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1、 常微分方程应用题及答案11应应 用用 题题（每题（每题 10 分）分）1、设在上有定义且不恒为零，又存在并对任意恒有( )f x(,) ( )fx, x y，求。()( ) ( )f xyf x f y( )f x2、设，其中函数在内满足以下条件( )( ) ( )F xf x g x( ), ( )f x g x(,) ( )( ),( )( ),(0)0,( )( )2xfxg xg xf xff xg xe（1）求所满足的一阶微分方程；（2）求出的表达式。( )F x( )F x3、已知连续函数满足条件，求。( )f x320( )3xxtf xfdte( )f x4、已知函数在内可导
2、，且满足( )f x(0,)( )0, lim( )1 xf xf x ，求。1 10()lim( )h x hf xhxef x( )f x5、设函数在内连续，且对所有，满足条件( )f x(0,)5(1)2f,(0,)x t，求。 111( )( )( )xtxtf u dutf u duxf u du( )f x6、求连续函数，使它满足。( )f x10( )( )sinf tx dtf xx x7、已知可微函数满足，试求。( )f t31( )( ) 1( )xf tdtf xt f tt( )f x8、设有微分方程 ， 其中。试求在内的连续函 2( )yyx21( )01xxx(,)
3、 数使之在和内部满足所给方程，且满足条件。( )yy x(,1)1,(0)0y9、设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴( )yf x2 1,22 ( , )P x yy的交点为 Q，且线段 PQ 被轴平分。x （1）求曲线的方程；( )yf x（2）已知曲线在上的弧长为 ，试用 表示曲线的弧长。sinyx0, ll( )yf xs10、求微分方程的一个解，使得由曲线与直线(2 )0xdyxy dx( )yy x( )yy x以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小。1,2xxxx11、设曲线 L 位于平面的第一象限内，L 上任一点 M 处的切线与轴总相交，交点xOyy记为
4、 A，已知，且 L 过点，求 L 的方程。| |MAOA3 3,2 2 12、设曲线 L 的极坐标方程为为 L 上任一点，为 L 上一定点，( ),( , )rrM r0(2,0)M若极径与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上两点间弧长值0,OMOM0,MM常微分方程应用题及答案22的一半，求曲线 L 的方程。 13、设和是二阶齐次线性方程 的两个解，1yx2lnyxx“( ) ( )0yp x yq x y求以及该方程的通解。( ), ( )p x q x14、设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于0x ( )yf x( ,( )x f xy，求的一般表达式。 01( )xf t
5、 dtx( )f x15、设函数满足，且，( ), ( )f x g x( )( ),( )2( )xfxg xg xef x(0)0,(0)2fg求。20( )( ) 1(1)g xf xdxxx16、设函数在内具有二阶导数，且， 是的反( )yy x(,) 0y ( )xx y( )yy x函数。 （1）试将满足的微分方程 ，变换为( )xx y322(sin )0d xdxyxdydy 所满足的微分方程；( )yy x（2）求变换后的微分方程满足初始条件的解。3(0)0,(0)2yy17、已知连续函数满足，求.f x( )f tx dtxf xxf t dtx( )( )( ) f x(
6、 )解：设 u=tx，则原式化为11020xf u duxf xxf t dtxx( )( )( )即 由 f (x)连续知上式右端可导 即 f (x)可导 2 03f t dtxxf xx( )( )对上式两端关于 x 求导，得一阶线性方程 所求函数为fxxf xx( )( ) 13x2 c 为任意常数 f xexedxccxxdxxdx( )()11 3318、.对于任意简单闭曲线 L，恒有20224xyf xdxf xx dyL() ()其中 f (x)在有连续的导数，且 f (0)=2.求.（） ,f x( )19、设 f (x)满足=f (1-x),求f x( )(xf 20、设,其
7、中(x)为连续函数,求(x)( )() ( )xexuu duxx0 21、人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。 （1）如果 4 小时的细菌数为原细菌数的 2 倍，那么经过 12 小时应有多少？（2）如在 3 小时的时候，有细菌数个，在 5 小时的时候有个，那么在开始时有41044 10 多少个细菌？常微分方程应用题及答案33应应 用用 题题 答答 案案1、解：、解： 首先从导数定义出发，证明处处可微，并求出与满足的关系，( )f x( )f x( )fx最后定出。( )f x由于不恒为零，设，因而 得( )f x0(0)0f x 000()(0)() (0)f xf xf xf到
