高等数学的应用

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1、高等数学的应用高等数学的应用微积分的应用 微积分的应用土木与交通学院无机非金属材料工程2010048 班小组成员：201004801 方馨悦201004803 王会芳201004806 朱格格摘要摘要：微积分是研究函数的微分以及有关概念和应用的数学分支，是建立在实数，函数和极限的基础上的。 微分的内容有：极限理论，导数，微分等。积分的内容包括定积分，不定积分等。微积分是于实际应用联系着发展起来的，它在天文学，力学，化学，工程学，经济等。自然科学社会科学及应用科学各分支中有越来越广泛的应用关键词关键词：微积分，极限，导数，定积分，不定积分，物理，化学，力学，工程学，经济学。The higher

2、mathematics the applications - the applicationThe higher mathematics the applications - the applicationof calculusof calculusAbstract:The differential calculus is research function, integral and therelevant concept and application of mathematics branch, is based in thereal, function and limit based

3、on. A: the content of the differential calculuslimit theory, a derivative, differential, etc. Integral content definite integral,indefinite integral, etc. Calculus is developed with the practical applicationof contact, it in geometry, astronomy, mechanics, chemical engineering,economics and other na

4、tural science, social science and applied science in each branch has more and moreextensive role.Key words :Calculus, limit, derivative, definite integral, indefiniteintegral, astronomy, chemistry, mechanics, engineering, economics引言：引言： 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想数学思想 ，无限细分就是微分，无限求

5、和就是积分。 十七世纪后半叶，无限细分就是微分，无限求和就是积分。 十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家数学家 都参加过准备的工作，分别独立都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。 他们建立微积分的出发点是直观的地建立了微积分学。 他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量无穷小量 ，但，但是理论基础是不牢固的。 因为“无限”的概念是无法用已经拥有的是理论基础是不牢固的。 因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代代数数 公式进行演算，所以，直到十九世纪，公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西柯西 和维尔斯特拉斯建立和维尔斯特拉斯建立了了极限理论极限理论 ，康托

6、尔康托尔 等建立了严格的等建立了严格的实数实数 理论，这门理论，这门学科学科 才得以严才得以严密化密化正文正文一：极限一：极限所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。 用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知思想。 用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。 极限结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。 极限思想是

7、思想是微积分微积分 的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问“数学分析是一门什么学科“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。用极限思想来研究函数的一门学科”。1，极限思想在化学中的应用。，极限思想在化学中的应用。对于可逆反应而言，当反应达到平衡状态后，其各组分的量均不 对于可逆反应而言，当反应达到平衡状态后，其各组分的量均不可能为零。 而在

8、解决一些化学问题时，尤其是关系取值范围问题的解可能为零。 而在解决一些化学问题时，尤其是关系取值范围问题的解决，我们可以借助完全反应这一“极限思想”进行。 例如，在密闭容决，我们可以借助完全反应这一“极限思想”进行。 例如，在密闭容器内进行可逆反应器内进行可逆反应: 已知其时刻 已知其时刻 的浓度分别为 当反应 的浓度分别为 当反应达到平衡时，我们想知道达到平衡时，我们想知道密度在什么范围内，这就需要我们运用极限思想进行分析。 根据可逆密度在什么范围内，这就需要我们运用极限思想进行分析。 根据可逆反应的特点可知：无论反应向正向移动还是逆向移动，达到平衡时反应的特点可知：无论反应向正向移动还是逆

9、向移动，达到平衡时浓度的取值范围为 浓度的取值范围为 而 的浓度为 而 的浓度为 2，建筑学科利用极限思想。，建筑学科利用极限思想。当前工程上尚没有隧道稳定安全系数的概念，一般按经验对隧道 当前工程上尚没有隧道稳定安全系数的概念，一般按经验对隧道围岩的稳定性先进行分析，极限方法通过对岩土体强度参数的折减围岩的稳定性先进行分析，极限方法通过对岩土体强度参数的折减，使岩土处于极限状态，因而有可能使岩土体显示潜在的破裂面并取使岩土处于极限状态，因而有可能使岩土体显示潜在的破裂面并取得安全系数，这在滑坡稳定分析中取得了成功。 但应用于地下洞室工得安全系数，这在滑坡稳定分析中取得了成功。 但应用于地下洞

