(x), 其中 h Hq且 x 0, an= (n), n 1, 定义截尾二阶矩函数 b(t) 为:b(t) = supkskF1Ehs,1i2Ik1kF t.(5.14)本节的主要结果如下.定定定理理理5.1.2.设 (i)iZ为一列中心化的独立同分布随机变量, 取值于 Hilbert空间 H. 假定 h Hq, 0 q 1, 且E1(k0k2) ,limsupx1

286、(xLLx)x2LLxb(x) =22.(5.15)那么, 有如下结论成立(1 q)1/2 limsupnkCnkFan a.s.(5.16)注5.1.2. 有关类似于 (5.15) 的条件, 读者可参阅 Einmahl 和 Li (2005,2008).证明. 为简单起见, 我们用 k k 表示 H 和 F 中的范数, 读者可以从上下文中区分它们的涵义. 由于 E1(k0k2) 0, 有126Ek0k4 . 记Zk= Xk Xk EXk Xk,k= (Id R)1(Xk1) k+ k (Xk1) + k k Ek k,Un=Pnk=1k,Xk1,m=Pm2l=0lk1l,k,m= (Id R

287、)1(Xk1,m) k+ k (Xk1,m) + k k Ek k,Un,m=Pnk=1k,m,wn,m= Un Un,m+ 2(Z0 Zn).则对每个 m, k,mk1是一列 m 相依随机变量. 根据Menneteau (2005) 中的引理 6, 我们可知Cn=nXk=1k,m+ wn,m.(5.17)在证明的过程中, 我们首先处理wn,m. 利用类似于Menneteau (2005) 中(16)的证明, 在 Ek0k3 0, 有Xn=1PkXi=n+1i(ni)k an .(5.18)同时, 利用 (5.15), 有 max1inkik = o(an) a.s. 因此,kPni=0i(n

288、i)k =o(an) a.s., 结合 (5.18) 可以推出 kXnk = o(an) a.s. 通过上面的证明, 我们得到limsupmlimsupnkwn,mkan= 0a.s.(5.19)接下来我们来估计 (5.17) 中的Pnk=1k,m. 如果能证明(1 q)1/2 limsupnkPnk=1k,mkan a.s.(5.20)独立随机变量的若干强极限定理127成立, 那么定理5.1.2 就自然成立了.下面我们来证明 (5.20).设 n0= 0,nk=Pkj=0j. 对于 nk1 i nk, 记0i,m= i,mIki,mk ank Ei,mIki,mk ank,U0n,m=nXi

289、=10i,m以及k=nkXi=nk1+m0i,m.易知Pi=1Pki,mk ai 以及Pni=1Ek1,mkIk1,mk aian 0.所以为了证明 (5.20), 只要证明如下式子成立:(1 q)1/2 limmlimsupnkPnk=10k,mkan a.s.首先, 我们证明(1 q)1/2 limmlimsupkkPki=1ikank a.s.(5.21)由于 i,i 1 是一列独立的B 值随机变量, 我们可以利用定理5.1.1 来证明(5.21), 因此我们须要验证定理5.1.1 中的条件. 由于 k,m,k 1 是 m 相依的,那么根据 Rosenthal 型不等式, 即有Xk=1E

290、kkk3a3nkCXk=1(nk nk1)Ek0nk,mk2)3/2a3nk+ CXk=1nkXi=nk1+1Ek0i,mk3a3i=: I1+ I2.根据 Einmahl 和 Li (2005) 的引理 1, I2是有限的, 另一方面, 我们可知I1 CXk=1(ka2nk/nk)3/2a3nk CXk=11k3/2 0, 有Pk=1P(kkk ank) 0, 存在 m0 0, 当 m m0时, 有Xk=11kexp( + )2a2nksupksk1Pki=1Ehs,ii2 0, 有limmlimsupn1(anLLn)a2nLLnsupksk1Ehs,1,mi2Ik1,mk an =22.

291、(5.24)由 1的正则变化性质,limmlimsupx1(xLLx)x2LLxEhs,1,mi2Ik1,mk x =22.(5.25)然后由 (5.25), 我们可以获得limmlimsupnnLLna2nsupksk1Ehs,1,mi2Ik1,mk an/LLn =22.(5.26)注意到对于任何 a,x,y, 0,expax + y expa(1 + )x+ expa(1 + 1)y.(5.27)因此, 为了证明 (5.22), 只要说明对于任何 0 以及 m m0,Xk=11kexph(nk)supksk1Ehs,1,mi2Iank/LLnk k1,mk ank . (5.28)我们将

292、证明之. 由 (5.26), 我们有supm1supksk1Ehs,1,mi2Ik1,mk ank Ch(nk(LLnk)2)LLnk.独立随机变量的若干强极限定理129并且由缓变函数的性质, 我们有 h(nk)/h(nk(LLnk)2) C(LLnk)1/2. 因此,Xk=11kexph(nk)supksk1Ehs,1,mi2Iank/LLnk k1,mk ank CXk=1nkkEk0nk,mk3a3nkLLnkexph(nk)2supksk1Ehs,1,mi2Iank/LLnk k1,mk ank CXk=1nkkEk0nk,mk3a3nkLLnkexp (LLnk)1/2 CXk=1n

293、kkEk0nk,mk3a3nk 0,limsupn1(anLLn)a2nLLnb(an) =22.(5.29)记um=Xl=m1l+1(l) 1+ 1Xl=m1l+1(l).我们有Ehs,1,mi2Ik1,mk an Ca2nP(kumk an/2) + Ehs,1,mi2Ik1k 3an/2.自从 Ekumk2 0和 m m0,有Xk=11kexp(1 q)1/2 )2a2nksupksk1Pki=1Ehs,ii2Ikik ani= .(5.30)首先, 来验证对于任何 0 和 m m0,Xk=11kexpa2nksupksk1Pki=1Ehs,ii2Ikik ani 0以及 m m0,Xk

294、=11kexp(1 q)1/2 )2a2nksupksk1Pki=1Ehs,ii2= .(5.32)令整数 M 满足 M 102. 由 (5.22) 可以推出Xk=11kexpa2nk2supksk1Pk/Mi=1Ehs,ii2Ikik ani 0,Xk=11kexpa2nkPki=k/M+1Ekik2Ikik ani CXk=11kPki=k/MEkik2Ikik ania2nk CXk=11kPki=k/MEkik4a4nk CXk=11kk3(Ek0nk,mk2)2a4nk+ CXk=11knkEk0nk,mk4a4nk.上面最后一个不等式中的第一项是有限的, 这是因为Xk=11kk3(

