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1、1高中数学常用公式及结论高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系元素与集合的关系:, ,. .UxAxC AUxC AxAAA 2 2 集合集合的子集个数共有的子集个数共有 个；真子集有个；真子集有个；非空子集有个；非空子集有个；非空的真子集个；非空的真子集12 ,na aaL2n21n21n有有个个. .22n 3 3 二次函数的解析式的三种形式：二次函数的解析式的三种形式：(1)(1) 一般式一般式; ;2( )(0)f xaxbxc a(2)(2) 顶点式顶点式; ;（当已知抛物线的顶点坐标（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式）时，设为此式）2( )()(0)hf xaakx( , )
2、h k(3)(3) 零点式零点式；（当已知抛物线与；（当已知抛物线与轴的交点坐标为轴的交点坐标为时，时，12( )()()(0)f xa xxxaxx12( ,0),(,0)xx设为此式）设为此式）（4）切线式：）切线式：。 （当已知抛物线与（当已知抛物线与直线直线相切且切点相切且切点02( )()(),0xkxdf xa xaykxd的横坐标为的横坐标为时，设为此式）时，设为此式）0x4 4 真值表：真值表： 同真且真，同假或假同真且真，同假或假 5 5 常见结论的否定形式常见结论的否定形式; ; 原结论原结论反设词反设词原结论原结论反设词反设词 是是不是不是至少有一个至少有一个一个也没有一
3、个也没有 都是都是不都是不都是至多有一个至多有一个至少有两个至少有两个 大于大于不大于不大于至少有至少有个个n至多有（至多有（）个）个1n 小于小于不小于不小于至多有至多有个个n至少有（至少有（）个）个1n 对所有对所有，成立，成立x存在某存在某，不成立，不成立x或或pq且且pq 对任何对任何，不成立，不成立x存在某存在某，成立，成立x且且pq或或pq 6 6 四种命题的相互关系四种命题的相互关系( (下图下图):):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题 互逆 逆命题 若则 若则互 互互 为 为 互否 否逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非则非 互逆 若非则非充要条件
4、：充要条件： (1)(1)、，则 P 是 q 的充分条件，反之，q 是 p 的必要条件； pq（2 2） 、，且 q p，则 P 是 q 的充分不必要条件；pq(3)(3)、p p ，且，则 P 是 q 的必要不充分条件；qp4、p p ，且 q p，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 7 7 函数单调性函数单调性: : 增函数：(1)(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而增大。（2 2） 、数学符号表述是：设 f（x）在 xD 上有定义，若对任意的1212,x xDxx且，都有212()()f xf x成立，则就叫 f（x）在 xD 上是增函数。D 则就是 f（x）的递增区间。减函数
5、：(1)(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而减小。（2 2） 、数学符号表述是：设 f（x）在 xD 上有定义，若对任意的1212,x xDxx且，都有12()()f xf x成立，则就叫 f（x）在 xD 上是减函数。D 则就是 f（x）的递减区间。单调性性质：(1)(1)、增函数+增函数=增函数；（2 2） 、减函数+减函数=减函数； (3)(3)、增函数-减函数=增函数；(4)(4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性：函数 单调单调性内层函数 外层函数 复合函数 等价关系：等价关系：(1)(1
6、)设设那么那么1212,x xa bxx上是增函数；上是增函数；1212()()()0xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数上是减函数. .1212()()()0xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在(2)(2)设函数设函数在某个区间内可导，如果在某个区间内可导，如果，则，则为增函数；如果为增函数；如果，则，则)(xfy 0)( xf)(xf0)( xf为减函数为减函数. . )(xf8 8 函数的奇偶性：（注：函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：奇函数：定义：定义：在前提条件下，若有，()(
7、)()( )0fxf xfxf x 或则 f（x）就是奇函数。 性质性质：（1） 、奇函数的图象关于原点对称；（2） 、奇函数在 x0 和 x0 和 x0y=kx+boyxa0y=ax2+bx+coyx01 1y=axoyx011y=logaxoyx1111 对于函数对于函数( (),),恒成立恒成立, ,则函数则函数的对称轴是的对称轴是; ;两个两个)(xfy Rx)()(xbfaxf)(xf2bax函数函数与与 的图象关于直线的图象关于直线对称对称. . )(axfy)(xbfy2bax1212 分数指数幂与根式的性质：分数指数幂与根式的性质：(1)(1)（，且）.m nmnaa0,am