10、室工程中算出的塑性区往往是一大片，而不像滑坡岩土体内存在明显的程中算出的塑性区往往是一大片，而不像滑坡岩土体内存在明显的剪切带，因而要找出围岩内的破裂面比较困难。 隧道围岩发生塑性改剪切带，因而要找出围岩内的破裂面比较困难。 隧道围岩发生塑性改变突变时的情况就是围岩发生破坏流动的情况，因而只要找出围岩变突变时的情况就是围岩发生破坏流动的情况，因而只要找出围岩塑性应变发生突变时的塑性区各断面中塑性应变值最大的点，并将塑性应变发生突变时的塑性区各断面中塑性应变值最大的点，并将其连成线就可得到围岩的潜在破坏面，同时可求得地下洞室的安全其连成线就可得到围岩的潜在破坏面，同时可求得地下洞室的安全系数。系

11、数。2导数。导数。在自然科学，工程技术及日常生活等方面都有着广泛的应用，导数 在自然科学，工程技术及日常生活等方面都有着广泛的应用，导数是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时又促进了生产技术是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时又促进了生产技术和自然科学的发展。和自然科学的发展。导数知识在解决环境问题中的应用 导数知识在解决环境问题中的应用烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，已知落在地面某处的烟烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比。现有尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比。现有 A,B 两烟囱距离两烟囱距离20KM，其中，其中

12、 B 座烟囱喷出的烟尘量是座烟囱喷出的烟尘量是 A 的的 8 倍，试求出两座烟囱倍，试求出两座烟囱连线上的点连线上的点 C，使该点烟尘浓度最低。，使该点烟尘浓度最低。解：设 解：设 A烟囱喷出的烟尘量是烟囱喷出的烟尘量是 1，而，而 B烟囱喷出的烟尘量是烟囱喷出的烟尘量是 8，三，微分在物理学只的应用三，微分在物理学只的应用具有具有 PN 节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的电压微变节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的电压微变之比称为低频跨导。一种之比称为低频跨导。一种 PN 节的半导体器件，其转移特性曲线方程节的半导体器件，其转移特性曲线方程为 ，求电压为 ，求电压 U=-2V

13、时的低频跨导。时的低频跨导。解：低频跨导是电流微变和引起这个变化的电压微变之比，它在解：低频跨导是电流微变和引起这个变化的电压微变之比，它在U=-2V 时的变化率为：时的变化率为：四，四，。 定积分是把函数在某个区间上的图像。 定积分是把函数在某个区间上的图像a,b分成分成n 份，用平行于份，用平行于y 轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当 n+时所有这些矩形时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距 x是相等的。但是必须指出，即使是相等的。但是必须指出，即使x 不相等，积分

14、值仍然相同不相等，积分值仍然相同。1，定积分在高等数学中的应用，定积分在高等数学中的应用2；定积分在几何中的应用；定积分在几何中的应用计算阿基米德螺线 上相应于 的计算阿基米德螺线 上相应于 的一段弧与极轴所围成的图形的面积。一段弧与极轴所围成的图形的面积。3，定积分在物理中的应用，定积分在物理中的应用设半径为设半径为 R的匀质球占有空间闭区域 的匀质球占有空间闭区域 = 。 求它对。 求它对位于 位于 处的单位质量的质点的引力。 处的单位质量的质点的引力。解：设球的密度为 ，有球体的对称型及质量分布的均匀性知解：设球的密度为 ，有球体的对称型及质量分布的均匀性知所求引力沿所求引力沿 Z轴的质

15、量为轴的质量为结束语：结束语：一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。 它给出一整套的是人类理性思维的结晶。 它给出一整套的科学方法科学方法 ，开创了科学的新，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说： “在一切纪元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说： “在一切理论成就中，未必再有什么像理论成就中，未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那样被看世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。 如果在作人类精神的最高胜利了。 如果在某个地方某个地方 我们看到人类精神的纯粹我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。” 有了微积分，人类才有的和惟一的功绩，那就正是在这里。” 有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。