295、Ek0nk,mk2)2a4nk CXk=11kk3(a2nk/nk)2a4nk CXk=11k2 .另一方面, 条件 (5.15) 和 Einmahl 和 Li (2005) 中的引理 1 可推出Xk=11knkEk0nk,mk4a4nk 0,Xk=11kPmax0jkkjXi=00nk1+im,mk ank .(5.34)毫无疑问, 由 Ottaviani 不等式, Einmahl 和 Li (2008) 中的定理3.1, 以及(5.33),我们可以推出(5.34)成立. 5.1.3 主要结果的证明下面的引理将在定理5.1.1 的证明中用到.引引引理理理5.1.1. 在定理5.1.1 的条件

296、下, 我们有, 当n 时,Pni=1EkXikIkXik cicn 0.证明. 由于Pni=1EkXikIci kXik cncnPMi=1EkXikIci kXik cncn+Xi=M+1P(kXik ci),其中 M 是一个正整数, 再根据 (5.7), 只要令 n 以及 M ,即可推出引理. 独立随机变量的若干强极限定理133定理5.1.1 的证明. 首先我们来证limsupnkSnkcn 40a.s.(5.35)令dn=supfB1Pnk+1i=1f2(Xi)IkXik cicnk,nk+ 1 n nk+1,X0i= XiI|Xi| di EXiI|Xi| di,X00i= XiIdi

297、 |Xi| ci EXiIdi 0, 存在 0 0 使得对于任何 0 0,limsupkkPnk+1i=nk+1X00ikcnk= 0 a.s.(5.38)由 Einmahl 和 Li (2008) 中的(3.4) 式, Ottaviani 不等式和 (5.36), 我们可以证明, 对于每个 0 以及某个 0 (依赖于 ),Xk=1Pmaxnk+1nnk+1knXi=1X0ik (40+ 3)cnk134 CXk=11nk+2 nk+1nk+2Xn=nk+1+1PknXi=1X0ik (40+ 2)cnk CXk=11nk+2 nk+1nk+2Xn=nk+1+1exp(40+ )2c2nk2s

298、upfB1Pni=1Ef2(Xi)IkXik ci+CXk=11nk+2 nk+1nk+1Xn=nk+1+1expcnkdn.根据 (5.3) 以及 (5.9), 上面最后一个不等式右边的第一项是有限的. 根据 (5.9)并且令充分小, 可知第二项也是有限的. 因此, 由 Borel-Cantelli 引理, 得证(5.37).为了证明 (5.38), 我们需要 Einmahl 和 Li (2008) 中的定理3.1 以及本节的(5.36). 对于任何 p 2, 有Xk=1Pknk+1Xi=nk+1X00ik cnk CXk=1exp2c2nk4supfB1Pnk+1i=nk+1Ef2(Xi

299、)Idi kXik ci+Xk=1nk+1Xn=nk+1E|X00n|pcpnk=: II1+ II2.从(5.6) 可以看出 II2 .并且由不等式 exp(x) Cx1exp(x/2) 和xp2exp(Cx) 0, 我们有II1CXk=1supfB1Pnk+1i=nk+1Ef2(Xi)Idi kXik cic2nkexp2c2nk8supfB1Pnk+1i=nk+1Ef2(Xi)Idi kXik ciCXk=1Pnk+1i=nk+1EkXikpIdi kXik cicpnk2c2nksupkfk1Pnk+1i=1Ef2(Xi)Idi kXik cip2exp2c2nk8supfB1Pnk+

300、1i=nk+1Ef2(Xi)Idi kXik ci独立随机变量的若干强极限定理135CXk=1Pnk+1i=nk+1EkXikpIkXik cicpnk 0, 我们可以选取整数 s 使得limsupkkS0nkskcnk a.s.(5.39)因此, 为了证明定理5.1.1 中的下界, 我们要证对于任意的 0(), 存在一个充分大的 s 以及 0 0使得limsupkmaxnknnk+1kS0n S0nkskcn a.s.注意到nmaxnknnk+1kS0n S0nkskcnok1是一列 s 相依随机变量. 由广义 Borel-Cantelli 引理, 我们只要证明II3:=Xk=1Pmaxnk

301、nnk+1kS0n S0nkskcn = , 0,Pf(S0n S0nks)cn exp( + )2c2nPni=nksEf2(X0i)C1expCcnkcnks supfB1Pnk+1i=1Ef2(Xi)IkXik ci=:II4 II5.136由于可以使得任意小, 通过(5.9) 可证Pk=1II5 . 因此, 我们只要证明Xk=11nk+1 nknk+1Xn=nk+1exp( + )2c2nsupfB1Pni=nksEf2(X0i)= , 0, 有Xk=11nk+1 nknk+1Xn=nk+1expc2nsupkfk1Pni=nks(Ef(Xi)IkXik di)2 .(5.41)我们

302、现在来证明(5.41). 根据不等式 (x + y)2 2(x2+ y2), 可得supkfk1nk+1Xi=nks(Ef(Xi)IkXik di)2 2 supkfk1nk+1Xi=nksEf2(Xi)Idi kXik ci+2 supkfk1nk+1Xi=nks(Ef(Xi)IkXik ci)2.(5.42)利用和 II1 0,Xk=11nk+1 nknk+1Xn=nk+1expc2nsupkfk1Pni=nksEf2(Xi)Idi kXik ci 1, q 充分大, 从而有Xk=1expc2nksupkfk1Pnk+1i=nks(Ef(Xi)IkXik ci)2Xk=1Pnk+1i=nk

303、sEkXikq+1IkXik cicq+1nk CXi=1EkXikq+1IkXik cicq+1i 0, 并且注意到(5.41), 为了证明(5.40), 只要证对于任何 0, 存在一个充分大的 s 使得Xk=11nk+1 nknk+1Xn=nk+1expc2nsupkfk1Pnksi=1Ef2(Xi)IkXik ci CXk=1exp02sc2ks+1supkfk1Pnksi=1Ef2(Xi)IkXik ci 0 : c(t) x,(x) = (B(x)/F(x)1/2, (x) = inv(x). 对于n Nd, 我们定义cn= c(|n|),h(n) = h(|n|) 等.这一节我们将

304、证明一些多指标部分和的强极限定理. 在给出主要结果之前,我们先介绍一些已有的工作. 设X,Xn;n 1 是一列实值独立同分布(i.i.d.)的随机变量, 并令Sn=Pni=1Xi, n 1. 由经典的Hartman-Wintner 重对数律可138知limsupnSn2nLLn= a.s.当且仅当EX = 0 和2= EX2 . 自从Feller (1968) 的工作以来, 人们存在着极大的兴趣来推广Hartman-Wintner 重对数律至无穷方差的情形. 为了引用先前关于实值随机变量的双边重对数律的工作, 我们首先回顾一些Klass (1976) 介绍的记号. 设X 满足0 E|X| t,

