数学美在解题中的应用

《数学美在解题中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学美在解题中的应用（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、发现数学美发现数学美 运用数学美运用数学美 期刊门户-中国期刊网 2009-11-3 来源:中学课程辅 导教学研究第 21 期供稿文/李爱红 导读这就需要教师正确地引导学生审视数学美，发掘数学美、追求数学美并 运用数学美。期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆摘要：数学中处处蕴含着美形式的美与内容的美，内隐的美与外显的美。这就需要教 师正确地引导学生审视数学美，发掘数学美、追求数学美并运用数学美。 关键词：数学美；应用；作用 作者简介：李爱红，任教于河南省孟州市第一高级中学。 数学教学的目的是使学生掌握数学基础知识与基本技能，形成数学能力，发展个性品 质和形成科学的世界观 。“数学是思维的体操”，

2、实施素质教育的主阵地在课堂，如何优化 数学教学过程并提高教学效益，是近年来数学素质教育的重点研究课题，而数学的抽象性、 单调性、枯燥性成为优化数学过程、推行素质教育的“绊脚石”。其实，数学中处处蕴含着 美形式的美与内容的美，内隐的美与外显的美。这就需要教师正确地引导学生审视数 学美，发掘数学美、追求数学美、运用数学美，带领学生进入数学美的王国，让学生在审 美的愉悦中丰富想象、陶冶情操。重视数学教学中的美育，对培养学生的求异思维、超前 思维、创造思维都有十分积极的意义。下面笔者就结合自己的教学实际谈谈数学美在实际 生活和数学解题过程中的应用。一、数学美在实际生活中的应用 首先，我们来简单了解数学

3、美的含义：思维是地球上最美的花朵，而数学是锻炼思维的体 操。著名数学家高斯说：“去寻求一种最美和最简单的证明，乃是吸引我去研究的动力。” 所以，数学美的含义主要体现在既有情境之中的自然美，又有意料之外的简洁美、对称美、 和谐美、奇异美、联想美、统一美。 (1)数学图形在自然界的应用 比如蜂房，就是典型例子。从正面看，蜂巢由一些正六边形组成，每个内角都是 120 度。 整齐的排列已令人惊奇，更有趣的是底部，由三个全等菱形拼起来，而整个蜂巢就是由两 排这样的蜂房，底部与底部相嵌接而构成。不仅牢固美观，而且最省材料。18 世纪初，法 国马拉尔琪测量，发现所有蜂房底部菱形的一个钝角都是 10928，另

4、一个锐角都是其补 角，即 7032；后来数学家们经过多次极值计算，发现最省材料的角度正是是 10928和 7032，证明了蜜蜂是完美科学的。 (2)审美方面的应用 为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚尖? 为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋?为 什么有的建筑物特别精巧？为什么弦乐器的声音好听？这些都与“黄金分割比例”有关。具 体如下：当一个人从头顶到肚脐眼与下半身的比为 0.618 时身材就特别好看；建筑物的窗 口宽与高度之比一般为 0.618 时显得精巧；弦乐器的声码放在琴弦的 0.618 处，会使声音 更甜美。从这些例子我们可以看出建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风 格、音乐

5、作品的优美节奏交融于数学的对称美、和谐美之中。 (3)健康方面的应用例如：一个学生吃三个馒头能吃饱时，他吃两个最好，因为 2：3 接近于 0.618,有利 于肠胃的消化。当气温为 22.8C 时人感到最舒服，此时 23：37(体温)0.618。二、数学美在数学解题中的应用思维力是数学素质教育的核心所在，由于数学有利于逻辑思维能力的培养，为了激发 学生学习的兴趣，从而推动素质教育的实施，下面简单谈谈数学美在数学解题中的应用：(一)简洁美在解题中的应用 爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简洁性 的美学准则。欧拉给出的公式：VEF2，堪称“简单美”的典范。世间

6、的多面体有多少？ 没有人能说清楚。但它们的顶点数 V、棱数 E、面数 F，都必须服从欧拉给出的公式，一 个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？ 简洁美在古代的应用。据说，古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，他很小的 时候就跟着丢番图学习数学。有一天他问老师一个问题：有四个数，把其中每 3 个相加， 其和分别是 20、22、24、27，求这四个数。丢番图提出了一个巧妙的解法，他不是分别 设四个求知数，而是设四个数之和为 x，则四个数分别为：x-22、x-24、x-27 和 x-20，于 是得方程：x=(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-20)，解之