8、(0)1f又由存在，对任意有(0)fx00()( )( ) ()( )( )limlim xxf xxf xf x fxf xfxxx 0( ) () 1lim( )(0) xf xfxf xfx 由此可见处处可微且满足 即 ( )f x( )( )(0)fxf x f(0)dffdxf解得 (0)( )fxf xce又由 所以 。(0)1f(0)( )fxf xe2、解：（1）22( )( ) ( )( )( )( )( )F xfx g xf x g xgxfx222 ( )( )2 ( ) ( )(2)2 ( )f xg xf x g xeF x于是满足一阶线性微分方程 ( )F x22
9、4xyye （2）按一阶线性微分方程的通解公式，2222422( )44dxdxxxxxxF xeeedxCee dxCeCe由 得 ，(0)(0) (0)0Ffg1C 于是 .22( )xxF xee3、解：、解：方程两端同时对求导，得到 x2( )3 ( )2xfxf xe由题设知道 。0(0)01fe故令 即得 ( )f xy2032 1xxyye y332332222dxdxxxxxxyeCeedxeCe dxCee由 得到 01xy3C 于是 .32( )32xxf xee4、解：、解：设， 则 .1 () ( )hf xhxyf x1()lnln( )f xhxyhf x因为 ，
10、0001()ln()ln( )limlnlimlnlimln( )( )hhhf xhxxf xhxf xyxf xhf xhx常微分方程应用题及答案44故 .1ln( )0()lim( )hxfxhf xhxef x由已知条件得 ，因此 ，即 .1 ln( )xf xxee1ln( )xf xx 21ln( )f xx 解之得 。1 ( )xf xCe由，得 。故 。lim( )1 xf x 1C 1 ( )xf xe5、解：、解：由题意可知，等式的每一项都是的可导函数，于是等式两边对求导，得xx（1） 1()( )( )ttf xttf xf u du在（1）式中令，由，得 ， 1x 5(
11、1)2f 15( )( )2ttf ttf u du（2）则是内的可导函数， （2）式两边对 求导，得 ，( )f t(0,)t5( )( )( )2f ttf tf t即 。5( )2f tt上式两边求积分，得 5( )ln2f ttC由，得。于是 。5(1)2f5 2C 5( )(ln1)2f tt6、解：、解：令，原方程变为 ,utx duxdt 01( )( )sinxf u duf xxxx即 .20( )( )sinxf u duxf xxx两边求导数，得到 2( )( )( )2 sincosf xf xxfxxxxx ( )2sincosfxxxx 积分得 ( )2cossin
12、2cossincosf xxxdxxxxxC .cossinxxxC7、解：、解：首先从题设可求得 ， 方程两边求导得 .(1)1f3( )( )( )f xfxx f xx记 ，得 考虑 ，方程可化为伯努利方程( )yf x3yyx yx( )xx y且 31dxxxdyy11xy令 232uxdux dx 22duudyy 常微分方程应用题及答案5522 3 22122233dydyyyCueCedyCyyyy 变量还原得 或者 .2212 3Cyxy2 3( )2( )3fxfxCx又因为，代入上式可得=。即 (1)1fC5 32 3( )25( ).33fxfxx8、解：、解：当时，
13、1x 22yy22222 111221dxdxxxxyeCedxeCedxC e1x 由 代入得 所以 (0)0y11C 21(1)xyex当 时 通解为 1x 20yy22 22(1)dxxyC eC ex由 处是连续的 .1x ( )y x2222 221 01 0limlim (1)1xxxxC eC eee 所以 .22 21C ee2 21Ce 于是若补充函数值 ，则得到上连续函数是所求的函数2 11xye(,) 是所求的函数。22211( )(1)1xxexy xeex9、解：、解：（1）曲线在点处的法线方程为 ，其中( )yf x( , )P x y1()YyXxy 为法线上任意一点的坐标，令，则 ，(, )X Y0X xYyy故 Q 点坐标为。由题设知 ， 即 。0,xyy0xyyy20ydyxdx积分得 （为任意常数） 。222xyCC由 知 ，故曲线的方程为。2 21 2xy1C ( )yf x2221 (0,0)xyxy（2）曲线在上的弧长为 .sinyx0, 22 021coslxdx 曲线 的参数方程为 ,( )yf x