305、 t 0.容易看出G(t) := t2/(H(t) + tM(t), t 0是连续递增的函数, K 是它的反函数. 对于函数K 我们有, 当x % 时,K(x)/x % (EX2)1/20,(5.46)和K(x)/x & 0.(5.47)记n=2K(n/LLn)LLn. Klass (1976, 1977) 所建立的一个单边的结果可推出如下双边重对数律: 若EX = 0, 则limsupn|Sn|/n= 1a.s.(5.48)当且仅当Xn=1P(|X| n) .(5.49)但是对于我们来说确定n 是一件十分困难的事, 并且(5.49) 有可能不成立.因而Einmahl 和Li (2005) 提

306、出了如下重对数律问题.PROBLEM 1给定一个序列an=pnh(n), 其中h 是一个缓变非降的函数, 我们要问: 什么时候有0 limsupn|Sn|/an a.s.?独立随机变量的若干强极限定理139PROBLEM 2考虑非降序列cn满足0 liminfncn/n . 什么时候成立0 limsupn|Sn|/cn a.s.? 如果成立, 那么C(Sn/cn;n 1) 的聚点集是什么?Einmahl 和Li (2005) 的定理1 和定理3 解决了上述问题.现在设X,Xn,n Nd 是i.i.d. 随机变量且d 2. 我们有兴趣知道若期望有限而方差无穷时, Sn=PknXk(d 2) 是否

307、存在着一些双边重对数律. 例如, 当d 2 时双边的Klass LIL 对于Sn是否仍旧成立? 本节的一个主要结果回答了这一问题.定定定理理理5.2.1. 设d 2, EX = 0. 我们有limsupn|Sn|n=( a.s.若EX2(log|X|)d1/log2|X| = d a.s.若EX2(log|X|)d1/log2|X| .注5.2.1.这里以及下面, n表示|n|. 由定理5.2.1, 我们知对于d 2,limsupn|Sn|/n=d a.s.当且仅当EX = 0,EX2(log|X|)d1/log2|X| 0, m 0:cn/cm (1 + )(n/m),n m m.(5.51

308、)定定定理理理5.2.2. 设d 2 且cn=pnh(n) 满足(5.50) 与(5.51). 另外假设h(n) 满足当n 时LLnh(n)max1inh(i)(Li)d1= o(1).(5.52)140那么下述结论等价:(1). 我们有EX = 0,Xn=1(Ln)d1P|X| pnh(n) ;(5.53)(2). 我们有limsupn|Sn|p|n|h(n) 1, h(x) = (Lx)r, r 0 或者h(x) =exp(Lx), 0 0, 有g(xy) K(g)(g(x) + g(y), x,y 0, 且当x 充分大时x/g(x) 是非降的. 如果g Q 以及d 2, Li (1990

309、) 证明了若g(x) % , 则limsupn|Sn|/p|n|g(|n|)L2|n| a.s.当且仅当EX = 0, EX2(L|X|)d1/(g(|X|)L2|X|) .独立随机变量的若干强极限定理141注5.2.3. 由定理5.2.1 可以看出当方差无穷且d 2 时Klass 重对数律不成立. 因而比较有兴趣的是找出其他正则常数来代替n. 这似乎是一个非常困难的问题. 同时由定理5.2.2 我们可以知道当d 2 时部分和的许多双边重对数律不再成立. 这是由于(5.53) 通常隐含了0= 0, 其中0定义于下面的定理5.2.4. 当然, 当d 2 时有可能存在方差无穷的随机变量X, 和正则

310、序列pnh(n) 使得条件(5.53) 成立并且也有0 0 . 然而如何找出它们同样是一个困难的问题.我们将给出如下定理, 它回答了d 2 时的PROBLEM 1.定定定理理理5.2.3. 设d 2. 假设h(x) 是非降的缓变函数. 则我们有0 limsupn|Sn|/p|n|h(n) a.s.(5.56)当且仅当(5.53) 成立并且0 := limsupx1(xLLx)x2LLxH(x) |n|, 则令X(r)n= 0. 设截断和Sn=PknXk,(r)Sn= Sn (X(1)n+ + X(r)n) (= 0 若r |n|).(0)Sn就是Sn. 设L(d)q是所有满足如下条件的随机变量

311、X 的空间:J(d)q:=Z0(Lt)d1(tP|X| tqdtt 0. 那么我们有limsupn|(r)Sn Cn|/cn= 0a.s.(5.58)注5.2.5 ( Feller 和Pruitt 的例子). 设X,Xn,n Nd (d 2) 是i.i.d. 随机变量,其分布具有对称的概率密度f(x) =1|x|3I|x| 1.我们有H(x) = logx, x 1. 选取cn=nLnLLn. 容易验证当r (d 1)时B(|X|) L(d)r+1, 且当n 时有2n 21Ln. 更进一步, 由下面的引理5.2.2,我们有Cn= o(cn). 因此如果r (d 1), 那么成立limsupn|

312、(r)Sn|/p|n|(Ln)LLn =d a.s.注5.2.6.我们继续考虑Feller 和Pruitt 的例子.设X,Xn,n Nd (d 2)定义于注5.2.5.是否存在序列cn=pnh(n) 满足(5.50) 和(5.51) 使得0 limsupn|Sn|/cn a.s. ? 回答是否定的. 我们将证明对于任意序列cn=pnh(n) 满足(5.50) 和(5.51), limsupn|Sn|/cn a.s. 可推出limsupn|Sn|/cn=0 a.s. 为了证明这一推断, 我们应该注意到limsupn|Sn|/cn a.s. 暗示了PnNdP(|X| cn) .因此Pn=1(Ln)

313、d1P(|X| cn) 1, 我们有Pn=1(Ln)d1/(nh(n) .这就说明Pi=1id1/h(2i) ctr+1dtt 0).独立随机变量的若干强极限定理143如果B(|X|) Ldr+1, 则对于k 2 + 2r 以及任意 0 有Z0(Lt)d1tk1Fk(t)dt 4 + 4r),Z0x1(Lt)d1(x)c(x)Qdx 0 和 2 有E|X|I(n) |X| cn = o(cn/n),(5.59)E|X|I|X| cn = o(cn/n).(5.60)如果B(|X|) Ldr+1以及cn/cm C(n/m), n m, 其中 = (1 + r)1 (某个0 1), 则有E|X|I