7、得 x=31，这种奇妙简洁的解法深深感动 了帕普斯，从而坚定了他毕业研究数学的意愿，后来成为了一位著名数学家。简洁美是数学家刻意追求的目标之一，学生看了简洁美的体验就意味着体内注入了精 益求精的动力。因此，我们在数学教学中应努力培养学生求简的精神。(二)对称美在解题中的应用(1)有些数字的运算，通过观察它的对称性很容易得出结论。比如：已知 1111=121， 111111=12321，1111111=1234321，求：1111111111=( )；111111111111=( )。(2)有的题是需要通过分析联想，才能利用对称性解题。比如：已知 x1、x2 是方程 x3 +x-3=0 两个根，

8、不解方程，求 x13-4x22+19 的值。分析：按照题意要求直接求值不可能，若从追求对称美出发，就易让人联想到与之相 对称的另一个表达式：x23-4x12+19 联合求解。因为 x1、x2 是方程 x3 +x-3=0 两个根， 所以 x1+x2=-1，x1x2=-3，记 A=x13-4x22+19，B=x23-4x12+19，x12+x22=(x1+x2)2- 2x1x2=7，则 A+B=x13 +x23-4(x12+x22)+38=(x1+x2)(x1+x2)2-3x1x2+10=0，A-B=x13- x23-4(x22-x12)=(x1-x2)(x1+x2)2- x1x2+4(x1+x2

9、)(x1-x2)=(x1-x2)(1+3-4)=0，两式相加， 得 x13-4x22+19=0。(三)联想美在数学中的应用对于高中阶段的立体几何中的一些内容，大部分学生感到比较抽象，难于理解，但是 他们对平面几何的一些性质掌握得比较牢，这时在教学中就应该运用联想的教学方法。比 如联想三角形的面积为 cr/2(c 为三角形的周长，r 为其内切圆半径）可得出三棱锥的体积 为 sR/3(s 为三棱锥的全面积，R 为内切球半径），再比如联想边长为 a 的等边三角形内任 意一点到三边的距离之和为三角形的高，可得出棱长为 a 的正四面体内任一点到各面的距 离之和为正四面体的高。例题：正四面体的四个顶点都在

10、一个球面上，且正四面体的高为 4，求球的表面积。分析：此题可利用上面的结论，球心到四个面的距离之和为内切球半径的四倍，因此 内切球半径为 1，而外接球半径为内切球半径的 3 倍，所以球的表面积为 36。(四)统一美、和谐美在数学题中的应用古希腊数学家毕达哥拉斯有一句至理名言：“凡是美的东西都具有共同的特性，这就是 部分与部分、部分与整体之间的和谐性。”三角恒等变换中需要记忆的公式很多，如果只是将这些公式变来变去得出新的三角恒 等式，那将是十分枯燥乏味的。我们可以从这些公式的内在联系入手，首先推导公式，然 后从，得到两角和与差的三角函数公式令，又可得到两倍角公式、，作角与式的变换， 又可得到降幂

11、公式、半角公式、万能公式、三倍角公式以及积化和差、和差化积公式。以上说明了一个道理，数学美就在我们身边，注意运用这些数学美观点作指导，则常 可以捕捉到解题的机智，令人记忆深刻、回味无穷。有的人说如果把数学当作诗集来读， 那么死气沉沉的数学公式就会变成洋溢着和谐、充满着美的一部诗集。让我们用心、用智 慧去发现数学美、运用数学美吧！参考文献： 1唐善刚.发挥数学美的特点在解题教学中的作用J.数学教学通讯，2004(12). 2张奠宙，木振武.数学美与课堂教学J.数学教育学报，2001(4). 作者单位：河南省孟州市第一高级中学数学美在解题中的应用数学美在解题中的应用数学从表面上看是枯燥乏味的，令有

