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1、第五章第五章 弹塑性力学问题的建立与求解弹塑性力学问题的建立与求解108第五章第五章 弹塑性力学问题的建立与求解弹塑性力学问题的建立与求解弹塑性力学问题在数学上属边值问题，就是在给定边界条件下，确定物体内的应力场和应变场，而应变场与位移场密切相关。所求得应力场、应变场和位移场应该满足相应的基本方程和边界条件。本章内容，除介绍弹性及弹塑性力学边值问题的建立之外，还将简单阐述弹塑性问题的解法。5.15.1 弹塑性力学边值问题弹塑性力学边值问题1.11.1 弹塑力学的基本方程弹塑力学的基本方程弹塑性力学边值问题就是在给定载荷下确定物体内的应力场、应变场和位移场，它们应满足基本方程及给定的边界条件。而
2、所谓“载荷”包括：体积力、面积力(即应力边界条件)及给定的边界位移(即位移边界条件)。由于在部分边界上给定的位移也是对物体的一种外部干扰，可归于广义的载荷。在笛卡儿坐标系下，弹塑性力学的基本方程为：1).平衡方程平衡方程(5.1-1a)000ZzyxYzyxXzyxzzyzxyzyyxxzxyx或用张量写为(5.1-1b),(0, zyxjiFijij 对于弹塑性力学问题，在小变形条件下，其平衡方程还可用率型式表示为(5.1-1c)0, )(ijijF2).几何方程几何方程对于小变形，几何方程包括 Cauchy 应变张量第五章第五章 弹塑性力学问题的建立与求解弹塑性力学问题的建立与求解109(
3、5.1-2a)xw zu zwzv yw yvyu xv xuzxzyzyxyx,或(5.1-2b),(2/ )(,zyxjiuuijjiij和由应变位移关系导出的应变协调方程(5.1-3a) yxzyxzzxyxzyzyxzyxxzzxzyyzyxxyzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzxzxxzyzzyxyyx2222222222222222222)(2)(2)(当物体内某应力点进入塑性状态，其几何方程通常采用应变率表示为(5.1-3b) xw zu zwzv yw yvyu xv tuzxzyzyxyx3).本构方程本构方程物体受力后，其应力状态可能一部分处于弹性阶段，一部分可能处于
4、塑性阶段。由笫四章知，这两个阶段的本构方程是不同的，下面分别列出不同区域(阶段)的本构方程。(1)弹弹性区域性区域第五章第五章 弹塑性力学问题的建立与求解弹塑性力学问题的建立与求解110弹性区域，应力应满足屈服不等式，在该关系下本构关系为广义虎0)(ijf克定律，即(5.1-4a) GEGEGEzx zxyxzzyz yzxzyyxy xyzyxx, )(1, )(1, )(1或简写为(5.1-4b),(1zyxji、EEiiijijij也用应变表示应力，则有(5.1-4b)zxzxzzyzyzyyxyxyxxG、GG、GG、G)21(2)21(2)21(2上式可缩写为(5.1-4c)ijij
5、ijEE )21)(1 (1(2)塑性区域塑性区域对于变形物体内的塑性区域，如果处于初始屈服阶段，应力应满足屈服不等式，在该条件下，并注意当进入塑性状态时，体积为不可压缩，因此增0)(ijf量理论的(4.6-12a)式可写为(5.1-5a)zxzxzxzzzyzyzyzyyyxyxyxyxxxdGdsddsGddGdsddsGddGdsddsGd1 211 211 21或简写为(5.1-5b)ijijijsddsGd21其中第五章第五章 弹塑性力学问题的建立与求解弹塑性力学问题的建立与求解111iidd23当为强化材料时，则可表示为(5.1-5c)ij iiij ijsHd Gdsde23 2
6、式中p ii ddH如果采用全量论，则应变偏量为(5.1-5d)zx ii zxxyz ii zyz ii yzxzy ii yxy ii xyzyx ii xeee3)(213)(213)(211.21.2 弹塑力学问题的边界条件弹塑力学问题的边界条件从上面可见，当物体处于弹性状态时，共有 3 个平衡方程(5.1-1)，6 个几何方程(5.1-2)，6 个本构方程(5.1-4)。共 15 个方程(统称为泛定方程)。其中包括 6 个应力分量，6 个应变分量，2 个位移分量，共 15 个未知函数，因而在给定边界条件时，问题是可以求解的。当物体处于弹塑性状态时，同样有 3 个平衡方程(5.1-1)
7、，6 个几何方程(5.1-2)以及 6 个本构方程(5.1-5)。但在此情况下多引进了一个参数，不过也d增加了一个屈服条件只有在应力满足屈服条件时，才不等于零。0)(ijfd在研究弹塑性小变形平衡问题范围内时，以上弹塑性力学问题的解还必须满足的边界条件。边界条件一般可分为三类，即(1)应力边界条件(5.1-6a) ZnmlYnmlXnmlzzyzxyzyyxxzxyx或写为(5.1-6b)(、SFnijij第五章第五章 弹塑性力学问题的建立与求解弹塑性力学问题的建立与求解112(2)位移边界条件(5.1-7a)(,、Swwvvuuu或写为(5.1-7b)(、Suuuii(3)混合边界条件当物体