314、|X| (n) = o(cn/n).(5.61)证明. 我们先证明(5.61). 若r = 0,则有 = 1. 因而c1nnE|X|I|X| (n) nF(n) + c1nnE|X|I|X| cn nF(n) + c1nnXj=ncjP(cj1 |X| cj) nF(n) +Xj=njP(cj1 0, 则有 1 以及c1nnE|X|I|X| (n) c1nnXj=ncjP(j 1) |X| (j) CnXj=njnP(j 1) |X| (j) CnF(n 1) + Cn1Xj=nj1F(j)=: J1+ J2.由引理5.2.1 我们可推出J1 0. 又J2 Cn1Xj=nj2jF(j) = o

315、(1)n1Xj=nj2= o(1).因而(5.61) 就被证明了.(5.59) 的证明十分容易, 略之. 现在我们证明(5.60). 由(5.50),cnnE|X|I|X| cn cnnnXj=1cnP(cj1 |X| cj) CnnXj=1n/2j/2P(cj1 0. 设0定义于定理5.2.4 以及B(|X|) Ldr+1. 那么有0= 00.证明. 由引理5.2.1 可知(n)/cn 0. 令n= EX2I(n) 0, 我们有exp2c2n2n2n exp2c2n2n(1 + )e2n+ exp2c2n2n(1 + 1)n. (5.62)为了证明(5.62), 我们可以假设n 2n(1 +

316、 1)1, 否则(5.62) 自然成立. 但是因为n 2n(1 + 1)1意味着e2n(1 + ) 2n, 我们可以看出(5.62) 总是对的.利用引理5.2.1 和基本不等式exp(x) CxQ, Q 0 我们有Xn=1n1(Ln)d1exp2c2n2n(1 + 1)n CXn=1n1(Ln)d1nnc2nQ CXn=1n1(Ln)d1nF(n)Q 0. 假设B(|X|) Ldr+1, 则成立Xj=1jd1exp2c2nj2nje2nj(= 若 0 0.证明. 设 0,|Xi| M, 1 i m. 如果概率空间(,P) 足够大, 我们就能够定义独立正态零均值的随机变量V1,.,Vm满足Var

318、i|S1,m(i) Cm| (0+ 3)ci=: I1+ I2+ I3.独立随机变量的若干强极限定理147又I1XiNdP|X(r+1)i| ciXiNd|i|F(ci)r+1CXj=1jd1jF(cj)r+1 CXj=1j1(Lj)d1jF(cj)r+1 ,I2XiNdP|Xk| (i);k i 2r + 3 CXiNd|i|F(i)2r+3CXj=1jd1jF(j)2r+3 CXj=1j1(Lj)d1jF(j)2r+3 .利用引理5.2.2 我们得到, 依概率地, (S1,i(i) Ci)/ci 0. 因而通过L evy 不等式(如Li 和Tomkins (1998) 引理2 和注6) 以

320、jd1exp(0+ )2c2j2jH(j) .然后通过Borel-Cantelli 引理, 可得limsupimaxmi|(r)Sm Cm|ci 0a.s.148一个标准的证明以及(5.51) 使得limsupn|(r)Sn Cn|cn 0a.s.因此我们只要证明limsupn|(r)Sn Cn|/cn 0a.s.(5.64)情况1: 0 0, 存在0 0使得当 0时,limsupi(r)Si Cici 0 a.s.(5.65)若我们证明了对任意 0 以及充分大的有limsupiS1,i(i) Cici 0 a.s.(5.66)那么由I1 和I2 0. 令Ni= n : i-1 n i, N

321、ci= n : n i Ni以及S3(i) =XkNiXkI|Xk| (i),S4(i) =XkNciXkI|Xk| (i).注意到0 . 与I3 0 和足够大的,XiNdPflflflS3(i) ES3(i)ciflflfl 0 = .由引理5.2.5 并注意到I32 0 和足够大的,XiNdPflflflT3(i)ciflflfl 0 = ,(5.67)独立随机变量的若干强极限定理149其中T3(i) =PkNiYk, Yk,k Ni 是i.i.d.零均值正态随机变量, 方差是VarXI|X| (i), i Nd. 也就是说, 我们只要验证XiNdPflflflH0(i)Nciflflfl

322、 0 = ,其中H0(i) |i|(1 1)dVarXI|X| (i)1/2表示T3(i) 的方差的开根号, N 表示标准正态随机变量. 注意到当n 时,nEX2I|X| cnc2n= o(1),我们可以得到, 对于足够大的|i|,PflflflH0(i)Nciflflfl 0 C exp(0 /2)2c2i2|i|H(i).由引理5.2.4,XiNdPflflflH0(i)Nciflflfl 0 CXiNdexp(0 /2)2c2i2|i|H(i) CXj=1jd1exp(0 /2)2c2j2jH(j)= ,这就说明了(5.67) 成立, 从而证明了(5.64).情况2: 0= . 显然地,

323、只要验证limsupiS1,i(i) Cici= a.s.(5.68)我们首先假设limsupiS4(i) ES4(i)ci 10有XiNdPS3(i) ES3(i) ci= .(5.69)150与上面一样, 我们只要证明对于任意 10 有XiNdPT3(i) ci= .记N0= i :ciH0(i) 1, Nc0= i :ciH0(i) 1.如果Card Nc0= , 我们有XiNc0PT3(i) ci=XiNc0PN ciH0(i)XiNc0PN = .所以(5.69) 成立. 因此我们可以假设Card Nc0 . 由正态分布的尾概率估计可得P(N x) Cx1expx22 C exp(

324、x2),x 10.又由引理5.2.3, 引理5.2.4 以及Card Nc0 可得0= ,XiNdPN ciH0(i)XiN0PN ciH0(i)XiN0expciH0(i)2 CXj=1jd1expcjH0(j)2= ,这就导出了(5.69). 因此我们有(5.68).我们还需要证明当limsupiS4(i) ES4(i)ci= a.s.(5.70)时(5.68) 成立. 利用(5.59), 我们有limsupiS4(i) Ci-1ci= a.s.(5.71)因而若我们能够证明limiPkNciXkI(i-1) |Xk| (i)ci= 0a.s.(5.72)独立随机变量的若干强极限定理151

325、则结合(5.71), (5.68) 就被证明了.现在我们证明(5.72). 与上面一样(利用(5.59) 和引理5.2.5), 只要验证I :=XiNdexpc2i|i|EX2I(i-1) |X| (i) 0 都成立.而上式可由引理5.2.1 和下式推出: 对于足够大的Q 有ICXiNd|i|EX2I(i-1) |X| (i)c2iQCXiNd|i|F(i-1)Q .定理5.2.4 的证明就被完成了. 5.2.3 主要结果的证明因为定理5.2.1 的证明依赖于定理5.2.2, 所以我们首先来证明定理5.2.2.定理5.2.2 的证明. (3)(2) 的证明是显然的. 从(5.51), 我们可以