8、nN1n （2 2）（，且）.11m n mnm na aa0,am nN1n （3 3）. .()nnaa（4 4）当）当为奇数时，为奇数时，；当；当为偶数时，为偶数时，. .nnnaan,0|,0nna aaaa a1313 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式: : . .logb aNbaN(0,1,0)aaN指数性质：指数性质：(1)(1)1、 ； （2 2） 、（） ； (3)(3)、1p paa01a 0a ()mnmnaa(4)(4)、 ； (5)(5)、 ； (0, ,)rsr saaaar sQm nmnaa指数函数：指数函数：(1)(1)、 在定义域内是单调递增函
9、数；(1)xyaa（2 2） 、 在定义域内是单调递减函数。注：注： 指数指数函数图象都恒过点（0，1）(01)xyaa对数性质：对数性质： (1)(1)、 ；（2 2） 、 ； logloglog ()aaaMNMNlogloglogaaaMMNN(3)(3)、 ；(4)(4)、 ； (5)(5)、 loglogm aabmbloglogmn aanbbmlog 10a4(6)(6)、 ； (7)(7)、 log1aa logabab对数函数：对数函数： (1)(1)、 在定义域内是单调递增函数；log(1)ayx a（2 2） 、在定义域内是单调递减函数；注：注： 对数对数函数图象都恒过点
10、（1，0）log(01)ayxa(3)(3)、 log0,(0,1),(1,)axa xa x或(4)(4)、 或 log0(0,1)(1,)axax则(1,)(0,1)ax则1414 对数的换底公式对数的换底公式 : : ( (, ,且且, , ,且且, , ).).logloglogm a mNNa0a 1a 0m 1m 0N 对数恒等式：对数恒等式：( (, ,且且, , ).).logaNaN0a 1a 0N 推论推论 ( (, ,且且, , ).).loglogmn aanbbm0a 1a 0N 1515 对数的四则运算法则对数的四则运算法则: :若若 a a0 0，a1a1，M M
11、0 0，N N0 0，则，则(1)(1); ; (2)(2) ; ;log ()loglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNN(3)(3); ; (4)(4) 。loglog()n aaMnM nRloglog( ,)mn aanNN n mRm1616 平均增长率的问题（负增长时平均增长率的问题（负增长时）：）：0p 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N，平均增长率为，平均增长率为，则对于时间，则对于时间的总产值的总产值，有，有. .pxy(1)xyNp1717 等差数列：等差数列：通项公式：通项公式： （1） ，其中为首项，d 为公差，n 为项数，为末项。1(1
12、)naand1ana（2）推广： ()nkaank d（3） （注注：该公式对任意数列都适用）该公式对任意数列都适用）1(2)nnnaSSn前前 n 项和：项和： （1） ；其中为首项，n 为项数，为末项。1() 2n nn aaS1ana（2）1(1) 2nn nSnad（3） （注注：该公式对任意数列都适用）该公式对任意数列都适用）1(2)nnnSSa n（4） （注注：该公式对任意数列都适用）该公式对任意数列都适用）12nnSaaaL常用性质：常用性质：（1） 、若 m+n=p+q ，则有 ；mnpqaaaa注：注：若的等差中项，则有 2n、m、p 成等差。,mnpaa a是mnpaaa
13、（2） 、若、为等差数列，则为等差数列。 na nbnnab（3） 、为等差数列，为其前 n 项和，则也成等差数列。 nanS232,mmmmmSSSSS5（4） 、 ； ,0pqp qaq apa则（5） 1+2+3+n=2) 1( nn等比数列：等比数列：通项公式：通项公式：（1） ，其中为首项，n 为项数，q 为公比。1*1 1()nn naaa qqnNq1a（2）推广：n k nkaaq（3） （注注：该公式对任意数列都适用）该公式对任意数列都适用）1(2)nnnaSSn前前 n 项和：项和：（1） （注注：该公式对任意数列都适用）该公式对任意数列都适用）1(2)nnnSSa n（2
14、） （注注：该公式对任意数列都适用）该公式对任意数列都适用）12nnSaaaL（3） 11(1)(1)(1)1n nnaq Saqqq 常用性质：常用性质：（1） 、若 m+n=p+q ，则有 ；mnpqaaaa注：注：若的等比中项，则有 n、m、p 成等比。,mnpaa a是2 mnpaaa（2） 、若、为等比数列，则为等比数列。 na nbnnab18 分期付款分期付款(按揭贷款按揭贷款) ：每次还款：每次还款元元(贷款贷款元元,次还清次还清,每期利率为每期利率为).(1) (1)1nnabbxbanb19 三角不等式：三角不等式：（1）若）若，则，则.(0,)2xsintanxxx(2) 若若，则，则.(0,)2x1sincos2xx(3) .|sin|cos| 1xx2020 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 ：，= =，22sincos1tan cossin2121 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 2
