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1、等差数列与等比数列等差数列与等比数列 基础知识基础知识1数列的概念数列的概念定义定义 1. 按照某一法则，给定了第 1 个数，第 2 个数，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。定义定义 2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。定义定义 3.对于一个数列，如果从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。定义定义 4.如果数列的每一
2、项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。定义定义 5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。2等差数列等差数列定义定义 6.一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。等差数列具有以下几种性质：（1）等差数列的通项公式：或；（2）等差数列的前项和公式：或；（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；（
3、6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；（8）若，则；特别地，当时，；（9）设，则有；（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；（11）对于项数为的等差数列，有，；（12）是等差数列的前项和，则；（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则为等差数列，公差为；（即）为等差数列，公差；（即）为等差数列，公差为. 3等比数列等比数列定义定义 7.一般地，如果有一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，
4、这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。等比数列具有以下性质：（1）等比数列的通项公式：或；（2）等比数列的前项和公式：；（3）等比中项：；（4）无穷递缩等比数列各项公式：对于等比数列的前项和，当无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项的和，记为，即；（5）设是等比数列，则（是常数），仍成等比数列；（6）设，是等比数列，则也是等比数列；（7）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；（8）设是正项等比数列，则是等差数列；（9）若，则；特别地，当时，；（10）设，则有；（11）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则为等比
5、数列，公比为；（即）为等比数列，公比为；典例分析典例分析例例 1设等差数列的首项与公差均为非负整数，项数不小于 3，且各项之和为972，则这样的数列有_个。解：设等差数列的首项为，公差为。由已知有，即。又因为，所以只可能取，又因为且均为整数，故；若，由于为正数，则，即，故，这时有或；若，则，这时有或。例例 2设，A 是 S 的三元子集，满足：A 中元素可以组成等差数列，那么这样的三元子集有_个。解：若成等差数列，则，从而首未两项奇偶相同，且首未两项一旦确定，那么等差数列也就随之确定了。但是值得注意的是，虽然成等差数列时，也成等差数列，但它们所对应的是同一个集合 A=。将 S 按数的奇偶性分成与
6、两个子集。从中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有种不同的取法；从中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有种不同的取法；所以共有+种不同的取法。例例 3设，A 为至少含有两项且公差为正的等差数列，其项都在S 中，且添加 S 的其它元素于 A 后均不能构成与 A 有相同公差的等差数列，求这种 A的个数（这里只有两项的数列也看作是等差数列）（1991 年全国高中数学联赛二试第一题）分析：可先对特殊的 n（如 n=1,2,3）通过列举法求出 A 的个数，然后总结规律，找出的递推关系，从而解决问题；也可以就 A 的公差时，讨论 A的个数。解法一：设元素集中满足条件的 A 有个，则，如此下去，可以发现
7、。事实上，比的 A 增加的公差为的 1个，公差为的 1 个，公差为为偶数)或为奇数）的增加 1 个，共增加个。由的递推公式可得个。解法二：设 A 的公差为，则，分为两种情况讨论：（1）当为偶数时，则当时，公差为的 A 有个，当时，公差为 d 的 A 有个，故当 n 为偶数时，这种 A 共有个；（2）当为奇数时，则当时，公差为的 A 有个，当时，公差为 d 的 A 有个，故当 n 为奇数时，这种 A 共有个；综合（1）（2）得，所求的 A 共有个。例例 4将数列依次按每一项，两项，三项，四项循环分成（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27）,（2
8、9，31，33），（35，37，39，41），（43），则第 100 个括号内的各数之和是_。解：每循环一次记为一组，则第 100 个括号是第 25 组的第 4 个括号。而每组中第四个括号内的各数之和构成以 72 为首项，以 80 为公差的等差数列，故为所求。例例 5设数列是等差数列，是等比数列，且，（），又，试求数列的首项与公差。（2000 年全国高中数学联赛一试第 13 题）分析；题中两个基本量中的首项和公差是所需求的。利用，成等比数列和给定的极限可列出两个方程，但需注意极限存在的条件。解：设所求的首项为，公差为。因为，故；又因为成等比数列，故，即，即，化简得：，解得，而，故；若，则；若，
9、则；但是存在，可知，于是不合题意，从而只有。于是由解得，所以，故数列的首项与公差分别为和。例例 6若复数列的通项公式为（1）将数列的各项与复平面上的点对应，问从第几项起，以后所有的各项对应的点都落在圆的内部；（2）将数列中的实数项按原来的顺序排成一个新数列，求数列的通项及所有项的和。解：（1）设数列的各项在复平面上对应的点的坐标为，则，。要使点落在圆的内部，只需，得即，故从第 6 项起，以后每一项都落在圆的内部。（2）要使数列中的项为实数，则，得，因此数列的通项公式为，所以，且故数列是首项为 1，公比为的无穷递缩数列，从而数列的所有项的和为：。例例 7已知整数，是 1，2，3，n 的一个排列，
10、求证：不可能构成一个等差数列，也不可能构成一个等比数列。（2006 年山东省第二届夏令营试题）证明：若构成一个等差数列，设其公差为，则，所以。而，因为，所以所以。于是当时，则，于是所以，矛盾！当时，则， 又因为所以，从而。所以，所以，从而，矛盾！从而不可能构成一个等差数列。下证不可能构成一个等比数列。若构成了一个等比数列，考虑最后三项。有，所以。而（，所以；当时，显然 ；当时，显然 ；当时，有，知，所以即，所以或 4；当时，只能为 1，6，6 或 2，6，3，但这两个都不是等比数列；当时，所以故；又因为，所以矛盾！所以也不可能构成一个等比数列。例例 8正整数序列按以下方式构成：为某个正数，如果
11、能被 5 整除，则；如果不能被 5 整除，则。证明：数列自某一项起，以后各项都不是 5 的倍数。（2006 年山东省第二届夏令营试题）证明：首先证明中一定在存在相邻的两项，它们都不是 5 的倍数。（反证）若不然，数列中任意的两项都是 5 的倍数。若，则；若 5 ，则，从而；所以矛盾！（因为某个正数，不可能大于无穷多个正整数）从而中一定在相在相邻的两项，它们都不是 5 的倍数。设都不是 5 的倍数，则，其中，有因为，所以，所以只能取，即只能取，这说明不是 5 的倍数。即从起以后每一项都不是 5 的倍数。例例 9将与 105 互质的所有正整数从小到大排成数列，求这个数列的第三 1000 项。解：设，则；，所以。在 1 到 105 之间与 105 互质的数有+=105（35+21+15）+（7+3+5）1=48设将与 105 互质的数从小到大排列起来为数列，则，这是一个以 48 为周期的周数列，因为所以；而由于，；所以=。例例 10数列的定义如下：，且当时，有 现已知，求正整数.（2006 年山东省第二届夏令营试题）解：由题设条件知，并由得当 n 为偶数时，当 n 为奇数时，；由于，知 n 为偶数；所以知为奇数；所以知为偶数；知为奇数；知为偶数；知为奇数；知为偶数；知为偶数；知为奇数；知为偶数；知为奇数；知为偶数；所以，所以。