326、看出cn Cn.因而由大数律和Borel-Cantelli 引理容易得到(2)(1). 现在我们将证明(1)(3). 回顾Cn= nEXI|X| cn. 由引理5.2.2 可知Cn= o(cn). 利用定理5.2.4我们只需说明0= 0, 而这将由下式得出: 当j 时LLjh(j)EX2I|X| pjh(j) = o(1).(5.73)现在我们开始证明(5.73). 由(5.53) 可得Xj=1j(Lj)d1Pcj1 |X| cj 0 使得nXk=1miniki(Li)d1c2ic2kPck1 |X| ck C.也就是说EX2I|X| cn C maxjnh(j)(Lj)d1,152这结合(5

327、.52) 推出了(5.73). 我们已完成了证明. 定理5.2.1 的证明.如果EX2(log|X|)d1/log2|X| , 则成立2= EX2 (因为d 2).我们有K(n/LLn)LLn nLLn.所以由经典的重对数律(如Wichura (1973) 我们可以得到limsupn|Sn|/n=d a.s.现在我们假设EX2(log|X|)d1/log2|X| = . 若limsupn|Sn|/n a.s. 且EX2 , 则limsupn|Sn|/p|n|LLn a.s., 由Kolmogorov 0-1 律和Borel-Cantelli 引理可知EX2(log|X|)d1/log2|X|

328、. 利用矛盾, 我们必须有limsupn|Sn|/n= a.s. 或者EX2= . 下面我们证明由EX2= 可推出limsupn|Sn|/n= a.s.(5.74)如果(5.74) 不成立, 那么由Kolmogorov 0-1 律可知limsupn|Sn|/n=: C a.s. 因而Xn=1(Ln)d1P(|X| n) .(5.75)利用引理5.2.2 我们可得nE|X|I|X| n = o(n), nEX2I|X| n = o(2n).(5.76)显然n满足条件(5.50) 和(5.51). 进一步地, 若EX2= , 则我们有LLn/h(n) &0, 其中h(n) := 2K2(n/LLn

329、)(LLn)2/n. 所以利用定理5.2.2 以及注5.2.2 可得limsupn|Sn|/n= 0 a.s.(5.77)下面我们证明在条件(5.75) 下能够得到limsupn|Sn|/nd a.s.由定理5.2.4, 只要证明对于任意 0 成立H(n) (12 )2nnLLn,(5.79)独立随机变量的若干强极限定理153那么(5.78) 就成立. 现在我们证明(5.79). 由(5.76) 和K-函数的定义,H(n)H(K(n/LLn) + K(n/LLn)E|X|IK(n/LLn) n(12 )2nnLLn.因而(5.79) 成立, 进而推出limsupn|Sn|/nd a.s. 但这

330、与(5.77) 相矛盾.所以我们有(5.74). 我们完成了定理5.2.1 的证明. 定理5.2.3 的证明. 注意到由大数律和Borel-Cantelli 引理可知(5.56) 推出(5.53).因而为了证明定理, 只要证明在条件(5.53) 下有C1/2 limsupn|Sn|p|n|h(n) (2d)1/2a.s.(5.80)其中某个C 0.我们现在来证明上界. 显然我们可以假设 . 我们将证明在条件(5.53)与下,A :=Xn=1n1(Ln)d1expc2nnn 0,(5.81)其中n= EX2Icn/LLn |X| cn, cn=pnh(n).显然地, 当 0,ACXn=1n1(

331、Ln)d1nnc2nexpc2n2nnCXn=1(Ln)d1E|X|3I|X| cnc3nLLnexpc2n2nnCXn=1(Ln)d1E|X|3I|X| cnc3nLLnexpCh(n)LLnh(n(LLn)2)CXn=1(Ln)d1E|X|3I|X| cnc3n154CXn=1(Ln)d1nXk=1c3kc3nP(ck1 |X| ck)CXk=1P(ck1 |X| ck)Xn=kk3/2n3/2(Ln)d1CXk=1k(Lk)d1P(ck1 |X| ck) 0 和足够大的n 有H(cn/LLn) ( + )h(n)/LLn, 所以当 (2d + )1/2时, 对于任意 0 有Xn=1n1(

332、Ln)d1exp2c2n2nH(cn/LLn) 0,expax + y expa(1 + )x+ expa(1 + 1)y,并结合(5.81), 我们知当 (2d + )1/2时成立Xn=1n1(Ln)d1exp2c2n2nH(cn) 0. 由定理5.2.4, 只要验证存在正数C1使得Xn=1n1(Ln)d1exp2h(n)H(cn)= 对于任意 (C1)1/2成立. (5.82)我们将利用与Einmal 和Li (2005) 中类似的证明. 我们可以找到子列mk% 使得H(cmk) (1 1k)h(mk)LLmk, h(mk) (1 1k)h(2mk),k 1.因而H(cn) (1 1k)2

333、h(n)LLn,mk n nk:= 2mk,独立随机变量的若干强极限定理155这转而证明了对于 ()1/2和0 1/2,nkXn=mk(Ln)d1nexp2h(n)H(cn) d1h(Lnk)d (Lmk)di(Lnk)2/(11/k)2 C(Lmk)d12 .因此对于任意0 C1 1/2, (5.82)成立. 我们完成了定理5.2.3 的证明. 5.3完完完全全全收收收敛敛敛性性性的的的一一一个个个补补补充充充5.3.1 引言和主要结果设X,Xi, i = 1,2,. 是一列独立同分布随机变量, 记Sn=Pni=1Xi. Hsu和Robbins (1947) 引入了完全收敛性的概念. Erd

334、 os (1949,1950) 证明了Xk=1P(|Sk| k) EX2 1,Xk=1kp2P(|Sk| k) E|X|p 1. 对于任意固定的且满足0 r 0,E|Sn|rI|Sn| n = o?E|X|pI|X| nnp1r;(5). 我们有EX = 0, 且对于任意 0,P(|Sn| n) = o?E|X|pI|X| nnp1;(6). 当x 时, E|X|pI|X| x 是缓变的, 且EX = 0.注5.3.1. 定理5.3.1 证明了若f(n) 是缓变的,并且f() = , 那么我们有P(|Sn| n) =E|X|pI|X| nnp1n,其中n 0. 由Kronecker 引理和(5