12、些学生感叹：“数学太抽象、太枯燥，何美之有？”事实上，它却有一种隐蔽的、深邃的美，一种理性的美。我们从中学教学过程中可以领略 到数学的简洁美、和谐美和奇异美。数学美不仅是一种审美标准，而且这种审美效应还可 以直接作用于解题。解题过程中，一旦题目提供的知识信息与审美情感相吻合，就会激起 审美直觉，使人们能迅速确定解题思路。也就是说，数学美在解题中的思维过程中起宏观 调控作用。一追求简洁美探索解题捷径数学的抽象性决定了数学形式的简洁式。简单一个公式却能蕴涵无穷外延。同样在解题中，一个形式复杂的题本质上总存在简洁的一面。我们应自觉寻找简捷明快的思路和方法， 摒弃凭直觉判断难而繁锁的方法，在感受数学简

13、洁美的同时，找到解题捷径。例：已知关于 x 的方程 ax2-2（a-3）x+（a-2）=0 中的 a 为负整数，试求出那些能使方程 至少有一个为整数时 a 的值。分析：所给方程是含参数 a 的二次方程。如果用求根公式法解出 x，再由 a 的值讨论根的 情况，这样就变得冗繁，并且凭直觉这种解法不符合简洁美。我们可以把方程看成关于 a 的方程再讨论整数根 x 存在就简单多了。二利用和谐美启迪解题思路 和谐美包括对称、比例等。在数学解题过程中，我们若能通过形象的补形造对称，利用相 似比例找规律，那么解题思路会“柳暗花明又一村”。例：在ABC 中，ADBC，D 在 BC 上，已知ABCACB，P 是

14、AD 上的任一点，证明：AC+BAB+PC分析：AC、BP（或 AB、PC）联系不算大，因此我们试图利用对称转换到一块在同一个 三角形中。因为 ADBC，以 AD 为对称轴，取 B 点的对称点 E，这样 BP 和 AB 分别被 PE 和 AE 取代，容易用“三角形任意两边之和大于第三边”得证。再如以下两个基本图形直角三角形斜边上作高、顶角为 36的等腰三角形底角作平分线，也是初中数学解题中常见的两种图形。从宏观上把握其相似及比例特点对解题及有帮 助，能产生美效应，触发你的灵感。三 构成奇异美 突破解题常规每一个数学问题都有自己的特性，有些可以构成数学奇异美。因此对于问题本身的奇异美，我们要不拘

15、于成法，大胆创新、标新立异，从而找到别开生面、出奇制胜的解法。例：已知一个二次函数的图象经过 A（-1，0） ，B（4，0） ，C（0，2）三点，求这个二次函数的解析式。分析：此类题一般解法是将已知坐标代入一般式 y=ax2+bx+c 中建立 a、b、C 的三元一次方程求 a、b、c。 这种方法计算量较大，但观察坐标特点发现：A 和 B 点坐标均在 x 轴上， 所以用交点式 y=a（x-x1） （x-x2）就较为简单。有位数学家说过， “数学具有至高的美，一种冷而严肃的美。 ”我们利用数学美指导解题，不仅可以提高解题能力，而且可以培养学生的创造性思维能力和提高学生的审美能力。数学美在解题实践中

16、的运用摘要: 数学美的主要表现有：简单性、和谐性、奇异性和抽象性。在问题解决过程，若能从应用数学审美的角度出发，审视问题结构的和谐性，追求问题解决方案的简单性、奇异性、新颖性，挖掘命题结论的统一性，带领学生进入数学美的王国，陶冶精神情操，这对于诱发学生的求知欲，激发他们的学习兴趣，提高学习效率，培养创造性思维能力是不言而喻的。 关键词: 数学美,; 问题解决; 求知欲;创造性思数学是人类文明的结晶,数学的结构、图形、布局和形式无不体现数学中美的因素.教师在问题解决过程中,若能从应用数学审美的角度出发,审视问题结构的和谐性,追求问题解决方案的简单性、奇异性、新颖性,挖掘命题结论的统一性,带领学生进入数学美的王国,陶冶情操,这对于诱发学生的求知欲,激发他们的【摘要摘要】：正 文学艺术是美的科学,数学也是一门美的科学。我们从中学数学教材的内容、方法、逻辑等方面,早已领略和体会到了数学的简洁美、对称美、相似美、和谐美和奇异美。数学美不仅可