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1、第 1 页 共 13 页f(c) = 0f(xn) = nx(x-1)f(1/x) = -1/x2f(x) = 1/2xf(x) = 1/xf(ax) = 1/xa （a 为底）f(ax) = ax * af(ex) = exf(sinx) = cosxf(cosx) = -sinxf(tanx) = (sec2)x = 1/(cos2)xf(cotx) = -(csc2)x = -1/(sin2)xf(secx) = cesx * tanxf(cscx) = -cscx * cotxf(arcsinx) = 1/(1-x2)f(arccosx) = -1/(1-x2)f(arctanx) =
2、 1/1+x2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=fg(x),y=fg(x)g(x)fg(x)中 g(x）看作整个变量，而 g(x)中把 x 看作变量2.y=u/v,y=uv-uv/v23.y=f(x)的反函数是 x=g(y） ，则有 y=1/x证：1.显而易见，y=c 是一条平行于 x 轴的直线，所以处处的切线都是平行于 x 的，故斜第 2 页 共 13 页率为 0。用导数的定义做也是一样的：y=c,y=c-c=0,limx0y/x=0。2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到 n 为任意实数的一般情况。在得到 y=ex y=ex 和 y=lnx y
3、=1/x 这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。3.y=ax,y=a(x+x)-ax=ax(ax-1)y/x=ax(ax-1)/x如果直接令x0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数 ax-1 通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：x=loga(1+)。所以(ax-1)/x/loga(1+)=1/loga(1+)1/显然，当x0 时， 也是趋向于 0 的。而 lim0(1+)1/=e,所以lim01/loga(1+)1/=1/logae=lna。把这个结果代入 limx0y/x=limx0ax(ax-1)/x 后得到limx0y/x=axlna。可以知道，当 a=e 时有 y=ex
4、y=ex。4.y=logaxy=loga(x+x)-logax=loga(x+x)/x=loga(1+x/x)x/xy/x=loga(1+x/x)(x/x)/x因为当x0 时，x/x 趋向于 0 而 x/x 趋向于，所以 limx0loga(1+x/x)(x/x)logae,所以有limx0y/xlogae/x。可以知道，当 a=e 时有 y=lnx y=1/x。这时可以进行 y=xn y=nx(n-1)的推导了。因为 y=xn,所以 y=eln(xn)=enlnx,所以 y=enlnx(nlnx)=xnn/x=nx(n-1)。5.y=sinxy=sin(x+x)-sinx=2cos(x+x/
5、2)sin(x/2)y/x=2cos(x+x/2)sin(x/2)/x=cos(x+x/2)sin(x/2)/(x/2)所以 limx0y/x=limx0cos(x+x/2)limx0sin(x/2)/(x/2)=cosx6.类似地，可以导出 y=cosx y=-sinx。7.y=tanx=sinx/cosx第 3 页 共 13 页y=(sinx)cosx-sinx(cos)/cos2x=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x8.y=cotx=cosx/sinxy=(cosx)sinx-cosx(sinx)/sin2x=-1/sin2x9.y=arcsinxx=sinyx=co
6、syy=1/x=1/cosy=1/1-sin2y=1/1-x210.y=arccosxx=cosyx=-sinyy=1/x=-1/siny=-1/1-cos2y=-1/1-x211.y=arctanxx=tanyx=1/cos2yy=1/x=cos2y=1/sec2y=1/1+tan2x=1/1+x212.y=arccotxx=cotyx=-1/sin2yy=1/x=-sin2y=-1/csc2y=-1/1+cot2y=-1/1+x2另外在对双曲函数 shx,chx,thx 等以及反双曲函数 arshx,archx,arthx 等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与4.