335、.90) 知Pn=1nn= .5.3.1 定理的证明首先我们证明一个引理, 它在定理5.3.1 的证明中将被用到.引引引理理理5.3.1.设p 1. 对于任意固定的且满足0 r x)E|X|pI|X| x 0;3. 当x 时我们有xprE|X|rI|X| xE|X|pI|X| x 0.证明. 因为容易验证3 2 1, 所以我们只证明1 3. 记A = limsupxxprE|X|rI|X| xE|X|pI|X| x.独立随机变量的若干强极限定理157易知A 存在且有限. 因为E|X|pI|X| x 是缓变的, 我们有xprE|X|rI|X| x) xprE|X|rI|X| 2xE|X|pI|X

336、| x 0.因而,limsupx?xprE|X|rI|X| x)E|X|pI|X| x12prr0(2x)prE|X|rI|X| 2xE|X|pI|X| 2x 0,其中0 r0 x)E|X|pI|X| x12prr0limsupx(2x)prE|X|rI|X| 2xE|X|pI|X| 2x 0,这就推出了A 12prr0A 0. 因此A = 0.定理5.3.1 的证明. 我们通过(2) (1) (6) (4) (2) 来证明该定理.令r = 0. 容易看出(3) (6) (5).(2) (1). 令c N, c 1. 因为存在m N 使得2m c,1 g(cn)g(n)g(2mn)g(n)=g

337、(2mn)g(2m1n)g(2m1n)g(2m2n) g(2n)g(n) 1.(1) (6). 对于0 p 1, 由缓变函数的性质以及Abel 变换,Xn=11n1P(|Sn| n)=Xn=1f(n) f(n 1)np1=Xn=2?1(n 1)p11np1f(n 1)CXn=1f(n)np CXn=1g(n)np .因而由Baum 和Katz (1965) 的定理3 得EX = 0,E|X|1+ .(5.83)注意到kpr2E|Sk|rI|Sk| k= kp2P(|Sk| k) + kp2Z0r(x + 1)r1P(|Sk| (x + 1)k)dx. (5.84)158因为EX = 0, E|

338、X| , 所以对于足够大的n 我们有E|X|I|X| n n) + npZ0r(x + 1)r1P(|X| (x + 1)n)dx+Xm=1mp2P(|S0m| m2) +Z0r(x + 1)r1Xm=1mp2P(|S0m| (x + 1)m2)dxnpP(|X| n) + nprE|X|rI|X| n+CE|X|pI|X| n + (E|X|I|X| n)p11+CZ0r(x + 1)r1nE|X|pI|X| (x + 1)n(x + 1)p+(E|X|I|X| (x + 1)n)p11(x + 1)(p1)1odx2nprE|X|rI|X| n + CE|X|pI|X| n+Crp rE|

339、X|pI|X| n + Crp rnprE|X|rI|X| n + C,(5.85)其中1 2 p, (r + 1 p) r. 上面第三个不等式由 Chow 和 Lai (1975)独立随机变量的若干强极限定理159的定理1 得到, 第四个不等式来自于Z0r(x + 1)r1E|X|pI|X| (x + 1)n(x + 1)pdx= E|X|pZ0r(x + 1)r1pI1 n + Crp rE|X|pI|X| n(5.86)和Z0r(x + 1)r1(E|X|I|X| (x + 1)n)p11(x + 1)(p1)1dx CZ0r(x + 1)r1(p1)1dx C.(由(5.83) 可得E

340、|X| 1 当n n0时有2P(|Sn| Cn)P( max1kn|Sk| 2Cn) P( max1kn|Xk| 4Cn)nP(|X| 4Cn) n2P2(|X| 4Cn)12nP(|X| 4Cn),(5.87)其中任意C 1. 因而4(g(2n) g(n)= 42nXk=n+1kp2P(|Sk| k) + 4Z0r(x + 1)r12nXk=n+1kp2P(|Sk| (x + 1)k)dx2nXk=n+1kp1P(|X| 4k) +Z0r(x + 1)r12nXk=n+1kp1P(|X| 4(x + 1)k)dx npP(|X| 8n) + npZ0r(x + 1)r1P(|X| 8(x +

341、 1)n)dx= npP(|X| 8n) +18rnprE|X|rI|X| 8n 18rnpP(|X| 8n)18rnprE|X|rI|X| 8n.现在由g(2n)g(n)g(n) 0 以及g(8n) g(n), 并结合(5.85), 我们获得了nprE|X|rI|X| 8nnprE|X|rI|X| 8n + E|X|pI|X| 8n + C 0,160这就说明nprE|X|rI|X| 8nE|X|pI|X| 8n 0.对于任何x R+, 存在n 使得8n x xE|X|pI|X| x C(n + 1)prE|X|rI|X| 8nE|X|pI|X| 8n 0.由引理5.3.1 我们推出(6).

342、(6) (4). 我们只要证明np1P(|Sn| n) + np1R0r(x + 1)r1P(|Sn| (x + 1)n)dxE|X|pI|X| n 0.由Markov 不等式以及Rosenthal 不等式,np1P(|Sn| n) + np1Z0r(x + 1)r1P(|Sn| (x + 1)n)dx npP(|X| n) + npZ0r(x + 1)r1P(|X| (x + 1)n)dx+np1E|S0n|2p2pn2p+ np1Z0r(x + 1)r1E|S0n|2p2p(x + 1)2pn2pdx npP(|X| n) + nprE|X|rI|X| n+CEp|X|2I|X| nn+

343、CE|X|2pI|X| nnp+CZ0r(x + 1)r2p1Ep|X|2I|X| (x + 1)nndx+CZ0r(x + 1)r2p1E|X|2pI|X| (x + 1)nnpdx CnpP(|X| n) + CnprE|X|rI|X| n + CEp|X|2I|X| nn+CE|X|2pI|X| nnp+ CZ0r(x + 1)r2p1Ep|X|2I|X| (x + 1)nndx=: CnpP(|X| n) + CnprE|X|rI|X| n + I1+ I2+ I3.上面第三个不等式来自于Z0r(x + 1)r1E|X|2pI|X| (x + 1)n(x + 1)2pdx Cr2p r

344、n2prE|X|rI|X| n + Cr2p rE|X|2pI|X| n独立随机变量的若干强极限定理161(在(5.86) 中用2p 取代p). 现在由引理5.3.1, 我们只需证明当n 时I1E|X|pI|X| n,I2E|X|pI|X| n,I3E|X|pI|X| n都趋于零.(5.88)固定 0. 再次利用引理5.3.1, 我们可以选取充分大的A 使得当x A 时,xpP(|X| x)E|X|pI|X| x n) + (2p 1)Rn0x2p1P(|X| x)dxnpE|X|pI|X| nCRA0x2p1P(|X| x)dxnpE|X|pI|X| n+ CRnAxp1xpP(|X|x)E