8、中的一部分边界力已给定，而另一部分边界给定了位移，则称这类边界条件为混合边界条件。这类边界条件的表达式分别同式(5.1-6)和(5.1-7)。应当注意的是，加载过程的弹塑性力学问题可作为非线性弹性力学问题处理。这时应注意的是卸载，卸载时应遵守卸载定律。如果变形物体内可能同时存在几种不同的变形区，如初始弹性区、加载区()及卸载区()，在相邻区0 p ij0 p ij域的交界上，应力和应变还应满足一定的连续或间断条件。一般来说，在一定的边界条件下，弹塑性力学问题原则上是可以求解。通常在数学上称弹塑性静力学问题为边值问题。6.26.2 弹性力学问题的基本解法与解的唯一性弹性力学问题的基本解法与解的唯
9、一性2.12.1 问题的提法问题的提法求解弹力学问题的目的是确定物体内各点的应力场和位移场，因此弹性力学问题的提法必须是使定解问题是适定的，即问题有解、解是唯一的和解是稳定的。弹性力学问题的基本方程虽然构成一个封闭方程组，但该方程组只有在与定解条件，即边界条件相符的解才是所需的正确解。因此，边界条件的重要性不容忽视。应强调的是，边界条件的个数应给得不多也不少时，才能得出正确解。如空间问题的应力边界条件，必须在边界上的每一点给出三个应力边界条件，一旦多给了，则会找不到满足全部边界条件的解，如果少给了，就会有多个解满足所给的边界条件，因此不能判断那一个解是正确的。由此可见，弹性力学的基本方程组一般
10、地反映物体内部的应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件具体给定了每一个边值问题的特定规律。因此，每一个具体问题反映在各自的边界条件上。所以，弹性力学问题的基本方程组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。根据具体问题边界条件类型的不同，通常将其分为以下三类问题，即第一第一类边值问题类边值问题 在全部边界上给定体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，称这类问题为应力边值问题。第五章第五章 弹塑性力学问题的建立与求解弹塑性力学问题的建立与求解113当(5.1-6b)中等式右边时，其边界称为自由边界，属应力边界的特殊0iF情况。如果边界上有集中力，应转换为作用在微小面积上的均布
11、面力；集中力偶则应转换为作用在微小面积上的非均布面力。第二第二类边值问题类边值问题 给定物体力和在物体表面各点的位移，求在平衡状态下的应力场和位移场，称这类问题为位移边值问题。有时也可能给定的是边界上位移的导数(如转角)或应变。在静力问题中，给定的位移约束应能完全阻止物体的总体刚体运动。第三第三类边值问题类边值问题 在物体表面的一部分给定面力，其余部分给定位移，或在部分表面上给定外力和位移之间的关系，这如弹性支撑或弹性固定，求在这些条件下的应力场和位移场，称这类问题为混合边值问题。求解以上三类边值问题有相应的方法，即(1) 位移法以位移为基本未知函数，应用几何方程和本构方程，将应力用位移表示，
12、并代入平衡方程，得到用位移表示的平衡方程；求解此方程得到位移，然后反求应变和应力。称这种方法为位移法。显然，对于位移边值问题宜采用位移法。(2)应力法以应力为基本未知函数，通过本构方程用应力表示应变，代入应变协调方程，得到用应力表示的协调方程；联立求解这些方程及平衡方程，得到应力，然后求应变及位移。由于应力应满足协调方程，故可由应变求出位移。称这种方法为应力法。对于应力边值问题宜采用应力法。(3)混合法对于第三类边值问题宜以物体表面的一部分点的位移分量和一部分点们应力分量作为基本未知函数，然后进行混合求解。称这种方法为混合法。对于混合边值问题宜采用此法。2.22.2 位移法位移法以位移分量为基
13、本未知函数，并注意到，以及u、v、wzyx222222222222zw zyv zxu zzyw yv yxu yzxw yxv xu x和以下拉普拉斯算符第五章第五章 弹塑性力学问题的建立与求解弹塑性力学问题的建立与求解114222222 2222222 2222222 2zw yw xwwzv yv xvvzu yu xuu则按上述位移法的步骤最后可以得到用位移表示的平衡方程为(5.2-1)0)(0)(0)(222ZwzYvyXux当不计体力时，上式可写为齐次方程式(5.2-2)0)(0)(0)(222wzvyux当用张量表示时，以上两式可分别简写为(5.2-3a)0)(,ijjijijf
14、uu和(5.2-3b)0)(,jjijijuu上式称为拉梅-纳维(Lam-Navier)方程。如果是动力问题，则(5.2-3a)式中的体力用代人即得到用位移表示的运动方程。if)(iiuf用位移法求解时，边界条件也应用位移表示；如果是位移边值问题，情况自然简单。如果还有应力边界条件，则应将它们用位移表示如下：(在上)ijijjiijfnuu)(,S这类边界条件因为是用位移的一阶导数表示的，有时较难处理。因为用位移法求解时得到的是位移场，所以应变协调方程自然满足。2.32.3 应力法应力法采用应力作为未知函数，除平衡方程己是用应力表示外，还需将泛定方程中第五章第五章 弹塑性力学问题的建立与求解弹塑性力学问题的建立与求解