7、y=u 土 v,y=u土 v5.y=uv,y=uv+uv1基本求导公式 （C为常数） ；一般地，。0)(C1)(nnnxx1)(xx特别地：，。1)(xxx2)(221)1(xxxx21)( ；一般地，。xxee )() 1, 0( ln)(aaaaaxx第 4 页 共 13 页 ；一般地，。xx1)(ln) 1, 0( ln1)(logaaaxxa2求导法则 四则运算法则设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（）；)()() )()(xgxfxgxf（），特别（C为常数） ；)()()()() )()(xgxfxgxfxgxf)() )(xfCxCf（），特别。)0)( ,)()()()(
8、)()()(2xgxgxgxfxgxf xgxf21( )()( )( )g x g xgx 3微分 函数在点x处的微分：( )yf x( )dyy dxfx dx4、 常用的不定积分公式（1） ； cxdxxxdxxcxxdxcxdxCxdxx43,2,),1( 114 33 22 1（2） ； ； ；Cxdxx|ln1Cedxexx) 1, 0( lnaaCaadxax x（3）（k为常数）dxxfkdxxkf)()(5 5、定积分、定积分( )( )|( )( )bb aaf x dxF xF bF a bababadxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()(2121 分部积分法
9、设u(x)，v(x)在a，b上具有连续导数，则)(),(xvxubababaxduxvxvxuxdvxu)()()()()()(6、线性代数特殊矩阵的概念（1） 、零矩阵 （2） 、单位矩阵二阶,000022 O100010001LLOLLLLnI第 5 页 共 13 页,100122 I(3)、对角矩阵(4)、对称矩阵naaaA000000021LOLLLL 752531212 , Aaajiij(5)、上三角形矩阵下三角形矩阵nnnnaaaaaaA000022211211LOLLLLnaaaA000000021LOLLLL(6)、矩阵转置转置后nnnnnnaaaaaaaaaALLOLLLL
10、212222111211nnnnnnTaaaaaaaaaALLOLLLL2122212121116、矩阵运算 hdgcfbea hgfe dcbaBA dhcfdgcebhafbgae hgfe dcbaAB7、MATLAB 软件计算题例例 6 6 试写出用 MATLAB 软件求函数的二阶导数的命令语句。)eln(2xxxyy 解：解：clear;syms x y; y=log(sqrt(x+x2)+exp(x); dy=diff(y,2)例：例：试写出用 MATLAB 软件求函数的一阶导数的命令语句。)eln(xxyyclear; syms x y; y=log(sqrt(x)+exp(x)
11、; dy=diff(y)例例 1111 试写出用 MATLAB 软件计算定积分的命令语句。21de13xxx解：解：clear;syms x y; y=(1/x)*exp(x3); int(y,1,2)例例 试写出用 MATLAB 软件计算定积分的命令语句。xxxde13第 6 页 共 13 页解：解：clear;syms x y; y=(1/x)*exp(x3); int(y) MATLAB 软件的函数命令表 1 MATLAB 软件中的函数命令函数axxxexlnxlgx 2logxMATLABax)(xsqrt)exp(x)log(x)(10logx)(2logx)(xabs运算符号运算符
12、+-*/ 功能加减乘除乘方典型例题典型例题 例例 1 1 设某物资要从产地 A1，A2，A3调往销地 B1，B2，B3，B4，运输平衡表（单位：吨） 和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：运输平衡表与运价表销地 产地B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A17311311A241928A3974105需求量365620（1）用最小元素法编制的初始调运方案， （2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运 输总费用。 解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：运输平衡表与运价表找空格对应的闭回路，计算检验数：1，1，0，211122224已出现负检验数，方案需要调
13、整，调整量为 1 调整后的第二个调运方案如下表：销地 产地B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A1437311311A23141928A363974105需求量365620第 7 页 共 13 页运输平衡表与运价表销地 产地B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A1527311311A23141928A363974105需求量365620求第二个调运方案的检验数：111已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为 2 调整后的第三个调运方案如下表：运输平衡表与运价表销地 产地B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A1257311311A21341928A363974105需求量365620求第三
14、个调运方案的检验数：2，1，2，1，9，12121422233133所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：23531138643585（百元） 例例 2 2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、 乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产 品的单位产品原材料消耗定额分别为 4 公斤、4 公斤和 5 公斤；三种产品的单位产品所需 工时分别为 6 台时、3 台时和 6 台时。另外，三种产品的利润分别为 400 元/件、250 元/件 和 300 元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供 应 180 公斤，工时每天只有 150 台时。 1试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大 的线性规划模型。 2. 写出用 MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令
