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1、均值不等式应用 一均值不等式 1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）Rba,abba222Rba, 222baabba 2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=” ）*,Rbaabba 2*,Rbaabba2ba (3)若，则 (当且仅当时取“=” ）*,Rba22baabba 3.若，则 (当且仅当时取“=” ）;若，则 (当且仅当时取“=” ）0x 12xx1x 0x 12xx 1x 若，则 (当且仅当时取“=” ）0x 11122-2xxxxxx即或ba 3.若，则 (当且仅当时取“=” ）0ab2ab baba 若，则 (当且仅当时取“=” ）0ab 22-2a
2、babab bababa即或ba 4.若，则（当且仅当时取“=” ）Rba, 2)2(22 2bababa 注：（1）3. 已知已知 x,yR ,x+y=s,xy=p.若若 p 为定值，那么当且仅当为定值，那么当且仅当 时，时，s=x+y 有有 ； 若若 s 为定值，那么当且仅当为定值，那么当且仅当 时，时，p=xy 有有 。 （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 应用一：求最值应用一：求最值 解题技巧：解题技巧： 技巧一：凑项技巧一：凑项例 1：已知，求函数的最大值。5 4x 14245yxx 。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数技巧二：凑系数
3、例 1. 当时，求的最大值。(82 )yxx 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设，求函数的最大值。 230 x)23(4xxy技巧三技巧三： 分离分离例 3. 求的值域。2710(1)1xxyxx 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。 技巧四技巧四：换元：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。 。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后
4、将式子分开或将分母换元后将式子分开将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。( )(0,0)( )Aymg xB ABg x技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。的单调性。( )af xxx例：求函数的值域。2254xy x 练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1） （2） (3) 231,(0)xxyxx12,33yxxx12sin,(0, )sinyxxx2已知，求函数的最大值.；3，求函
5、数的最大值.01x(1)yxx203x(2 3 )yxx条件求最值条件求最值 1.若实数满足，则的最小值是 .2baba33 变式：若，求的最小值.并求 x,y 的值44loglog2xy11 xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。2：已知，且，求的最小值。0,0xy191xyxy错解错解：，且， 故 。Q0,0xy191xy1992212xyxyxyxyxymin12xy错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立2xyxyxy1992
6、xyxy条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出19 xy9yx等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解正解：，190,0,1xyxyQ199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。9yx xy191xy4,12xymin16xy变式：（1）若且，求的最小值 (2)若且，求最小Ryx,12 yx yx11Ryxba,1yb xayx 值技巧七技巧七、已知已知 x，y 为正实数，且为正实数，且 x 21，求，求 x的最大值的最大值.y y 2 221 1y y 2分析：因条件和结论分别是二
7、次和一次，故采用公式 ab。a 2b 22同时还应化简中 y2前面的系数为 ， xx x1y 2121y 22下面将 x，分别看成两个因式：x 即 xx 3 41y 223 42技巧八：已知技巧八：已知 a，b 为正实数，为正实数，2baba30，求函数，求函数 y的最小值的最小值.1ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后
8、，再通过解不等式 的途径进行。法一：a， abb 302bb1302bb12 b 230bb1由 a0 得，0b15令 tb+1，1t16，ab2（t）34t282t 234t31t16t16t ab18 y 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。1 18 法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab22 ab2 ab令 u 则u22u300， 5u3 ab2223，ab18，yab21 18 变式：1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方技巧九、取平方 5、已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数
9、 W的最值.3x2y解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单ab2a 2b 22 2 3x2y22 3x2y5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和 为定值”条件靠拢。 W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)203x2y3x2y3x2y W2 205变式: 求函数的最大值。152152 ()22yxxx 解析：注意到与的和为定值。21x52x22( 2152 )42 (21)(52 )4(21)(52 )8yxxxxxx 又，所以0y 02 2y当且仅当=，即时取等号。 故。21x52x3 2x ma
10、x2 2y评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 应用二：利用均值不等式证明不等式应用二：利用均值不等式证明不等式 1已知为两两不相等的实数，求证：cba,cabcabcba2222 正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc3、已知 a、b、c，且。求证：R1abc1111118abc解：a、b、c，。同理，。QR1abc1121abcbc aaaa 121ac bb 121ab cc 上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得。当且仅当时取等号。1112221118bcacab abcabcgg1 3abc应用三：均值不等式与恒成立问题应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。0,0xy191xyxymm条件：m(x+y)的最小值 ， ,16m 应用四：均值定理在比较大小中的应用：应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若，则的大小关系是 .)2lg(),lg(lg21,lglg, 1baRbaQbaPbaRQP,分析： 1 ba0lg, 0lgba（21Qpbabalglg)lglgRQP。QababbaRlg21lg)2lg(