345、|X|pI|X|xdxnpC.若p = 2, 则EX2I|X| x 是缓变的. 若p 2, 由(5.83) 可知EX2 . 因而当p 2 时(5.88) 成立. 当1 p 2 时,EpX2I|X| nnE|X|pI|X| nnp(2p)Ep|X|pI|X| nnE|X|pI|X| n=Ep1|X|pI|X| nn(p1)2 0.令0 min(p2 r,(p 1)2), 并利用缓变函数的性质我们有Ep|X|pI|X| (x + 1)n C(x + 1)n. 因而成立Z0r(x + 1)r2p1EpX2I|X| (x + 1)nnE|X|pI|X| ndxZ0r(x + 1)r2p1(x + 1)

346、p(2p)Ep|X|pI|X| (x + 1)nn(p1)2E|X|pI|X| ndxZ0r(x + 1)r1p2+n(p1)2E|X|pI|X| ndx 0.(4) (2). 我们只要证明P2nk=n+1kpr2E|Sk|rI|Sk| kg(n) 0.(5.89)若E|X|p , 可以由(5.85) 推出g() . 因而我们假设E|X|p= . 从(5.87)162我们能够看出对于充分大的n,g(n) f(n)nXk=n0kp1P(|X| 4k)nXk=n0kp1nXj=kP(j |X|4 j + 1)=nXj=n0jXk=n0kp1P(j |X|4 j + 1)CnXj=n0jpP(j |

347、X|4 j + 1)CE|X|pIn0|X|4 nCE|X|pI|X| 4n.(5.90)由(5.84) 和L evy 不等式可得对于充分大的n,2nXk=n+1kpr2E|Sk|rI|Sk| k=2nXk=n+1kp2P(|Sk| k) +Z0r(x + 1)r12nXk=n+1kp2P(|Sk| (x + 1)k)dx C2nXk=n+1np2P( max1k2n|Sk| n)+CZ0r(x + 1)r12nXk=n+1np2P( max1k2n|Sk| (x + 1)n)dx C2nXk=n+1np2P(|S2n| n2) + CZ0r(x + 1)r1np1P(|S2n| (x + 1

348、)n2)dx Cnp1P(|S2n| n2) + CZ0r(x + 1)r1np1P(|S2n| (x + 1)n2)dx Cnpr1E|S2n|rI|S2n| n2.(5.91)因为(4) 成立, 所以npr1E|S2n|rI|S2n| n2E|X|pI|X| 2n 0.由(5.90) 和(5.91) 我们得到了(5.89).论论论文文文总总总结结结一. 第一章我们考虑了一类平稳过程的强不变原理, 并且在条件E|X0|p 以及其他一些条件下, 得到了最优速度oa.s.(n1/p), 2 p 2. 很自然地, 我们要问: 当p 4 时,对于(1) 中的平稳过程, 是否存在类似的强不变原理, 其

349、速度是oa.s.(n1/p) ? 为了获得最优速度, 我们假设了条件A. 同时, 我们也列举了各种时间序列模型来说明条件A 并不是一个苛刻的条件. 事实上,当Xk,k Z 是独立同分布随机变量时, 条件A 是与矩条件E|X0|p 等价的. 这就说明该条件具有某种意义上的最优性. 那么对于(1) 中的平稳过程, 条件A 是否也可以被简化为矩条件E|X0|p ? 我们会在以后的研究中致力于这两个问题并给出答案.二. 第二章我们考虑了周期图最大值的渐近性质. 对于独立同分布随机变量(以及线性过程), 我们所给的矩条件是EX20I|X0| n = o(1/logn). 对于(2.2), 矩条件EX20

350、I|X0| n = o(1/logn) 是否是最优的? 我们可以证明由(2.2) 能够推出EX20 M, n Z. 那么有Pmax1iqIn,Xs(M)(i) 4logq 0. LetZn= XsnI|Xsn| M 以及In,Z() = n1flflflPnk=1Zkexp(ik)flflfl2. 从上面的论证可知Pmax1iqIn,Z(i) 16logq 0. 因为Zn是有界对称的随机变量, 所以max1iqIn,Z(i)lognP EZ20.这就推出EZ20 16. 令M , 我们可以看出EX20 .三. 第四章考虑了样本相关系数矩阵非对角元最大值的渐近分布. 事实上,仔细检查定理的证明就

351、可以发现如果有nP( max1ijp|X1,iX1,j| pnlogn) 0,()164则(4.1) 和(4.8) 也同样成立. (由(*) 可知引理4.4.5 成立.) 若n 与p 同阶且EX41,1, Li, Liu 和Rosalsky (2008) 证明了(*) 是(4.1) 成立的必要条件.四.第五章第一节我们考虑了独立B 值随机变量的重对数律, 推广了Einmahl 和Li (2008) 的一些结果. 在定理5.1.1 所需要的条件(5.5)-(5.8) 当中, 除了(5.7) 外, 其他三个条件都是很自然的. 所以一个有意思的问题就是:是否可以去掉条件(5.7)? 第二节我们考虑了

352、多指标和的重对数律, 并证明了在方差无穷的情况下, 多指标和的重对数律与单指标和的重对数律有着很大的区别; 例如Klass 重对数律. 所以一个问题就是: 是否存在与n不同的正则化序列使得当d 2 时有类似的Klass 重对数律? 第三节我们给出了完全收敛性的一点补充. 完全收敛性的概率是由Hsu 和Robbins (1947) 引入的, 并在此后的60 年内得到了非常重大的发展和推广. 先前的结果都是考虑无穷项级数和, 比如Pk=1P(|Sk| k) 的收敛性. 我们这里考虑的是Pnk=1P(|Sk| k) 的大小(可以趋于无穷). Davis (1968) 证明了Pk=1logkkP(|S

353、k| k logk) 当且仅当EX1= 0, EX21 . 考虑到定理5.3.1, 一个有意思的问题是: 如果EX1= 0,EX21I|X1| x 是缓变的, 那么Pnk=1logkkP(|Sk| k logk) 有多大?附附附录录录对于博士期间所做的其他一些工作, 限于篇幅, 这里我们只给出摘要.一. 一种新的矩完全收敛性的精确渐近设Xk;k 1 是独立同分布的随机变量. 定理5.3.1 给出了完全收敛性的一点补充, 同时还引进了一种新的矩完全收敛性, 也即, 考虑Pn=1npr2E|Sn|rI|Sn| n 的收敛性, 其中Sn=Pnk=1Xk. Liu 和Lin (2006b) 考虑了这种

354、矩完全收敛性的精确渐近, 证明了如下定理.定定定理理理A 1. 假设X,Xn;n 1 是独立同分布随机变量, 满足EX = 0,EX2= 2,EX2log+|X| .(6.1)则我们有lim&01logXn=11n2ES2nI |Sn| n = 22.(6.2)反之, 如果有(6.2), 则(6.1) 成立.定定定理理理A 2. 假设X,Xn;n 1 是独立同分布随机变量, 满足EX = 0,EX2= 2 .(6.3)则对于0 p 2, 我们有lim&02pXn=11npE|Sn|pI |Sn| n =22 p2,(6.4)反之, 如果存在某个0 p 2 使得(6.4) 成立, 则我们有(6.

355、3).定定定理理理A 3. 假设X,Xn;n 1 是独立同分布随机变量, 0 1,EX = 0,EX2= 2,EX2log+|X| .(6.5)166则我们有lim&02Xn=2(logn)1n2ES2nI|Sn| pnlogn =2+2E|N|2+2.(6.6)反之, 如果有(6.6), 则(6.5) 成立.二. 相依随机变量的精确渐近性设X,X1,X2, 是独立同分布随机变量, 满足EX = 0, 0 EX2= 2 0 使得EX2(log2|X|)1+ 1/2. 则有lim&22 2Xn=31nP|Sn| p2nlog2n + an=2.(6.7)利用Feller (1945) 和Einm

356、ahl (1989) 的截尾方法, Zhang (2003) 给出了(6.7)成立的充分必要条件. Liu 和Lin (2008) 将定理A 推广到了混合随机变量的情形.Li 和Sp ataru (2005) 获得了积分Rf(xp)dx (2)1/p, 的充分必要条件, 其中f(x) =Xn=31nP|Sn| xpnlog2n,x 0.他们证明了定定定理理理B. 设X,X1,X2, 是独立同分布随机变量, 均值为零.(i) 若存在某个 0 和p 0 使得Rf(xp)dx , 则有E|X|1/p 若p 1/2EX2(log|X|)/log2|X| 若p = 1/2EX2 1/2.(6.8)(i

357、i) 若(6.8) 成立且EX2= 2, 则有Rf(xq)dx (2)1/q.附录167Liu 和Lin (2008) 将他们的结果推广到了混合随机变量上, 并考虑了Rf(xp)dx的精确渐近性.我们称Xjj1是混合随机变量, 假如(n) 0, 其中(n) := supk1(=k1,=k+n),(=k1,=k+n) := sup|P(B|A) P(B)|;A =k1,B =k+n.这里=ba表示由Xa, Xa+1, ., Xb生成的域. 下述定理的证明见Liu 和Lin (2008).定定定理理理A 4.设X,X1,X2, 是严平稳混合序列, 满足EX = 0, EX2 ,EX2(log

358、2|X|)b1 1/2 且存在T 1 +111/(2p)使得(n) = O(1(logn)T).记fb(x) =Xn=3(log2n)bnP|Sn| xpES2nlog2n.则对于任意 (2)1/p, 我们有Rfb(xp)dx .定定定理理理A 5. 设X,X1,X2, 是严平稳混合序列, 满足EX = 0, EX2(log2|X|)1(1+b) 1/2, 且存在T 2 使得(n) = O(1(logn)T).当n 时,|ES2n ES02n| = o(n/log2n),(6.9)其中S0n=nXi=1XiI|Xi| rnlog2n EXiI|Xi| rnlog2n.设an= O(n/(lo

359、g2n), 1/2. 则我们有lim&2(2 2)b+1/2Xn=3(log2n)bnP|Sn| pES2nlog2n + an=2b+1/2(b + 1/2).(6.10)168进一步, 如果EX2(log2|X|)2(1+b) , 则(6.9) 得到满足, 因而(6.10) 成立.定定定理理理A 6.在定理A 4 的假设下, 并假设EX2(log2|X|)2(1+b) 1/2, 我们有(i) 若b = 1/2, 则lim&(2)1/p1log(2p 2)Zf1/2(xp)dx =(1)p21p2p;(ii) 若b 1/2, 则lim&(2)1/p(2p 2)b1/2Zfb(xp)dx =2

360、b+1p2p2(2b 1)(b + 1/2);(iii) 若b 1/2, 则R(2)1/pfb(xp)dx .三. -混合随机变量重对数律的必要性设X,X1,X2, 是严平稳-混合序列, 混合系数() 满足Xn=11/2(2n) ,(1) 1/4.(6.11)Utev (1991) 证明了: 设(6.11) 成立, 且EX = 0,EX2 ,(6.12)则有limsupnSn2nloglogn= a.s.(6.13)其中2= limnES2n/n. 如果X,X1,X2, 是独立同分布随机变量, 则(6.12)也是(6.13) 的必要条件(见Strassen (1966). 在混合假设(6.11

361、) 下, Liu 和Lin(2006) 证明了-混合随机变量重对数律的必要性. 结合Utev (1991) 所获得的充分条件, 我们给出如下定理.附录169定定定理理理A 7. 假设X,X1, 是严平稳-混合序列满足(6.11). 则存在常数0 使得limsupnSn2nLLn= a.s.(6.14)当且仅当EX = 0,EX2 0, = /, 其中2= VarX. 则Qnk=1Skn!n1nd e2N.(6.16)Pang 等(2007) 证明了如下自正则的结果.定定定理理理A 9.假设正随机变量X 的均值为( 0), 且属于正态吸引场. 设tn是正整数值随机变量, 且存在正常数序列bn 趋

362、于无穷, 使得tn/bnp , 其中是一个正随机变量. 则Qtnk=1Skn!nVtnd e2N.(6.17)关于自正则极限定理的文献, 读者可参见Bentkus 等(1996), Gin e 等(1997),Griffin 等(1989), Cs org o 等(1994), Lin (1996), Cs org o 等(2003), Shao (1997,1998,1999).这里我们将定理A 9 推广到混合的情形. 设X,X1,X2, 是严平稳-混合序列, 满足Xn=11/2(n) .(6.18)170设 := (EX1)2/EX21(=0 若EX21= ), l(x) = EX21I

363、|X1| x 以及A2k(n) := Var(kXj=1XjI|Xj| n),B2k(n) := kEX21I|X1| n其中j= infs : s b + 1,l(s)s21j,j = 1,2,3,假设存在0 0. 令tn是正整数值随机变量,且存在正常数序列bn 趋于无穷使得tn/bnp , 其中是一个正随机变量. 则Qtnk=1Sktn!tnVtnd e2N.参参参考考考文文文献献献1 An, H. Z., Chen, Z. G. and Hannan, E. J. (1983). The maximum of theperiodogram. Journal of Multivariat

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